AP Calculus AB · ⁨AP التفاضل والتكامل AB⁩

Tips

يغطي امتحان AP Calculus AB النهايات والاستمرارية، والاشتقاق وتطبيقاته، والتكامل وتراكم التغير، والمعادلات التفاضلية، وتطبيقات التكامل بما في ذلك المساحات والحجوم. وهو يعادل تقريباً فصل دراسي واحد من حساب التفاضل والتكامل الجامعي.

الامتحان يتعلق بالمعنى بقدر ارتباطه بالطريقة. سيُطلب منك ما تعنيه المشتقة في السياق — مع وحدات القياس —以及如何 برجر قيمة عظمى أو نقطة انعطاف بإشارة المشتقة، وليس بمجرد النظر إلى الرسم البياني.

المبدأ الأساسي لحساب التفاضل والتكامل هو عمود العمود الفقري للمادة الدراسية. فهمه على أنه "تكامل معدل يعطي التغير الكلي" هو ما يجعل أسئلة التراكم قابلة للقراءة والفهم.

تأخذ الملاحظات كل وحدة بالترتيب، مع صياغة النظريات كما يتوقع الامتحان استشهاده بها. توجد过去的 الـ FRQs مع إرشادات التصحيح في المكتبة — غالباً ما تذهب درجات AB إلى التبرير بالكلمات، لذا تُكتب الحلول النموذجية المنفصلة التسلسل المنطقي بدلاً من التوقف عند الإجابة النهائية.

Train all vocabulary · ⁨تدريب كل المفردات⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

Limits and Continuity · ⁨النهايات والاستمرارية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

1.1

Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant?

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-1): Calculus allows us to generalize knowledge about motion to diverse problems involving change.

Learning Objective CHA-1.A: Interpret the rate of change at an instant in terms of average rates of change over intervals containing that instant.

CHA-1.A.1 Calculus uses limits to understand and model dynamic change.
CHA-1.A.2 Because an average rate of change divides the change in one variable by the change in another, the average rate of change is undefined at a point where the change in the independent variable would be zero.
CHA-1.A.3 The limit concept allows us to define instantaneous rate of change in terms of average rates of change.

العربية

الفهم الدائم (CHA-1): يسمح لنا التفاضل والتكامل بتعميم المعرفة حول الحركة لتطبيقات متنوعة تتضمن التغير.

هدف التعلم CHA-1.A: تفسير معدل التغير في لحظة ما بدلالة معدلات التغير المتوسطة على فترات تحتوي على تلك اللحظة.

CHA-1.A.1 يستخدم التفاضل والتكامل النهايات لفهم ونمذجة التغير الديناميكي.
CHA-1.A.2 بما أن معدل التغير المتوسط يقسم التغير في متغير واحد بالتغير في متغير آخر، فإن معدل التغير المتوسط يكون غير معرف عند نقطة يكون فيها التغير في المتغير المستقل مساويًا للصفر.
CHA-1.A.3 يتيح مفهوم النهاية تعريف معدل التغير اللحظي بدلالة معدلات التغير المتوسطة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Calculus is the mathematics of change 变化 and of accumulation 累积. It answers two big questions: how fast is something changing right now, and how much has piled up so far? Unit 1 builds the one tool both questions rest on – the limit 极限.

Start with a puzzle. A car's speedometer reads $60$ km/h. What does that mean at a single instant 瞬间? Speed is distance over time. But at one instant no time passes and no distance is covered, so the fraction looks like $\tfrac{0}{0}$ – undefined.

The average rate of change 平均变化率 uses a whole interval 区间: the change in one quantity divided by the change in another. It divides by zero, and so is undefined, when the change in the input would be zero.
The instantaneous rate of change 瞬时变化率 is what we want at a point. It is the value the average rate approaches 趋近 as the interval shrinks toward zero length.

The clever move is not to plug in zero (undefined), but to watch what the average rate approaches as the interval gets smaller and smaller. That approaching value is a limit. So calculus lets us describe change at an instant – as a limit of average rates over ever-shorter intervals. This one idea powers the derivative 导数 (Unit 2) and, run in reverse, the integral 积分 (Unit 6). Everything else in this unit defines limits carefully and computes them reliably.

Explore · ⁨استكشف⁩

Explore rate of change at an instant · ⁨استكشف معدل التغير عند لحظة معينة⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Slide the point along the curve. The tangent line is the limit of ever-shorter average rates — its slope is the instantaneous rate of change $\frac{dy}{dx}$ at that point. · ⁨حرك النقطة على طول المنحنى. الخط المماسي هو نهاية متوسطات المعدلات المتوسطة القصيرة جداً — ميله هو معدل التغير اللحظي $\frac{dy}{dx}$ عند تلك النقطة.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
change/tʃeɪndʒ/	التغير
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	تجميع
limit/ˈlɪmɪt/	حد
at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/	في لحظة واحدة
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	متوسط معدل التغير
interval/ˈɪntəvl/	فترة / مجال
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	المعدل اللحظي للتغير
approaches/əˈprəʊtʃɪz/	النهج
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة
integral/ˈɪntɪɡrəl/	التكامل
hole/həʊl/	ثقب

1.2

Defining Limits and Using Limit Notation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.A: Represent limits analytically using correct notation.

LIM-1.A.1 Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily close to $R$ by taking $x$ sufficiently close to $c$ (but not equal to $c$). If the limit exists and is a real number, then the common notation is $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- Exclusion statement: The epsilon-delta definition of a limit is not assessed on the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include this topic in the course if time permits.

Learning Objective LIM-1.B: Interpret limits expressed in analytic notation.

LIM-1.B.1 A limit can be expressed in multiple ways, including graphically, numerically, and analytically.

العربية

الفهم الدائم (LIM-1): يمكن استخدام الاستدلال باستخدام التعريفات والنظريات والخصائص لتبرير الادعاءات المتعلقة بالنهايات.

هدف التعلم LIM-1.A: تمثيل النهايات تحليليًا باستخدام الرموز الصحيحة.

LIM-1.A.1 بدلالة دالة $f$، يكون نهاية $f(x)$ عندما تقترب $x$ من $c$ عددًا حقيقيًا $R$ إذا كان يمكن جعل $f(x)$ قريبًا قدر الإمكان من $R$ من خلال اختيار $x$ قريبة بما يكفي من $c$ (ولكن لا تساوي $c$). إذا كانت النهاية موجودة وكانت عددًا حقيقيًا، فإن الرمز الشائع هو $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
- عبارة الاستبعاد: لا يتم تقييم تعريف إبسيلون-دلتا للنهاية في امتحان AP Calculus AB أو BC. ومع ذلك، قد يدرج المعلمون هذا الموضوع في المقرر إذا سمحت الوقت بذلك.

هدف التعلم LIM-1.B: تفسير النهايات المعبرة بصيغة تحليلية.

LIM-1.B.1 يمكن التعبير عن النهاية بطرق متعددة، بما في ذلك بيانيًا، وعدديًا، وتحليليًا.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A smooth bridge curve: limits describe the value a graph approaches as we zoom in

Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily 任意地 close to $R$ by taking $x$ sufficiently 足够 close to $c$ – but not equal to $c$. We write

$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$

and read it: "the limit of $f(x)$, as $x$ approaches $c$, equals $R$."

The last words are the heart of a limit: it describes the behavior 行为 of $f$ near $c$, not the value at $c$. The function may be undefined at $c$, or defined but equal to something else – the limit does not care.

A limit can be shown in three ways: graphically 用图象, numerically 用数值 (a table), and analytically 用解析式 (algebra). Learning to move between these representations is a core skill.

(Note: the epsilon-delta definition of a limit is not tested on the AP Exam, so this handout does not use it.)

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/	تعسفياً
sufficiently/səˈfɪʃəntli/	بشكل كافٍ
behavior/bɪˈheɪvjə/	سلوك
graphically/ˈɡræfɪkli/	بيانياً
numerically/njuːˈmerɪkli/	عددياً
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/	تحليلياً

1.3

Estimating Limit Values from Graphs

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.

LIM-1.C.1 The concept of a limit includes one sided limits.
LIM-1.C.2 Graphical information about a function can be used to estimate limits.
LIM-1.C.3 Because of issues of scale, graphical representations of functions may miss important function behavior.
LIM-1.C.4 A limit might not exist for some functions at particular values of $x$. Some ways that the limit might not exist are if the function is unbounded, if the function is oscillating near this value, or if the limit from the left does not equal the limit from the right.
- Illustrative examples for LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ does not exist.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ does not exist.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ does not exist.

العربية

هدف التعلم LIM-1.C: تقدير نهايات الدوال.

LIM-1.C.1 يشمل مفهوم النهايات النهايات من جهة واحدة.
LIM-1.C.2 يمكن استخدام المعلومات البيانية عن الدالة لتقدير النهايات.
LIM-1.C.3 بسبب مشاكل المقياس، قد تفوت التمثيلات البيانية للدوال سلوكًا مهمًا للدالة.
LIM-1.C.4 قد لا يوجد نهاية لبعض الدوال عند قيم معينة لـ $x$. ومن الطرق التي قد لا توجد فيها النهاية أن تكون الدالة غير محدودة، أو أن تتذبذب الدالة بالقرب من هذه القيمة، أو أن النهاية من اليسار لا تساوي النهاية من اليمين.
- أمثلة توضيحية لـ LIM-1.C.4:
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ غير موجودة.
  - $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ غير موجودة.
  - $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ غير موجودة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A graph is often the fastest way to read a limit. To find $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, run your finger along the curve toward $x = c$ from each side and ask: what height is the curve heading for?

Trace from the left (inputs smaller than $c$): this gives the left-hand limit 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Trace from the right (inputs larger than $c$): this gives the right-hand limit 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
These are the one-sided limits 单侧极限. If both head to the same height $R$, then the two-sided limit exists and $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Crucially, ignore the point itself. Graphs mark the difference between the limit and the value:

An open circle 空心圆 marks a height the curve approaches but does not reach – a "hole" 空洞.
A closed circle 实心圆 marks the actual value $f(c)$.

So a curve may approach $R = 3$ from both sides (limit is $3$) while a filled dot sits at height $5$ (value $f(c) = 5$). The limit is $3$; the two need not match.

A limit exists at x=2 even though the function value f(2) is different — The open circle is the height the curve approaches (the limit); the filled dot is the actual value $f(2)$ – they need not agree.

A limit does not exist (often written DNE) when the two sides disagree (a jump 跳跃), when the function is unbounded 无界 (grows without limit), or when it oscillates 振荡 forever near $c$. For example:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

Watch the scale 比例 of a graph: a zoomed-out picture can hide important behavior near a point, so confirm with algebra when you can.

