رسم مجالات الميل
| English | العربية |
|---|---|
| slope field/sləʊp fiːld/ | مجال الميل |
خريطة للميل عبر المستوى
- المعادلة التفاضلية $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ تعطي ميلاً عند كل نقطة.
- ارسم قطعة مستقيمة قصيرة ذات ذلك الميل عند كل نقطة في شبكة، وستحصل على حقل ميل.
- إنه "خريطة" تظهر اتجاه حركة منحنيات الحل في كل مكان.
- لا تحتاج لحل المعادلة لرسمها — فقط احسب الميل.
مجال ميل لـ dy/dx = ay
كل شرطة لها ميل $\tfrac{dy}{dx}$ عند نقطة — مسطحة قرب $y=0$ وأشد انحداراً بعيداً لـ $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
يُظهر مجال الميل، عند كل نقطة، الـ...
كل شرطة هي الاتجاه المماسي هناك.
لرسم حقل ميل، تحسب الميول فقط — أنت لا ____ بحاجة إلى حل المعادلة.
تعطي المعادلة الميل مباشرةً.
حساب الميل عند كل نقطة
- عند نقطة شبكة $(x,y)$، عوض في $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ للحصول على الرقم — هذا هو ميل القطعة المستقيمة.
- ميل $0$ → شرطة أفقية؛ موجب كبير → شرطة صاعدة حادة؛ سالب → هابطة.
- كرر العملية فوق شبكة من النقاط لملء الحقل.
- المعادلة تخبرك بالميل مباشرة؛ لا حاجة للدالة العكسية (البدائية).
لـ $\dfrac{dy}{dx}=x+y$، أوجد ميل الشرطة عند النقطة $(2,3)$.
$2+3=5$.
بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx}=xy$، يكون الميل عند $(3,2)$ هو...
$xy=3\cdot2=6$ (استخدم الإحداثيين معًا).
اكتشاف الأنماط بسرعة
- إذا كان $F$ يعتمد فقط على $x$: الميل ثابت على طول خط عمودي (الأعمدة تبدو متطابقة).
- إذا كان $F$ يعتمد فقط على $y$: الميل ثابت على طول خط أفقي (الصفوف تبدو متطابقة).
- بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx}=y$: تزداد الميلات مع الارتفاع — مسطحة靠近 $y=0$، حادة بعيداً عنها.
- التعرف على هذه الأنماط يسرع الرسم بشكل كبير.
إذا كان $\dfrac{dy}{dx}$ يعتمد فقط على $x$، فإن الخطوط المتقطعة في كل عمود تكون متوازية.
نفس $x$ → نفس الميل في اتجاه العمود.
خطوط التوازن
- حيث $F(x,y)=0$، يكون الميل $0$ — صف (أو منحنى) من الخطوط الأفقية.
- بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx}=y$، يحدث ذلك عند $y=0$: خط أفقي كامل من المقاطع المسطحة.
- غالباً ما تشير هذه الخطوط إلى سلوك توازن — يمكن للحلول أن تستقر عندها.
- هي أسهل النقاط للرسم، لذا ابدأ بها.
بالنسبة لـ $\dfrac{dy}{dx}=y$، الخطوط المتقطعة تكون أفقية على طول المستقيم...
ميل $=y=0$ على طول $y=0$.
حقل الميل يُظهر ميلات المعادلة التفاضلية، وليس منحنيات الحل نفسها. القطع الصغيرة هي اتجاهات مماسية؛ الحل هو منحنى يبقى مماسياً لها. وحسب الميل باستخدام $(x,y)$ النقطة، واستخدم $y$ أيضاً عندما يعتمد $F$ عليها — وليس فقط $x$.
ارسم بضعة ميول لـ $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- عند $(1,0)$: الميل $=1$. عند $(2,5)$: الميل $=2$. عند $(-1,3)$: الميل $=-1$.
- بما أن $F=x$ (لا يوجد $y$)، فإن كل نقطة في عمود عمودي لها نفس الميل.
- أعمدة من الخطوط المتوازية: مسطحة عند $x=0$، تميل أكثر كلما كبر $|x|$.
يرسم حقل الميل قطعة مستقيمة قصيرة بميل $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ عند كل نقطة شبكة — خريطة لاتجاهات المماس، بدون الحاجة للحل. احسب الميل عند كل $(x,y)$؛ ابحث عن أنماط (تتطابق الأعمدة إذا كان $F$ يعتمد فقط على $x$، الصفوف إذا كان فقط على $y$) وخطوط أفقية حيث $F=0$.