Explore · ⁨استكشف⁩

Read a limit off the graph · ⁨اقرأ النهاية من الرسم البياني⁩

y = ax² + bx + c

The limit as $x\to c$ is the height the curve heads toward from both sides — it is about where the function is going, not its value at $c$. Follow the curve toward an $x$ and read the $y$ it approaches. · ⁨النهاية عندما $x\to c$ هي الارتفاع الذي يتجه نحوه المنحنى من كلا الجانبين — يتعلق بما يتجه إليه الدالة، وليس قيمتها عند $c$. تابع المنحنى نحو $x$ واقرأ $y$ يقترب منه.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/	الحد الأيسر
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	الحد الأيمن
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/	حدود أحادية الجانب
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/	دائرة مفتوحة
closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/	دائرة مغلقة
jump/dʒʌmp/	قفزة
unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/	غير محدودة
oscillates/ˈɒsɪleɪts/	يتذبذب
scale/skeɪl/	المقياس

1.4

Estimating Limit Values from Tables

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.

LIM-1.C.5 Numerical information can be used to estimate limits.

العربية

هدف التعلم LIM-1.C: تقدير نهايات الدوال.

LIM-1.C.5 يمكن استخدام المعلومات العددية لتقدير النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

When you have data or a formula but no picture, a table 表格 of values estimates a limit numerically. Choose inputs that creep toward $c$ from both sides and watch the outputs.

For example, to estimate $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (which is $\tfrac{0}{0}$ at $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Both sides march toward $4$, so we estimate the limit is $4$. A table only suggests a value – it is a numerical estimate, not a proof.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
table/ˈteɪbl/	جدول

1.5

Determining Limits Using Algebraic Properties of Limits

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.D: Determine the limits of functions using limit theorems.

LIM-1.D.1 One-sided limits can be determined analytically or graphically.
LIM-1.D.2 Limits of sums, differences, products, quotients, and composite functions can be found using limit theorems.

العربية

هدف التعلم LIM-1.D: تحديد نهايات الدوال باستخدام نظريات النهايات.

LIM-1.D.1 يمكن تحديد النهايات أحادية الجانب تحليلاً أو بيانياً.
LIM-1.D.2 يمكن إيجاد نهايات المجاميع والفرق والضروب والنسب والدوال المركبة باستخدام نظريات النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Most limits are found analytically using limit theorems 极限定理. If $\lim_{x\to c} f(x)$ and $\lim_{x\to c} g(x)$ both exist, the limit of a combination is the same combination of the limits:

Sum / difference: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
Product: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
Quotient: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, provided the bottom limit is not $0$.
Composite 复合函数: if $g$ is continuous at $\lim_{x\to c} f(x)$, then $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

The practical rule: for a function built from polynomials, roots, and the like, first try direct substitution 直接代入 – put $x = c$ in. If you get a real number, that is the limit. One-sided limits obey the same theorems, read from one direction only.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/	نظريات النهاية
Composite/ˈkɒmpəzɪt/	مركب
direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	التعويض المباشر

1.6

Determining Limits Using Algebraic Manipulation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.

LIM-1.E.1 It may be necessary or helpful to rearrange expressions into equivalent forms before evaluating limits.
- Illustrative examples for LIM-1.E.1:
  - Factoring and dividing common factors of rational functions
  - Multiplying by an expression involving the conjugate of a sum or difference in order to simplify functions involving radicals
  - Using alternate forms of trigonometric functions

العربية

هدف التعلم LIM-1.E: تحديد نهايات الدوال باستخدام تعبيرات مكافئة للدالة أو باستخدام نظرية الضغطة (Squeeze Theorem).

LIM-1.E.1 قد يكون من الضروري أو المفيد إعادة ترتيب التعبيرات إلى أشكال مكافئة قبل حساب النهايات.
- أمثلة توضيحية لـ LIM-1.E.1:
  - التحليل وقسمة العوامل المشتركة للدوال الكسرية
  - الضرب في تعبير يتضمن مرافق مجموع أو فرق لتبسيط الدوال التي تحتوي على جذور
  - استخدام الأشكال البديلة للدوال المثلثية

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Direct substitution sometimes gives the indeterminate form 未定式 $\tfrac{0}{0}$. This does not mean the limit fails – it means you must rewrite the function into an equivalent form 等价形式 that removes the trouble, then substitute. Three standard moves:

Factor and cancel 因式分解并约分 a rational function 有理函数. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiply by the conjugate 共轭 to simplify a radical 根式. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Use alternate forms of trigonometric functions (identities) to simplify.

The cancelled factor is why the original graph had a hole: the two functions agree everywhere except at $x=c$, so they share the same limit there.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	الصيغة غير المحددة
equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/	الصيغة المكافئة
Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/	تحليل وإختصار
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	دالة نسبية
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	مرافق
radical/ˈrædɪkl/	المتطرفون

1.7

Selecting Procedures for Determining Limits

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for determining limits. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to determining limits.

العربية

هذا الموضوع موجه للتركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب لتحديد النهايات. يجب منح الطلاب فرصاً للتدرب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بتحديد النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

This is a skill topic, not new content: choose the right tool for the limit in front of you.

Try direct substitution first. A real answer means you are done.
Getting $\tfrac{0}{0}$? Rewrite – factor and cancel, or use the conjugate, or a trig identity – then substitute.
A non-zero number over $0$ (like $\tfrac{5}{0}$)? The limit is infinite or DNE – check the sign from each side (see vertical asymptotes below).
As $x\to\pm\infty$? Compare the dominant 主导 terms (see limits at infinity).
Trapped between two functions? The squeeze theorem may apply.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
dominant/ˈdɒmɪnənt/	السائدة

1.8

Determining Limits Using the Squeeze Theorem

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.

Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.

LIM-1.E.2 The limit of a function may be found by using the squeeze theorem.
- Illustrative examples for LIM-1.E.2: The squeeze theorem can be used to show $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ and $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

العربية

هدف التعلم LIM-1.E: تحديد نهايات الدوال باستخدام تعبيرات مكافئة للدالة أو باستخدام نظرية الضغطة (Squeeze Theorem).

LIM-1.E.2 يمكن إيجاد نهاية الدالة باستخدام نظرية الضغطة.
- أمثلة توضيحية لـ LIM-1.E.2: يمكن استخدام نظرية الضغطة لإظهار أن $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ و $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The squeeze theorem 夹逼定理 (also called the sandwich theorem) finds a limit by trapping the function between two others. If $g(x) \le f(x) \le h(x)$ near $c$, and

$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$

then $f$ is squeezed to the same place: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

The two famous results proved this way, both used throughout calculus, are:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

The squeeze theorem: if g and h both approach L at c, the trapped function f is forced to L — The wiggly $f$ is trapped between $g$ and $h$. Because both bounds meet at $L$, $f$ has nowhere to go but $L$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/	نظرية挤压 (الضغط)

1.9

Connecting Multiple Representations of Limits

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on connecting representations. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to limits and translating mathematical information from a single representation or across multiple representations.

العربية

هذا الموضوع موجه للتركيز على ربط التمثيلات. يجب منح الطلاب فرصاً للتدرب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بالنهايات وترجمة المعلومات الرياضية من تمثيل واحد عبر تمثيلات متعددة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Another skill topic: the same limit lives in a graph, a table, and an algebraic form, and you should be able to translate between them. A graph shows the shape and any holes or jumps; a table gives numerical evidence; algebra gives an exact value and a reason. Strong answers use one representation to confirm another.

1.10

Exploring Types of Discontinuities

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.

LIM-2.A.1 Types of discontinuities include removable discontinuities, jump discontinuities, and discontinuities due to vertical asymptotes.

العربية

الفهم الدائم (LIM-2): يمكن استخدام الاستدلال باستخدام التعريفات والنظريات والخصائص لتبرير الادعاءات المتعلقة بالاتصال (الاستمرارية).

هدف التعلم LIM-2.A: تبرير الاستنتاجات حول الاتصال عند نقطة معينة باستخدام التعريف.

LIM-2.A.1 تشمل أنواع الانقطاعات: الانقطاع القابل للإزالة، والانقطاع القفزي، والانقطاعات الناتجة عن المقاربات الرأسية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A function is discontinuous 间断 at $c$ when its graph "breaks" there. There are three types:

Removable discontinuity 可去间断 – a single hole. The two-sided limit exists, but the point is missing or misplaced.
Jump discontinuity 跳跃间断 – the two one-sided limits exist but disagree, so the curve jumps.
Infinite discontinuity 无穷间断 – the function blows up to $\pm\infty$ at a vertical asymptote 垂直渐近线.

The three types of discontinuity: removable hole, jump, and infinite — Three ways a graph can break: a removable hole, a jump, and an infinite (asymptote) discontinuity.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/	غير متصلة
Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	انقطاع قابل للإزالة
Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	انقطاع القفز
Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/	انقطاع لا نهائي
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	مقارب رأسي

1.11

Defining Continuity at a Point

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.

LIM-2.A.2 A function $f$ is continuous at $x = c$ provided that $f(c)$ exists, $\lim_{x \to c} f(x)$ exists, and $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

العربية

هدف التعلم LIM-2.A: تبرير الاستنتاجات حول الاتصال عند نقطة معينة باستخدام التعريف.

LIM-2.A.2 تكون الدالة $f$ متصلة عند $x = c$ بشرط وجود $f(c)$، ووجود $\lim_{x \to c} f(x)$، وأن $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Continuity is defined by a three-part test. A function $f$ is continuous 连续 at $x=c$ exactly when all three hold:

$$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

In words: the point is there, the limit is there, and the two agree. If any one fails, $f$ is discontinuous at $c$. This test is the backbone of nearly every continuity question, so learn it as a checklist.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	متصلة

1.12

Confirming Continuity over an Interval

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.B: Determine intervals over which a function is continuous.

LIM-2.B.1 A function is continuous on an interval if the function is continuous at each point in the interval.
LIM-2.B.2 Polynomial, rational, power, exponential, logarithmic, and trigonometric functions are continuous on all points in their domains.

العربية

هدف التعلم LIM-2.B: تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة متصلة.

LIM-2.B.1 تكون الدالة متصلة على فترة إذا كانت متصلة عند كل نقطة في تلك الفترة.
LIM-2.B.2 دوال كثيرات الحدود، والكسور الجبرية، والقوى، والأسية، واللوغاريتمية، والمثلثية متصلة عند جميع نقاط مجالاتها.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A function is continuous on an interval 在区间上连续 if it is continuous at every point of that interval. You rarely check point by point, because whole families are continuous on their domains:

Polynomial, rational, power, exponential 指数, logarithmic 对数, and trigonometric 三角 functions are continuous at every point of their domains.

So a rational function is continuous everywhere except where its denominator is zero; $\ln x$ is continuous for $x>0$; and so on. Knowing this lets you declare continuity quickly and correctly.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/	متصل على فترة
exponential/ˌekspəˈnenʃl/	أسّي
logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/	لوغاريتمي
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	مثلثي

1.13

Removing Discontinuities

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.C: Determine values of $x$ or solve for parameters that make discontinuous functions continuous, if possible.

LIM-2.C.1 If the limit of a function exists at a discontinuity in its graph, then it is possible to remove the discontinuity by defining or redefining the value of the function at that point, so it equals the value of the limit of the function as $x$ approaches that point.
LIM-2.C.2 In order for a piecewise-defined function to be continuous at a boundary to the partition of its domain, the value of the expression defining the function on one side of the boundary must equal the value of the expression defining the other side of the boundary, as well as the value of the function at the boundary.

العربية

هدف التعلم LIM-2.C: تحديد قيم $x$ أو حل المعادلة لإيجاد المعلمات التي تجعل الدوال غير المتصلة متصلة، إن أمكن ذلك.

LIM-2.C.1 إذا كان نهاية الدالة موجودة عند نقطة انقطاع في بيانها، فمن الممكن إزالة هذا الانقطاع من خلال تعريف أو إعادة تعريف قيمة الدالة عند تلك النقطة بحيث تساوي قيمة نهاية الدالة عندما $x$ يقترب من تلك النقطة.
LIM-2.C.2 لكي تكون الدالة معرفة جزئيًا متصلة عند حدود تقسيم مجالها، يجب أن تساوي قيمة التعبير الذي يعرّف الدالة على أحد طرفي الحد قيمة التعبير الذي يعرّفها على الطرف الآخر، بالإضافة إلى قيمة الدالة عند الحد نفسه.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

If the limit exists at a hole, the discontinuity is removable: redefine the function at that one point to equal the limit, and the graph is repaired. Formally, set the missing value to $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

For a piecewise-defined function 分段函数, continuity at a boundary $x=c$ needs the two pieces to meet: the left piece's value, the right piece's value, and $f(c)$ must all be equal. This is a common exam setup – you solve for a parameter 参数 (an unknown constant) that makes the pieces match:

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	دالة مُعرَّفة جزئياً
parameter/pəˈræmɪtə/	معامل

1.14

Connecting Infinite Limits and Vertical Asymptotes

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.

LIM-2.D.1 The concept of a limit can be extended to include infinite limits.
LIM-2.D.2 Asymptotic and unbounded behavior of functions can be described and explained using limits.

العربية

هدف التعلم LIM-2.D: تفسير سلوك الدوال باستخدام النهايات التي تتضمن اللانهاية.

LIM-2.D.1 يمكن توسيع مفهوم النهاية ليشمل النهايات اللانهائية.
LIM-2.D.2 يمكن وصف وسلوك الدوال المقارب وغير المحدود باستخدام النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The idea of a limit extends to infinite limits 无穷极限. When a function grows without bound near $x=c$, we write $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. This describes a vertical asymptote at $x=c$: the graph hugs the vertical line $x=c$ and shoots off toward $\pm\infty$.

This happens where a non-zero number is divided by something approaching $0$, such as at a zero of a denominator that does not cancel. Always check each side separately – the two sides can shoot opposite ways (one to $+\infty$, one to $-\infty$).

An infinite limit at a vertical asymptote x = c, where the two sides shoot to opposite infinities — Near a vertical asymptote the graph hugs the line $x=c$. Here the left side falls to $-\infty$ and the right side climbs to $+\infty$, so the two-sided limit does not exist.

Explore · ⁨استكشف⁩

Explore infinite limits and vertical asymptotes · ⁨استكشف النهايات اللانهائية والقوى الرأسية⁩

y = a/(x − b) + c

With $y=\dfrac{a}{x-b}+c$, watch the curve blow up to $\pm\infty$ near $x=b$. The vertical asymptote is the line $x=b$ where the infinite limit lives — the two sides can shoot opposite ways. · ⁨مع $y=\dfrac{a}{x-b}+c$، شاهد المنحنى يتفجر نحو $\pm\infty$ بالقرب من $x=b$. القوة الرأسية هي الخط $x=b$ حيث توجد النهاية اللانهائية — يمكن للطرفين التصاعد في اتجاهين متعاكسين.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/	نهايات لا نهائية

1.15

Connecting Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.

Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.

LIM-2.D.3 The concept of a limit can be extended to include limits at infinity.
LIM-2.D.4 Limits at infinity describe end behavior.
LIM-2.D.5 Relative magnitudes of functions and their rates of change can be compared using limits.

العربية

هدف التعلم LIM-2.D: تفسير سلوك الدوال باستخدام النهايات التي تتضمن اللانهاية.

LIM-2.D.3 يمكن توسيع مفهوم النهاية ليشمل النهايات عند اللانهاية.
LIM-2.D.4 تصف النهايات عند اللانهاية السلوك النهائي للدالة.
LIM-2.D.5 يمكن مقارنة الكميات النسبية للدوال ومعدلات تغيرها باستخدام النهايات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

We can also let the input grow: limits at infinity 无穷远处的极限 describe the end behavior 末端行为 of a function as $x\to\pm\infty$. If the outputs settle toward a finite value $L$, then $y=L$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.

A limit at infinity: as x grows the outputs settle toward a horizontal asymptote y = L — As $x\to+\infty$ the curve flattens toward the line $y=L$. The horizontal asymptote records this end behavior.

For a rational function, compare the degrees 次数 of the top and bottom:

top degree < bottom degree $\Rightarrow$ limit is $0$ (asymptote $y=0$);
top degree = bottom degree $\Rightarrow$ limit is the ratio of the leading coefficients 首项系数之比;
top degree > bottom degree $\Rightarrow$ the function is unbounded (no horizontal asymptote).

More generally, we compare the relative magnitudes 相对大小 (relative growth rates) of functions: far out, an exponential beats any polynomial, and a polynomial beats any logarithm. On the exam, "as $t\to\infty$, which quantity is larger/where does the rate settle?" is answered with a limit at infinity.

Explore · ⁨استكشف⁩

Explore limits at infinity and horizontal asymptotes · ⁨استكشف النهايات عند اللانهاية والقوى الأفقية⁩

y = a/(x − b) + c

Follow the curve far out to the right and left. As $x\to\pm\infty$ the outputs settle toward $c$, so $y=c$ is a horizontal asymptote — the finite value of the limit at infinity. · ⁨تابع المنحنى بعيداً لليمين واليسار. عندما $x\to\pm\infty$ تستقر المخرجات نحو $c$، لذا $y=c$ هو قوة أفقية — القيمة المحدودة لـ النهاية عند اللانهاية.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/	النهايات عند ما لا نهاية
end behavior/end bɪˈheɪvjə/	سلوك النهاية
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	مقارب أفقي
degrees/dɪˈɡriːz/	درجات
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/	نسبة معاملات أعلى رتبة
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/	المقادير النسبية

1.16

Working with the Intermediate Value Theorem (IVT)

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.A: Explain the behavior of a function on an interval using the Intermediate Value Theorem.

FUN-1.A.1 If $f$ is a continuous function on the closed interval $[a, b]$ and $d$ is a number between $f(a)$ and $f(b)$, then the Intermediate Value Theorem guarantees that there is at least one number $c$ between $a$ and $b$, such that $f(c) = d$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-1): تسمح نظريات الوجود باستنتاجات حول سلوك الدالة على فترة دون تحديد موقع ذلك السلوك بدقة.

هدف التعلم FUN-1.A: شرح سلوك الدالة على فترة باستخدام نظرية القيمة المتوسطة.

FUN-1.A.1 إذا كانت $f$ دالة متصلة على الفترة المغلقة $[a, b]$ وكانت $d$ عددًا بين $f(a)$ و$f(b)$، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن وجود عدد واحد على الأقل $c$ بين $a$ و$b$، بحيث $f(c) = d$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The Intermediate Value Theorem 介值定理 is an existence theorem 存在性定理 – it guarantees a value exists without telling you where:

Opposite signs of f(a) and f(b) trap a root between a and b

If $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$, and $d$ is any number between $f(a)$ and $f(b)$, then there is at least one number $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$.

An unbroken curve cannot skip a height between its endpoints – it must pass through every one.

The Intermediate Value Theorem: a continuous curve hits every height between f(a) and f(b) — A continuous curve from $(a,f(a))$ to $(b,f(b))$ must cross every height $d$ in between at least once.

Exam skill – how to justify with the IVT. These questions appear almost every year (for example, "Must there be a value $c$ with $R(c)=155$?" or "Is there a time when $r'(t)=-6$?"). A full-credit justification has three moves:

State continuity. Say the function is continuous on $[a,b]$ (often because it is differentiable, or given continuous).
Show $d$ is trapped. Compute the two endpoint values and show the target $d$ lies between them, e.g. $f(a) < d < f(b)$.
Conclude by name. "By the Intermediate Value Theorem, there is a $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$."

Skipping the continuity statement, or not showing $d$ is between the endpoints, loses the point – the theorem requires both conditions.

Worked example. Evaluate $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. Direct substitution gives $\tfrac{0}{0}$ (indeterminate), so factor: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ for $x\ne 3$. Then $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. The graph has a removable discontinuity (a hole) at $x=3$ — the limit exists even though the function is undefined there.

Explore · ⁨استكشف⁩

Why a continuous curve can't skip a value · ⁨لماذا المنحنى المتصل لا يمكنه قفز قيمة⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Intermediate Value Theorem: a function continuous on $[a,b]$ takes every $y$ between $f(a)$ and $f(b)$ at some point inside. An unbroken curve cannot leap over a height — it must pass through it. · ⁨مبرهنة القيمة الوسطى: دالة متصلة على $[a,b]$ تأخذ كل $y$ بين $f(a)$ و$f(b)$ عند نقطة ما داخلها. لا يمكن للمنحنى غير المتقطع القفز فوق ارتفاع — يجب أن يمر به.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	مبرهنة القيمة المتوسطة
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/	نظرية الوجود

1.16

Exam tips

A limit describes what $f(x)$ approaches, which need not equal $f(a)$ — the two-sided limit exists only if both sides agree.
Try direct substitution first; for a $\tfrac00$ form, factor and cancel or rationalise before substituting.
A function is continuous at $a$ when the limit exists, $f(a)$ is defined, and they are equal.
Use the Intermediate Value Theorem to guarantee a root: a continuous function that changes sign on $[a,b]$ takes every value between.
Read horizontal asymptotes from end behaviour (limits at $\pm\infty$) and vertical asymptotes where the denominator (not the numerator) is zero.

Differentiation: Definition and Fundamental Properties · ⁨الاشتقاق: التعريف والخصائص الأساسية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

2.1

Average and Instantaneous Rates of Change · ⁨معدلات التغير المتوسطة واللحظية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

العربية

فهم دائم (CHA-2): تسمح المشتقات لنا بتحديد معدلات التغير اللحظية عن طريق تطبيق النهايات على معرفة معدلات التغير على الفترات.

هدف التعلم CHA-2.A: تحديد معدلات التغير المتوسطة باستخدام الكسور الفرق.

CHA-2.A.1 تمثل الكسور الفرق $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ و $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ معدل التغير المتوسط لدالة على فترة.

هدف التعلم CHA-2.B: تمثيل مشتقة دالة كنهاية لكسر فرق.

CHA-2.B.1 يمكن التعبير عن معدل التغير اللحظي لدالة عند $x=a$ بواسطة $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ أو $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$، شريطة وجود النهاية. هذه أشكال مكافئة لتعريف المشتقة وتُرمز لها بـ $f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

العربية

قطار التسلق على تلة الصعود: المشتقة تقاس معدل التغير اللحظي للموقع

المشتقة من المبادئ الأولى

وحدة 1 بنيت مفهوم النهاية. وحدة 2 تستخدمها لتعريف المشتقة – وهي معدل التغير الدقيق عند نقطة.

معدل التغير اللحظي هو ميل المماس عند نقطة — المعدل اللحظي للتغير هو ميل المماس عند نقطة

على طول فترة، معدل التغير المتوسط هو كسر الفرق. يظهر شكلان متكافئان:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

الأول يستخدم خطوة بحجم $h$ من $a$؛ والثاني يستخدم نقطتين $x$ و$a$. كلاهما يحسب $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ خلال الفترة.

المعدل اللحظي للتغير عند $x=a$ هو ما يقترب إليه كسر الفرق كلما انكملت الفترة لتصبح صفراً. هذه النهاية هي المشتقة عند $a$، تُكتب $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

بشرط وجود النهاية.

Explore · ⁨استكشف⁩

From average rate to instantaneous rate · ⁨من المعدل المتوسط إلى المعدل اللحظي⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Slide the point: the secant through two nearby points tips toward the tangent as they merge. The tangent's slope is the derivative — the instantaneous rate of change. · ⁨حرك النقطة: القاطع المار بنقطتين قريبتين يميل نحو المماس عندما تندمجان. ميل المماس هو المشتقة — معدل التغير اللحظي.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	مقدار الفرق
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	لحظي
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	المبادئ الأولى
notations/nəʊˈteɪʃnz/	الرموز
slope/sləʊp/	الميل
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	المماس

2.2

Defining the Derivative and Its Notation · ⁨تعريف المشتقة ورموزها⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.

Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.

CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

العربية

هدف التعلم CHA-2.B: تمثيل مشتقة دالة كنهاية لكسر فرق.

CHA-2.B.2 مشتقة $f$ هي الدالة التي تكون قيمتها عند $x$ هي $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$، شريطة وجود هذه النهاية.
CHA-2.B.3 بالنسبة لـ $y=f(x)$، تشمل الرموز المستخدمة للمشتقة $\dfrac{dy}{dx}$، و $f'(x)$، و $y'$.
CHA-2.B.4 يمكن تمثيل المشتقة بيانياً، عددياً، تحليلياً، ولفظياً.

هدف التعلم CHA-2.C: تحديد معادلة خط مماس لمنحنى عند نقطة محددة.

CHA-2.C.1 المشتقة لدالة عند نقطة هي ميل الخط المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

العربية

ليكن النقطة $a$ متغيرة، وتصبح المشتقة دالة جديدة:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

هذا هو تعريف المشتقة (يُسمى أحياناً الاشتقاق "من المبادئ الأولى"). قيمته عند كل $x$ هو معدل التغير اللحظي هناك.

الرموز الشائعة للمشتقة لـ $y=f(x)$ هي:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

يمكن تمثيل المشتقة بيانياً، عددياً، تحليلياً، ولفظياً – كن مستعداً للانتقال بينها.

المعنى الهندسي. المشتقة عند نقطة هي الميل لـ خط المماس للرسم البياني هناك. لذا خط المماس عند $x=a$ يمر عبر $\big(a, f(a)\big)$ بميل $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

كتابة هذا الخط مهمة روتينية في الامتحان، لذا احتفظ بصيغة النقطة والميل جاهزة.

ميل الوتر يقترب من ميل المماس: المشتقة هي نهاية المعدلات المتوسطة — عندما تتحرك $Q$ نحو $P$، يقترب ميل كل قاطعة (وهو معدل متوسط) من ميل المماس – المشتقة $f'(a)$.

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨تقدير المشتقة عند نقطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

العربية

هدف التعلم CHA-2.D: تقدير المشتقات.

CHA-2.D.1 يمكن تقدير المشتقة عند نقطة من المعلومات المعطاة في الجداول أو الرسوم البيانية.
CHA-2.D.2 يمكن استخدام التكنولوجيا لحساب أو تقدير قيمة مشتقة دالة عند نقطة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

العربية

ليس لديك دائماً صيغة. عندما تُعطى الدالة بجدول أو رسم بياني، قدر المشتقة $f'(a)$ بكسر فرق على فترة صغيرة حول $a$. جدول يحتوي على قيم على كلا طرفي $a$ يعطي أفضل تقدير:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

التكنولوجيا (الحاسبة) يمكنها أيضاً تقدير المشتقة عند نقطة.

مهارة امتحان (تظهر تقريبًا كل عام). أسئلة مثل "قدر $M'(7.5)$ باستخدام معدل التغير المتوسط لـ $M$ خلال الفترة $5 \le t \le 10$" تطلب بالضبط هذا كسر الفرق. أظهر الإعداد:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

يتطلب الحصول على الدرجة الكاملة تعويض الأرقام و الوحدات الصحيحة (وحدات المخرجات لكل وحدة من المدخلات)، حيث تُستمد هذه القيم من نماذج واقعية.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
table/ˈteɪbl/	جدول
units/ˈjuːnɪts/	وحدات
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	قابلة للاشتقاق
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	متصلة
corner/ˈkɔːnə/	الزاوية الحادة
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	المماس العمودي
power rule/ˈpaʊə ruːl/	قاعدة القوة
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	ثابت مضروب
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	كثيرة حدود

2.4

When Does a Derivative Exist? · ⁨متى توجد المشتقة؟⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

العربية

فهم دائم (FUN-2): إدراك أن مشتقة الدالة قد تكون أيضاً دالة يسمح لنا بتطوير المعرفة حول السلوكيات المرتبطة لكلاهما.

هدف التعلم FUN-2.A: شرح العلاقة بين قابلية الاشتقاق والاستمرارية.

FUN-2.A.1 إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة، فهي مستمرة عند تلك النقطة. وتحديداً، إذا كانت نقطة ما ليست في مجال $f$، فإنها ليست في مجال $f'$.
FUN-2.A.2 قد تفشل الدالة المستمرة في أن تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة في مجالها.
- أمثلة توضيحية لـ FUN-2.A.2:
  - النهايات أحادية الجانب لكسر الفرق غير متساوية، كما في $f(x)=|x|$ عند $x=0$.
  - الخط المماس عمودي وليس له ميل، كما في $f(x)=\sqrt[3]{x}$ عند $x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

العربية

قابلية الاشتقاق أقوى من الاستمرارية. العلاقة الأساسية:

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فإن $f$ مستمرة عند تلك النقطة.

لذلك، قابلية الاشتقاق تفترض الاستمرارية. العكس غير صحيح: يمكن أن تكون دالة مستمرة وغير قابلة للاشتقاق. يحدث ذلك بطريقتين:

زاوية حادة: تتعارض حدود نهاية حاصل الفرق من اليسار واليمين، كما في $f(x)=|x|$ عند $x=0$.
مماس عمودي: يكون الميل لا نهائياً (لا يوجد عدد حقيقي)، كما في $f(x)=\sqrt[3]{x}$ عند $x=0$.

طريقتان تكون فيها الدالة المستمرة غير قابلة للاشتقاق: زاوية حادة ومماس عمودي

أيضاً، النقطة خارج مجال تعريف $f$ لا يمكن أن تكون في مجال تعريف $f'$. استخدم الاستلزام العكسي في الامتحان: إذا كانت $f$ غير متصلة عند $a$، فإن $f$ ليست قابلة للاشتقاق عند $a$.

2.5

The Power Rule · ⁨قاعدة القوة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.1 يمكن استخدام التطبيق المباشر لتعريف المشتقة والقواعد الخاصة لحساب المشتقة للدوال من الشكل $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

العربية

من هنا نستخدم القواعد بدلاً من تعريف النهاية في كل مرة. تتناول قاعدة القوة أي قوة لـ $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

تنطبق على القوى العددية الصحيحة والقوى السالبة ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) والجذور ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – أعد الكتابة كقوة أولاً، ثم طبق القاعدة.

Explore · ⁨استكشف⁩

A power function and its steepening slope · ⁨دالة أسية وميلها المتزايد⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The power rule $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ drops the exponent as a factor. For $x^3$ the slope grows quickly as $x$ moves from 0 — the curve steepens. · ⁨يُطبق قاعدة القوة $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ بإنزال الأس作为عامل مضروب. بالنسبة لـ $x^3$، يزداد الميل بسرعة عندما يتحرك $x$ بعيدًا عن 0 — حيث becomes المنحنى أكثر انحدارًا.⁩

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨قواعد الثابت والمجموع والفرض والضرب في ثابت⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.2 يمكن اشتقاق مجموع الدوال وفرقها ومضاعفاتها الثابتة باستخدام قواعد الاشتقاق.
FUN-3.A.3 يمكن استخدام قاعدة القوة مجتمعة مع خصائص المجموع والفرق والمضاعف الثابت لإيجاد مشتقات الدوال كثيرة الحدود.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

العربية

تسمح هذه القواعد باشتقاق الحد بحد:

الثابت: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (الثابت لا يتغير).
الضرب في ثابت: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
المجموع / الفرق: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

بدمجها مع قاعدة القوة، يتم اشتقاق أي حد كثي الحدود بحد بحد. مثال:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of sin x, cos x, e^x, and ln x · ⁨مشتقات sin x و cos x و e^x و ln x⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.A: حساب مشتقات الدوال المألوفة.

FUN-3.A.4 يمكن استخدام قواعد محددة لإيجاد مشتقات دوال الجيب، جيب التمام، الأسية، واللوغاريتمية.

فهم دائم (LIM-3): يمكن استخدام التفكير المستند إلى التعاريف والنظريات والخصائص لتحديد النهاية.

الهدف التعليمي LIM-3.A: تفسير النهاية كتعريف للمشتقة.

LIM-3.A.1 في بعض الحالات، يُعد التعرف على تعبير يمثل تعريف المشتقة لدالة تُعرف مشتقتها استراتيجية لتحديد نهاية ما.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

العربية

احفظ هذه المشتقات الأربع الأساسية عن ظهر قلب:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

لاحظ الإشارة السالبة في مشتقة جيب التمام، وأن $e^{x}$ هي مشتقتها بنفسها.

نهاية تمثل حقاً مشتقة (LIM-3.A.1). أحياناً تكون النهاية خفية تعريف لمشتقة معروفة. إذا قمت بالتعرف على

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

لدالة $f$ تعرف مشتقتها، فقط قم بحساب $f'(a)$. على سبيل المثال، $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explore · ⁨استكشف⁩

The shape of sin x (whose slope is cos x) · ⁨شكل sin x (الذي ميله هو cos x)⁩

y = asin(bx + c) + d

The derivative of $\sin x$ is $\cos x$: the slope of the sine curve is largest where sine crosses zero and zero at its peaks. Watch the curve to feel where its slope is steep or flat. · ⁨المشتقة لـ $\sin x$ هي $\cos x$: ميل منحنى الجيب يكون أكبر حيث يقطع الصفر ويصبح صفراً عند قمم المنحنى. راقب المنحنى لتشعر أين يكون ميله حاداً أو مسطحاً.⁩

2.8

The Product Rule · ⁨قاعدة الضرب⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.1 يمكن إيجاد مشتقات جداء الدوال القابلة للاشتقاق باستخدام قاعدة الضرب.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The product rule as a growing rectangle

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

العربية

قاعدة الضرب كمستطيل متوسع

حاصل ضرب دالتين لا يُشتق بضرب المشتقات. استخدم قاعدة الضرب:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"مشتقة الأولى مضروبة في الثانية، زائد الأولى مضروبة في مشتقة الثانية." مثال:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

غالباً ما تبني أسئلة الامتحانات دالة جديدة من قطع معطاة، مثل $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$، وتطلب منك دمج القواعد أثناء قراءة القيم من جدول.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	قاعدة الضرب

2.9

The Quotient Rule · ⁨قاعدة القسمة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.2 يمكن إيجاد مشتقات قسمة الدوال القابلة للاشتقاق باستخدام قاعدة القسمة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

العربية

للقسمة، استخدم قاعدة القسمة:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"المقام في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام، الكل مقسوماً على مربع المقام." الترتيب مهم بسبب الإشارة السالبة، لذا اكتب البسط بعناية. مثال:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of tan x, cot x, sec x, and csc x · ⁨مشتقات tan x و cot x و sec x و csc x⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

هدف التعلم FUN-3.B: حساب مشتقات مضروبات ونسب الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.B.3 إعادة ترتيب دوال الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام باستخدام المتطابقات يسمح بالاشتقاق باستخدام قواعد الاشتقاق.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The quotient rule: differentiating a fraction

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $f(x)=x^2\sin x$ with the product rule $(uv)'=u'v+uv'$: take $u=x^2$ ($u'=2x$) and $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), giving $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Always read the structure first — a product needs the product rule, not the power rule applied to each factor separately.

العربية

قاعدة القسمة: اشتقاق كسر

لا يتم حفظ باقي المشتقات المثلثية بشكل منفصل – بل تقوم بإعادة كتابتها باستخدام الهويات وتطبيق قاعدة القسمة (أو الضرب). على سبيل المثال، $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$، مما يعطي قاعدة القسمة

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

نفس الطريقة (كتابة $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$، $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$، $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) تعطي $-\csc^2 x$، $\sec x\tan x$، و $-\csc x\cot x$.

المشتقات ذات الرتب الأعلى. اشتقاق $f'$ مرة أخرى يعطي المشتقة الثانية $f''(x)$ (أو $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – وهو معدل تغير معدل التغير. جزء من الامتحان مثل "أوجد $k''(3)$" يعني ببساطة اشتقاق مرتين، ثم التعويض. يمكنك أيضاً تقدير المشتقة الثانية من جدول عن طريق تطبيق طريقة معدل التغير المتوسط على قيم $f'$.

مثال محلول. اشتق $f(x)=x^2\sin x$ باستخدام قاعدة الضرب $(uv)'=u'v+uv'$: خذ $u=x^2$ ($u'=2x$) و$v=\sin x$ ($v'=\cos x$)، مما يعطي $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. دائماً اقرأ الهيكل أولاً — فالضرب يتطلب قاعدة الضرب، وليس قاعدة القوة المطبقة على كل عامل على حدة.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	قاعدة القسمة
identities/aɪˈdentɪtiz/	متطابقات
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة الثانية

2.10

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

العربية

المشتقة هي ميل المماس – وهو نهاية ميل القاطع $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ عندما $h\to0$.
احفظ القواعد: القوة، الضرب، القسمة، ومشتقات $\sin$، $\cos$، $e^x$، و $\ln x$.
قابلية الاشتقاق تفترض الاستمرارية، ولكن ليس العكس (الزاوية الحادة أو الزاوية الحادة المستمرة ليست قابلة للاشتقاق).
فرق بين معدل التغير المتوسط (ميل الوتر على فترة) والمعدل اللحظي (المشتقة عند نقطة).
قدم معادلة خط المماس بصيغة $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions · ⁨الاشتقاق: الدوال المركبة والضمنية والعكسية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

3.1

The Chain Rule

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.

FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.C: حساب مشتقات تركيبات الدوال القابلة للاشتقاق.

FUN-3.C.1 توفر قاعدة السلسلة طريقة لاشتقاق الدوال المركبة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The chain rule

Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.

Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$", the inner is $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot\frac{d}{dx}(2x^2+1)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Matryoshka dolls: the chain rule differentiates nested functions layer by layer — outer first, then the next inside

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
chain rule/tʃeɪn ruːl/	قاعدة السلسلة
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	الدالة المركبة

3.2

Implicit Differentiation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.

FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.D: حساب مشتقات الدوال المعرّضة ضمنيًا.

FUN-3.D.1 تُعد قاعدة السلسلة أساس الاشتقاق الضمني.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.

The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Worked example. Find the tangent line to the circle $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$. From above $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ there, so the tangent is

$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$

Notice the tangent is perpendicular to the radius, as geometry promises – a good sanity check.

Implicit differentiation gives the tangent to a circle, perpendicular to the radius

Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	الاشتقاق الضمني

3.3

Differentiating Inverse Functions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.

FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.E: حساب مشتقات الدوال العكسية والدوال المثلثية العكسية.

FUN-3.E.1 يمكن استخدام قاعدة السلسلة وتعريف الدالة العكسية لإيجاد مشتقة الدالة العكسية، شريطة وجود المشتقة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

The inverse function is the mirror image of the function in the line y = x

Worked example. Suppose $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$. Because $(2,5)$ lies on $f$, the point $(5,2)$ lies on $g$, and

$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$

The graphs of $f$ and $g$ are mirror images across $y=x$, so their slopes at matching points are reciprocals.

Explore · ⁨استكشف⁩

An exponential and its inverse the logarithm · ⁨دالة أسية ومعكوسها اللوغاريتمي⁩

y = a·e^(bx) + c

Inverse functions are mirror images across $y=x$, and their slopes are reciprocals: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Where one is steep, its inverse is shallow. · ⁨الدوال العكسية هي صور مرآة عبر $y=x$، وميولها مقلوبات: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. حيثما كان أحدهما حاداً، يكون معكوسه مسطحاً.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	الدالة العكسية
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	مقلوبه

3.4

Differentiating Inverse Trigonometric Functions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.

FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.E: حساب مشتقات الدوال العكسية والدوال المثلثية العكسية.

FUN-3.E.2 يمكن استخدام قاعدة السلسلة مطبقة مع تعريف الدالة العكسية، أو صيغة مشتقة الدالة العكسية، لإيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	الدوال المثلثية العكسية

3.5

Selecting Procedures for Calculating Derivatives

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.

العربية

يُقصَد بهذا الموضوع التركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب لحساب المشتقات. ينبغي توفير فرص للطلاب للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع الأهداف التعليمية المتعلقة بحساب المشتقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.

Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.

Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.

3.6

Calculating Higher-Order Derivatives

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.

FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.

العربية

فهم دائم (FUN-3): إدراك الفرص لتطبيق قواعد الاشتقاق يمكن أن يبسط عملية الاشتقاق.

الهدف التعليمي FUN-3.F: تحديد المشتقات ذات الرتب الأعلى للدالة.

FUN-3.F.1 اشتقاق $f'$ ينتج المشتقة الثانية $f''$، شريطة أن تكون مشتقة $f'$ موجودة؛ وتكرار هذه العملية ينتج مشتقات ذات رتب أعلى لـ $f$.
FUN-3.F.2 تُمثل المشتقات ذات الرتب الأعلى بمجموعة متنوعة من الرموز. بالنسبة لـ $y = f(x)$، تشمل رموز المشتقة الثانية $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$، $f''(x)$، و $y''$. ويمكن ترميز المشتقات ذات الرتب الأعلى بـ $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ أو $f^{(n)}(x)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数 $f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.

Explore · ⁨استكشف⁩

Slope of the slope: the second derivative · ⁨ميل الميل: المشتقة الثانية⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Differentiating again gives the second derivative — the rate at which the slope changes. Where the tangent's slope is itself increasing, the curve bends upward (concave up). · ⁨الاشتقاق مرة أخرى يعطي المشتقة الثانية — معدل تغير الميل. حيثما كان ميل المماس نفسه متزايداً، ينحني المنحنى لأعلى (محدب للأعلى).⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	المشتقة الثانية
concavity/kənˈkævɪti/	التقعر

3.6

Exam tips

Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.

Contextual Applications of Differentiation · ⁨تطبيقات الاشتقاق السياقية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

4.1

Interpreting the Derivative in Context · ⁨تفسير المشتقة في السياق⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.A: Interpret the meaning of a derivative in context.

CHA-3.A.1 The derivative of a function can be interpreted as the instantaneous rate of change with respect to its independent variable.
CHA-3.A.2 The derivative can be used to express information about rates of change in applied contexts.
CHA-3.A.3 The unit for $f'(x)$ is the unit for $f$ divided by the unit for $x$.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.A: تفسير معنى المشتقة في السياق.

CHA-3.A.1 يمكن تفسير مشتقة الدالة كمعدل تغير لحظي بالنسبة لمتغيرها المستقل.
CHA-3.A.2 يمكن استخدام المشتقة للتعبير عن معلومات حول معدلات التغير في سياقات تطبيقية.
CHA-3.A.3 وحدة القياس لـ $f'(x)$ هي وحدة القياس لـ $f$ مقسومة على وحدة القياس لـ $x$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Once you can compute derivatives, you use them to describe the real world. The derivative $f'(x)$ is the instantaneous rate of change of $f$ with respect to its input. Reading and reporting this rate correctly is a graded skill.

Units matter. The unit of $f'(x)$ is the unit of $f$ divided by the unit of $x$. If $C(t)$ is a number of acres and $t$ is in weeks, then $C'(t)$ is in acres per week. On the exam, "Using correct units, interpret the meaning of $g'(140)$" wants a full sentence: the value, the quantity, the rate word "per", and the moment. For example: "$g'(140)=2.3$ means that at $x=140$, the quantity is increasing at about $2.3$ units per unit of $x$."

العربية

بمجرد أن تتمكن من حساب المشتقات، تستخدمها لوصف العالم الحقيقي. المشتقة $f'(x)$ هي معدل التغير اللحظي لـ$f$ بالنسبة لمدخلاتها. قراءة وإبلاغ هذا المعدل بشكل صحيح هو مهارة مدرجة في الدرجات.

الوحدات مهمة. وحدة $f'(x)$ هي وحدة $f$ مقسومة على وحدة $x$. إذا كان $C(t)$ يمثل عدد فدان و $t$ بأسابيع، فإن $C'(t)$ يكون بالفدان في الأسبوع. في الامتحان، يطلب "باستخدام الوحدات الصحيحة، افسر معنى $g'(140)$" جملة كاملة: القيمة، الكمية، كلمة المعدل لكل (per)، و اللحظة. مثال: "يعني $g'(140)=2.3$ أنه عند $x=140$، تزداد الكمية بمعدل حوالي $2.3$ وحدة لكل وحدة من $x$."

4.2

Straight-Line Motion: Position, Velocity, and Acceleration · ⁨الحركة المستقيمة: الموقع، السرعة، والتسارع⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.B: Calculate rates of change in applied contexts.

CHA-3.B.1 The derivative can be used to solve rectilinear motion problems involving position, speed, velocity, and acceleration.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.B: حساب معدلات التغير في السياقات التطبيقية.

CHA-3.B.1 يمكن استخدام المشتقة لحل مسائل الحركة مستقيمة الخط التي تتضمن الموقع، السرعة، التردد، والتسارع.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a particle moving on a line, three functions of time are linked by differentiation:

position 位置 $s(t)$;
velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ – signed; its sign gives direction;
acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Key readings (frequent exam parts):

The particle is at rest 静止 when $v(t)=0$.
It moves right/up when $v(t)>0$ and left/down when $v(t)<0$; it changes direction where $v$ changes sign.
Speed 速率 is $|v(t)|$. Speed is increasing when $v$ and $a$ have the same sign (the particle is speeding up), and decreasing when they have opposite signs.

Worked example. A particle moves with $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Then $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, so it is at rest at $t=1$ and $t=3$, and changes direction at each. At $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (moving left) and $a(2)=6(2)-12=0$; just after, $a>0$ while $v<0$, so it is slowing down there. Distinguish carefully between velocity (has direction) and speed (does not) – the exam tests this exact difference.

العربية

بالنسبة لجسيم يتحرك على خط، ترتبط ثلاث دوال للزمن عن طريق الاشتقاق:

في الرسم البياني للسرعة والزمن، المساحة هي الإزاحة والميل هو التسارع

الموقع $s(t)$;
السرعة $v(t)=s'(t)$ – ذات إشارة؛ إشارته تعطي الاتجاه;
التسارع $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

قراءات رئيسية (أجزاء امتحانات متكررة):

يكون الجسيم ساكنًا عندما $v(t)=0$.
يتحرك يمينًا/أعلى عندما $v(t)>0$ ويسارًا/أسفل عندما $v(t)<0$؛ يغير اتجاهه حيث $v$ تتغير إشارتها.
السرعة هي $|v(t)|$. تتزايد السرعة عندما $v$ و$a$ لهما إشارة متطابقة (يتسارع الجسيم)، وتتناقص عندما يكون لهما إشارات متعاكسة.

مثال محلول. يتحرك جسيم بسرعة $s(t)=t^3-6t^2+9t$. ثم $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$، لذا فهو في حالة سكون عند $t=1$ و$t=3$، ويتغير اتجاهه عند كل منهما. عند $t=2$، $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (متحركًا يسارًا) و$a(2)=6(2)-12=0$؛ مباشرة بعد ذلك، $a>0$ بينما $v<0$، لذا فهو يقلل سرعته هناك. افرق بدقة بين السرعة المتجهة (لها اتجاه) والسرعة القياسية (ليس لها) – يختبر الامتحان هذا الفرق تحديداً.

سيارة من التسلق على مسار دائري — التسلق هو حساب تفاضلي يمكنك الإحساس به: السرعة المتجهة هي مشتقة الموضع، والتسارع هو مشتقة السرعة

Explore · ⁨استكشف⁩

Velocity is the slope of position · ⁨السرعة هي ميل المسافة⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

For straight-line motion, velocity is the derivative (slope) of position and acceleration the derivative of velocity. Slide the point to read the instantaneous velocity. · ⁨لحركة خطية مستقيمة، السرعة هي المشتقة (الميل) للمسافة والتسارع هو مشتقة السرعة. اسحب النقطة لقراءة السرعة اللحظية.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
position/pəˈzɪʃn/	الموقع
velocity/vəˈlɒsɪti/	السرعة
acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/	التسارع
at rest/æt rest/	ساكن
Speed/spiːd/	السرعة

4.3

Rates of Change Beyond Motion · ⁨معدلات التغير خارج الحركة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.C: Interpret rates of change in applied contexts.

CHA-3.C.1 The derivative can be used to solve problems involving rates of change in applied contexts.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.C: تفسير معدلات التغير في السياقات التطبيقية.

CHA-3.C.1 يمكن استخدام المشتقة لحل المسائل التي涉及到 معدلات التغير في السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The same derivative idea models any changing quantity: a draining tank, a spreading population, a cooling cup. Whenever a problem says "the rate at which...", it is describing a derivative. Read the units to know which quantity's rate you have, then interpret in context.

العربية

فكرة الاشتقاق نفسها نموذج لأي كمية متغيرة: خزان يُفرغ، عدد سكان ينتشر، كوب يبرد. كلما ذكر مشكلة "المعدل الذي..."، فهي تصف اشتقاقاً. اقرأ الوحدات لتعرف معدل أي كمية لديك، ثم فسر في السياق.

4.4

Introduction to Related Rates · ⁨مقدمة عن معدلات التغير المرتبطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.D: Calculate related rates in applied contexts.

CHA-3.D.1 The chain rule is the basis for differentiating variables in a related rates problem with respect to the same independent variable.
CHA-3.D.2 Other differentiation rules, such as the product rule and the quotient rule, may also be necessary to differentiate all variables with respect to the same independent variable.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.D: حساب معدلات التغير المرتبطة في السياقات التطبيقية.

CHA-3.D.1 تُعد قاعدة السلسلة أساس اشتقاق المتغيرات في مسألة معدلات التغير المرتبطة بالنسبة لنفس المتغير المستقل.
CHA-3.D.2 قد تكون قواعد اشتقاق أخرى، مثل قاعدة الضرب وقاعدة القسمة، ضرورية أيضًا لاشتقاق جميع المتغيرات بالنسبة لنفس المتغير المستقل.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Related rates: a sliding ladder

In a related rates 相关变化率 problem, several quantities change together over time, and you know some rates but want another. The engine is the chain rule: differentiate a relationship with respect to time $t$. Every variable becomes a function of $t$, so each derivative picks up a "$\,/\,dt$" factor. Product and quotient rules may also be needed.

العربية

معدلات مرتبطة: سلم ينزلق

في مسألة معدلات التغير المرتبطة، تتغير عدة كميات معاً بمرور الوقت، وتعرف بعض المعدلات لكنك تريد أخرى. المحرك هو قاعدة السلسلة: اشتق علاقة بالنسبة للزمن $t$. كل متغير يصبح دالة في $t$، لذا يأخذ كل اشتقاق عامل "$\,/\,dt$". قد تكون قواعد الضرب والقسمة ضرورية أيضاً.

بالون صاعد: تربط معدلات التغير المرتبطة كيف يتغير نصف القطر والحجم والارتفاع معاً — بالون صاعد: تربط معدلات التغير المرتبط كيف يتغير نصف القطر والحجم والارتفاع معاً

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	المعدلات المرتبطة
local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/	الخطية المحلية
linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/	تقريب خطي
overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/	تقدير مرتفع
indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	الصيغة غير المحددة
L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/	قاعدة لوبيتال

4.5

Solving Related Rates Problems · ⁨حل مسائل معدلات التغير المرتبطة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.E: Interpret related rates in applied contexts.

CHA-3.E.1 The derivative can be used to solve related rates problems; that is, finding a rate at which one quantity is changing by relating it to other quantities whose rates of change are known.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.E: تفسير معدلات التغير المرتبطة في السياقات التطبيقية.

CHA-3.E.1 يمكن استخدام المشتقة لحل مسائل معدلات التغير المرتبطة؛ أي إيجاد معدل يتغير به كمية معينة عن طريق ربطه بكميات أخرى تُعرف معدلات تغيرها.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A reliable procedure – and a full-credit template on the exam:

Name the variables and write down the given rates and the unknown rate (e.g. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day, find $\dfrac{dV}{dt}$").
Write an equation relating the quantities (often a geometric or volume formula).
Differentiate both sides with respect to $t$ (chain rule) – before substituting numbers.
Substitute the known values at the instant of interest, and solve for the unknown rate.
State the answer with units and the correct sign (a decreasing quantity has a negative rate).

Worked example. Air is pumped into a spherical balloon so its volume grows at $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. How fast is the radius growing when $r=5\ \text{cm}$? Start from $V=\tfrac43\pi r^3$ and differentiate with respect to $t$ first:

$$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\;\Rightarrow\;100=4\pi(5)^2\frac{dr}{dt}\;\Rightarrow\;\frac{dr}{dt}=\frac{100}{100\pi}=\frac{1}{\pi}\approx 0.32\ \text{cm/s}.$$

Substituting $r=5$ too early is the classic error – differentiate the general relationship, then plug in.

العربية

إجراء موثوق – وقالب كامل للحصول على الدرجة الكاملة في الامتحان:

سمِّ المتغيرات واكتب المعدلات المعطاة والمعدل المجهول (مثل "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ سم/يوم، أوجد $\dfrac{dV}{dt}$").
اكتب معادلة تربط الكميات (غالباً معادلة هندسية أو للحجم).
اشتق كلا الطرفين بالنسبة لـ $t$ (قاعدة السلسلة) – قبل التعويض بالأرقام.
التعويض بالقيم المعروفة عند اللحظة المعنية، وحل للمعدل المجهول.
عيّن الإجابة بـ وحدات وإشارة صحيحة (الكمية المتناقصة لها معدل سالب).

مثال محلول. تُضخّ الهواء في بالون كروي بحيث ينمو حجمه بمعدل $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. ما سرعة نمو نصف القطر عندما $r=5\ \text{cm}$؟ ابدأ من $V=\tfrac43\pi r^3$ واشتق بالنسبة لـ $t$ أولاً:

$$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\;\Rightarrow\;100=4\pi(5)^2\frac{dr}{dt}\;\Rightarrow\;\frac{dr}{dt}=\frac{100}{100\pi}=\frac{1}{\pi}\approx 0.32\ \text{cm/s}.$$

التعويض بـ $r=5$ مبكراً هو الخطأ الكلاسيكي – اشتق العلاقة العامة أولاً، ثم عوض.

بالون يتمدد يربط dV/dt و dr/dt عبر قاعدة السلسلة

4.6

Local Linearity and Linearization · ⁨الخطية المحلية والتقريب الخطي⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.F: Approximate a value on a curve using the equation of a tangent line.

CHA-3.F.1 The tangent line is the graph of a locally linear approximation of the function near the point of tangency.
CHA-3.F.2 For a tangent line approximation, the function's behavior near the point of tangency may determine whether a tangent line value is an underestimate or an overestimate of the corresponding function value.

العربية

فهم دائم (CHA-3): تسمح المشتقات لنا بحل مسائل العالم الحقيقي التي تتعلق بمعدلات التغير.

الهدف التعليمي CHA-3.F: تقريب قيمة على منحنى باستخدام معادلة المماس.

CHA-3.F.1 المماس هو تمثيل بياني لتقريب خطي محلي للدالة بالقرب من نقطة التماس.
CHA-3.F.2 بالنسبة لتقريب الخط المماس، قد يحدد سلوك الدالة بالقرب من نقطة التماس ما إذا كانت قيمة الخط المماس تمثل تقديراً أقل أو أعلى من القيمة المقابلة للدالة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Local linearity and linearisation

Near a point of tangency, a smooth curve looks like its tangent line – this is local linearity 局部线性. So the tangent line gives a linear approximation 线性近似 (linearization) of the function near that point:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

Use it to estimate $f$ at an $x$ close to $a$.

Worked example. Estimate $\sqrt{4.1}$. Take $f(x)=\sqrt{x}$ and $a=4$: $f(4)=2$ and $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ so $f'(4)=\dfrac14$. Then $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (the true value is $2.0248\ldots$). Because $\sqrt{x}$ is concave down, the tangent lies above the curve, so this is a slight overestimate 高估 – justify over/under with the sign of $f''$.

العربية

الخطية المحلية والتقريب الخطي

قرب نقطة التماس، تبدو المنحنى الناعم وكأنه خط مماس له – هذا هو الخطية المحلية. لذلك يعطي خط المماس تقريباً خطياً (تقريباً خطياً) للدالة قرب تلك النقطة:

$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$

استخدمه لتقدير $f$ عند $x$ قريب من $a$.

خط المماس هو أفضل تقريب خطي للمنحنى قرب نقطة التماس

مثال محلول. قدّر $\sqrt{4.1}$. خذ $f(x)=\sqrt{x}$ و $a=4$: $f(4)=2$ و $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ بحيث $f'(4)=\dfrac14$. ثم $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (القيمة الحقيقية هي $2.0248\ldots$). بما أن $\sqrt{x}$ مقعر للأسفل، فإن المماس يقع فوق المنحنى، لذا فهذه تقديرة عالية قليلاً – برر التقدير العالي/المنخفض بإشارة $f''$.

Explore · ⁨استكشف⁩

Approximate a curve with its tangent line · ⁨تقريب منحنى بخط مماس له⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Local linearity: near a point a smooth curve looks like its tangent line, so the tangent gives a good linear approximation of nearby values. · ⁨الخطية المحلية: بالقرب من نقطة ما، يبدو المنحنى السلس وكأنه خط مماس له، لذا يوفر المماس تقريباً خطياً جيداً للقيم القريبة.⁩

4.7

L'Hospital's Rule for Indeterminate Forms · ⁨قاعدة لوبيتال للأشكال غير المحددة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-4): L'Hospital's Rule allows us to determine the limits of some indeterminate forms.

Learning Objective LIM-4.A: Determine limits of functions that result in indeterminate forms.

LIM-4.A.1 When the ratio of two functions tends to $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ in the limit, such forms are said to be indeterminate.
- Exclusion statement: There are many other indeterminate forms, such as $\infty - \infty$, for example, but these will not be assessed on either the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include these topics, if time permits.
LIM-4.A.2 Limits of the indeterminate forms $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ may be evaluated using L'Hospital's Rule.

العربية

الفهم الدائم (LIM-4): تسمح لنا قاعدة لوبيتال بتحديد نهايات بعض الأشكال غير المحددة.

هدف التعلم LIM-4.A: تحديد نهايات الدوال التي تؤدي إلى أشكال غير محددة.

LIM-4.A.1 عندما يميل النسبة بين دالتين إلى $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$ في النهاية، تُقال إن هذه الأشكال غير محددة.
- عبارة استبعاد: توجد العديد من الأشكال غير المحددة الأخرى، مثل $\infty - \infty$، على سبيل المثال، ولكن لن يتم تقييمها في امتحان AP Calculus AB أو BC. ومع ذلك، قد يتضمن المعلمون هذه المواضيع، إذا سمح الوقت بذلك.
LIM-4.A.2 يمكن تقييم نهايات الأشكال غير المحددة $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$ باستخدام قاعدة لوبيتال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

When direct substitution in a quotient of limits gives the indeterminate form 未定式 $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$, you may use L'Hospital's Rule 洛必达法则:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

provided the right-hand limit exists. Differentiate the top and bottom separately (this is not the quotient rule), then try the limit again. First confirm the form really is $\tfrac{0}{0}$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$ – applying the rule to any other form is a mistake.

Worked example. Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Substituting gives $\tfrac00$, so differentiate top and bottom: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirming the famous limit from Unit 1.

العربية

عندما يعطي التعويض المباشر في حاصل قسمة حدود الشكل غير المحدد $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$، يمكنك استخدام قاعدة لوبيتال:

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

بشرط أن يوجد الحد الأيمن. اشتق البسط والمقام بشكل منفصل (هذا ليس قاعدة القسمة)، ثم حاول الحد مرة أخرى. تأكد أولاً أن الشكل فعلاً $\tfrac{0}{0}$ أو $\tfrac{\infty}{\infty}$ – تطبيق القاعدة على أي شكل آخر هو خطأ.

مثال محلول. احسب $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. التعويض يعطي $\tfrac00$، لذا اشتق البسط والمقام: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – مما يؤكد الحد الشهير من الوحدة 1.

4.7

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

In motion problems: velocity is the derivative of position, acceleration the derivative of velocity; speed increases when velocity and acceleration share a sign.
For related rates, differentiate the relating equation with respect to time, then substitute the given values last.
Use the tangent line for a linear approximation near a known point; it is accurate only close by.
Read the sign of a rate: positive means the quantities move together, negative means opposite.
Always state units and interpret the answer in context.

العربية

في مسائل الحركة: السرعة المتجهة هي مشتقة الموضع، والتسارع هو مشتقة السرعة؛ تزداد السرعة عندما تتشارك السرعة والتسارع إشارة.
بالنسبة لـ معدلات التغير المرتبطة، اشتق المعادلة المرتبطة بالنسبة لـ الزمن، ثم عوض بالقيم المعطاة في النهاية.
استخدم خط المماس لـ تقريب خطي قرب نقطة معروفة؛ إنه دقيق فقط بالقرب منها.
اقرأ إشارة المعدل: الموجب يعني أن الكميات تتحرك معاً، والسالب يعني عكس الاتجاه.
عيّن دائماً الوحدات وفسّر الإجابة في السياق.

Analytical Applications of Differentiation · ⁨التطبيقات التحليلية للاشتقاق⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

5.1

The Mean Value Theorem

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.B: Justify conclusions about functions by applying the Mean Value Theorem over an interval.

FUN-1.B.1 If a function $f$ is continuous over the interval $[a, b]$ and differentiable over the interval $(a, b)$, then the Mean Value Theorem guarantees a point within that open interval where the instantaneous rate of change equals the average rate of change over the interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-1): تسمح نظريات الوجود باستنتاجات حول سلوك الدالة على فترة دون تحديد موقع ذلك السلوك بدقة.

هدف التعلم FUN-1.B: تبرير الاستنتاجات حول الدوال عن طريق تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على فترة.

FUN-1.B.1 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق على الفترة $(a, b)$، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن وجود نقطة داخل تلك الفترة المفتوحة حيث يساوي معدل التغير اللحظي معدل التغير المتوسط على الفترة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The Mean Value Theorem

The Mean Value Theorem 中值定理 (MVT) links the average rate of change to an instantaneous one:

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ where
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

In words: somewhere inside the interval, the instantaneous rate equals the average rate. Geometrically, some tangent line is parallel to the line joining the endpoints.

The Mean Value Theorem: some tangent is parallel to the secant over the interval

Exam skill. Like the IVT, the MVT is an existence theorem, and questions ask you to justify. Full credit needs: (1) state $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$; (2) compute the average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclude "by the MVT there is a $c$ in $(a,b)$ with $f'(c)$ equal to that value." Both hypotheses must be named.

Worked example. Verify the MVT for $f(x)=x^2$ on $[1,3]$. It is a polynomial, so continuous and differentiable everywhere. The average rate is $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Setting $f'(c)=2c=4$ gives $c=2$, which does lie in $(1,3)$ – the guaranteed point.

Explore · ⁨استكشف⁩

The Mean Value Theorem · ⁨نظرية القيمة الوسطى⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The MVT guarantees a point where the tangent is parallel to the secant — the instantaneous rate equals the average rate somewhere inside the interval. · ⁨نظرية القيمة الوسطى MVT تضمن وجود نقطة يكون فيها المماس موازياً للقطر القاطع — المعدل اللحظي يساوي المعدل المتوسط في مكان ما داخل الفترة.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	مبرهنة القيمة المتوسطة

5.2

Extreme Values and Critical Points

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.C: Justify conclusions about functions by applying the Extreme Value Theorem.

FUN-1.C.1 If a function $f$ is continuous over the interval $(a, b)$, then the Extreme Value Theorem guarantees that $f$ has at least one minimum value and at least one maximum value on $[a, b]$.
FUN-1.C.2 A point on a function where the first derivative equals zero or fails to exist is a critical point of the function.
FUN-1.C.3 All local (relative) extrema occur at critical points of a function, though not all critical points are local extrema.

العربية

الفهم الدائم (FUN-1): تسمح نظريات الوجود باستنتاجات حول سلوك الدالة على فترة دون تحديد موقع ذلك السلوك بدقة.

هدف التعلم FUN-1.C: تبرير الاستنتاجات حول الدوال عن طريق تطبيق نظرية القيمة القصوى.

FUN-1.C.1 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على الفترة $(a, b)$، فإن مبرهنة القيمة القصية تضمن أن $f$ لها قيمة صغرى واحدة على الأقل وقيمة عظمى واحدة على الأقل على $[a, b]$.
FUN-1.C.2 النقطة على دالة حيث تساوي المشتقة الأولى صفراً أو تفشل في الوجود هي نقطة حرجة للدالة.
FUN-1.C.3 جميع القيم القصوى المحلية (النسبية) تحدث عند النقاط الحرجة للدالة، على الرغم من أن ليس كل النقاط الحرجة هي قيم قصوى محلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A mountain peak reflected in a lake: extrema and critical points mark highest and lowest values

The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extremes exist: a function continuous on a closed interval $[a,b]$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on it.

At a maximum or minimum the derivative is zero

A critical point 临界点 is an interior point where $f'(x)=0$ or $f'(x)$ does not exist. All local (relative) extrema 局部极值 occur at critical points – but not every critical point is an extremum. So critical points are the candidates; you must test each.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	مبرهنة القيمة القصوى
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	نقطة حرجة
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	القيم القصوى المحلية (النسبية)

5.3

Increasing and Decreasing Intervals

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.1 The first derivative of a function can provide information about the function and its graph, including intervals where the function is increasing or decreasing.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.1 يمكن للمشتقة الأولى للدالة توفير معلومات حول الدالة ومنحنىها، بما في ذلك الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The first derivative tells you where $f$ rises or falls:

$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$ $f$ is increasing 递增 there;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is decreasing 递减.

On the exam, "find the intervals where $f$ is increasing" means: find the critical points, then test the sign of $f'$ between them, and justify with the sign of $f'$ (a stated reason, not just an interval).

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	تزداد
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	تناقص

5.4

The First Derivative Test

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.2 The first derivative of a function can determine the location of relative (local) extrema of the function.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.2 يمكن للمشتقة الأولى للدالة تحديد مواقع القيم القصوى المحلية (النسبية) للدالة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

To classify a critical point $x=c$ as a local max, local min, or neither, check how $f'$ changes sign there:

$f'$ changes $+$ to $-$ at $c$ $\Rightarrow$ local maximum 极大值;
$f'$ changes $-$ to $+$ at $c$ $\Rightarrow$ local minimum 极小值;
$f'$ does not change sign $\Rightarrow$ neither.

Always state the sign change as your justification.

Worked example. Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x^2$. Here $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, zero at $x=0$ and $x=2$. Testing signs: $f'>0$ for $x<0$, $f'<0$ on $(0,2)$, and $f'>0$ for $x>2$. So $f'$ turns $+\to-$ at $x=0$ (a local maximum, $f(0)=0$) and $-\to+$ at $x=2$ (a local minimum, $f(2)=-4$).

The sign of f-prime sets where a function increases or decreases and locates its local extrema — Where $f' > 0$ the graph rises and where $f' < 0$ it falls; a local max sits where $f'$ turns $+$ to $-$, a local min where it turns $-$ to $+$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	حد أقصى محلي
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	حد أدنى محلي

5.5

The Candidates Test for Absolute Extrema

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.3 Absolute (global) extrema of a function on a closed interval can only occur at critical points or at endpoints.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.3 القيم القصوى المطلقة (العالمية) للدالة على فترة مغلقة يمكن أن تحدث فقط عند النقاط الحرجة أو عند الأطراف.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

On a closed interval, absolute (global) extrema occur only at critical points or endpoints. The candidates test:

List all critical points in $[a,b]$ and the two endpoints.
Evaluate $f$ at each candidate.
The largest output is the absolute maximum; the smallest is the absolute minimum.

Show the table of values – the comparison is the argument.

5.6

Concavity and Points of Inflection

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.4 The graph of a function is concave up (down) on an open interval if the function's derivative is increasing (decreasing) on that interval.
FUN-4.A.5 The second derivative of a function provides information about the function and its graph, including intervals of upward or downward concavity.
FUN-4.A.6 The second derivative of a function may be used to locate points of inflection for the graph of the original function.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.4 يكون منحنى الدالة مقعراً لأعلى (لأسفل) على فترة مفتوحة إذا كانت مشتقة الدالة متزايدة (متناقصة) على تلك الفترة.
FUN-4.A.5 توفر المشتقة الثانية للدالة معلومات حول الدالة ومنحناها، بما في ذلك فترات التقعر لأعلى أو لأسفل.
FUN-4.A.6 يمكن استخدام المشتقة الثانية للدالة لتحديد نقاط الانعطاف لمنحنى الدالة الأصلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The second derivative describes bending:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave up 上凹 (curving like a cup; $f'$ is increasing);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave down 下凹 ($f'$ is decreasing).

A point of inflection 拐点 is where concavity changes, i.e. where $f''$ changes sign (not merely where $f''=0$). Report its $x$-coordinate and justify with the sign change of $f''$.

Concavity comes from the sign of the second derivative; it flips at an inflection point

Explore · ⁨استكشف⁩

Where concavity flips · ⁨حيث تنعكس التقعر⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Concavity is the sign of $f''$: concave up holds water, concave down spills it. A point of inflection is where it switches. · ⁨التقعر هو إشارة $f''$: محدب للأعلى يحفظ الماء، ومحدب للأسفل يسكبه. نقطة الانعطاف هي التي يتغير فيها التقعر.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	محدب للأعلى
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	محدب لأسفل
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	نقطة انعطاف

5.7

The Second Derivative Test

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.7 The second derivative of a function may determine whether a critical point is the location of a relative (local) maximum or minimum.
FUN-4.A.8 When a continuous function has only one critical point on an interval on its domain and the critical point corresponds to a relative (local) extremum of the function on the interval, then that critical point also corresponds to the absolute (global) extremum of the function on the interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.7 قد تحدد المشتقة الثانية للدالة ما إذا كانت النقطة الحرجة موقعاً لقيمة قصوى محلية (نسبية) عظمى أو صغرى.
FUN-4.A.8 عندما تحتوي دالة متصلة على نقطة حرجة واحدة فقط على فترة من مجالها وتناظر تلك النقطة الحرجة قيمة قصوى محلية (نسبية) للدالة على الفترة، فإن تلك النقطة الحرجة تناظر أيضاً القيمة القصوى المطلقة (العالمية) للدالة على الفترة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

An alternative way to classify a critical point $c$ where $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$ local minimum;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$ local maximum;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ the test is inconclusive – fall back on the first derivative test.

Special case: if a continuous function has only one critical point on an interval and it is a local extremum, that point is also the absolute extremum there.

5.8

Sketching a Function and Its Derivatives

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.9 Key features of functions and their derivatives can be identified and related to their graphical, numerical, and analytical representations.
FUN-4.A.10 Graphical, numerical, and analytical information from $f'$ and $f''$ can be used to predict and explain the behavior of $f$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.9 يمكن تحديد الخصائص الرئيسية للدوال ومشتقاتها وربطها بتمثيلاتها البيانية والعددية والتحليلية.
FUN-4.A.10 يمكن استخدام المعلومات البيانية والعددية والتحليلية من $f'$ و $f''$ للتنبؤ بتصرف $f$ وشرحه.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Key features of $f$, $f'$, and $f''$ mirror each other. To sketch or read graphs:

$f$ increasing $\Leftrightarrow$ $f'$ above the axis; $f$ has a local max $\Leftrightarrow$ $f'$ crosses from $+$ to $-$.
$f$ concave up $\Leftrightarrow$ $f'$ increasing $\Leftrightarrow$ $f''$ above the axis; $f$ has an inflection point $\Leftrightarrow$ $f'$ has a local extremum $\Leftrightarrow$ $f''$ crosses zero.

5.9

Connecting f, f-prime, and f-double-prime

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.11 Key features of the graphs of $f$, $f'$, and $f''$ are related to one another.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.A: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة بناءً على سلوك مشتقاتها.

FUN-4.A.11 ترتبط الخصائص الرئيسية لـ $f$، و$f'$، و$f''$ ببعضها البعض.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

This is the skill of reading one graph to describe another. A very common exam setup gives the graph of $f'$ and asks about $f$: where is $f$ increasing (where $f'>0$), where are $f$'s extrema (where $f'$ crosses zero, with a sign change), where is $f$ concave up (where $f'$ is increasing). Answer questions about $f$ using the height and slope of the $f'$ graph.

Explore · ⁨استكشف⁩

Slope and bend from the graph · ⁨الميل والانحناء من الرسم البياني⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Where $f'>0$ the function rises; where $f''>0$ it bends up. Slide the tangent to link the shape of $f$ to the signs of its derivatives. · ⁨حيثما $f'>0$ تتزايد الدالة؛ حيثما $f''>0$ تنحني لأعلى. اسحب المماس لربط شكل $f$ بإشارات مشتقاتها.⁩

5.10

Introduction to Optimization

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.B: Calculate minimum and maximum values in applied contexts or analysis of functions.

FUN-4.B.1 The derivative can be used to solve optimization problems; that is, finding a minimum or maximum value of a function on a given interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.B: حساب القيم الصغرى والعلى في السياقات التطبيقية أو تحليل الدوال.

FUN-4.B.1 يمكن استخدام المشتقة لحل مسائل التحسين؛ أي إيجاد قيمة صغرى أو عظمى لدالة على فترة معينة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Optimisation: the best box

Optimization 最优化 uses the derivative to find the largest or smallest value of a quantity on an interval. It is the candidates/derivative-test machinery applied to a real goal.

Fenced enclosures: optimization finds the dimensions that maximise area for a fixed fence length

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	التحسين

5.11

Solving Optimization Problems

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.C: Interpret minimum and maximum values calculated in applied contexts.

FUN-4.C.1 Minimum and maximum values of a function take on specific meanings in applied contexts.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.C: تفسير القيم الصغرى والعلى المحسوبة في السياقات التطبيقية.

FUN-4.C.1 للقيم الصغرى والعلى للدالة معاني محددة في السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A dependable procedure:

Write the quantity to optimize as a function of one variable (use a constraint equation to eliminate extras).
State the interval of allowed inputs.
Find critical points ($f'=0$ or undefined) and test them (first- or second-derivative test, or candidates test if the interval is closed).
Answer the question asked, with units and interpretation in context – the maximum area, the minimum cost, etc.

Worked example. A farmer has $100\ \text{m}$ of fence for a rectangular pen against a wall, so only three sides need fencing. Maximize the area. Let the two ends be $x$ and the side parallel to the wall be $y$; the constraint is $2x+y=100$, so $y=100-2x$. The area is

$$A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2,\qquad A'(x)=100-4x=0\;\Rightarrow\;x=25.$$

Since $A''=-4<0$ this is a maximum, giving $y=50$ and $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Behaviors of Implicit Relations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.D: Determine critical points of implicit relations.

FUN-4.D.1 A point on an implicit relation where the first derivative equals zero or does not exist is a critical point of the function.

Learning Objective FUN-4.E: Justify conclusions about the behavior of an implicitly defined function based on evidence from its derivatives.

FUN-4.E.1 Applications of derivatives can be extended to implicitly defined functions.
FUN-4.E.2 Second derivatives involving implicit differentiation may be relations of $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-4): يمكن استخدام مشتقة الدالة لفهم بعض سلوك الدالة.

هدف التعلم FUN-4.D: تحديد النقاط الحرجة للعلاقات الضمنية.

FUN-4.D.1 النقطة على علاقة ضمنية حيث تساوي المشتقة الأولى صفراً أو لا توجد، هي نقطة حرجة للدالة.

هدف التعلم FUN-4.E: تبرير الاستنتاجات حول سلوك الدالة المعرفة ضمنياً بناءً على الأدلة من مشتقاتها.

FUN-4.E.1 يمكن توسيع تطبيقات المشتقات لتشمل الدوال المعرفة ضمنياً.
FUN-4.E.2 المشتقات الثانية التي تتضمن الاشتقاق الضمني قد تكون علاقات لـ $x$، $y$، و $\dfrac{dy}{dx}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

All of this extends to implicitly defined relations. A critical point of an implicit relation is where $\dfrac{dy}{dx}=0$ (horizontal tangent) or is undefined (vertical tangent). Because $\dfrac{dy}{dx}$ is usually a relation in $x$ and $y$, and the second derivative involves $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$, substitute your first-derivative expression back in when finding $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, then reason about concavity from its sign.

5.12

Exam tips

$f'>0$ means increasing, $f'<0$ decreasing; candidates for extrema are where $f'=0$ or is undefined.
Classify a critical point with the first-derivative sign change or the second-derivative test ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down; a point of inflection is where concavity changes ($f''$ changes sign).
For an absolute extremum on a closed interval, also check the endpoints.
Justify every conclusion by citing the sign of $f'$ or $f''$ — the exam demands the reasoning, not just the answer.

Integration and Accumulation of Change · ⁨التكامل وتراكم التغيير⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.A: تفسير معنى المساحات المرتبطة بمنحنى معدل التغير في السياق.

CHA-4.A.1 مساحة المنطقة بين منحنى دالة معدل التغير ومحور $x$ تعطي تراكم التغير.
CHA-4.A.2 في بعض الحالات، يمكن حساب تراكم التغير باستخدام الهندسة.
CHA-4.A.3 إذا كان معدل التغير موجباً (سالباً) على فترة، فإن التغير المجمع يكون موجباً (سالباً).
CHA-4.A.4 وحدة قياس مساحة منطقة محددة بمعدل تغير هي وحدة معدل التغير مضروبة في وحدة المتغير المستقل.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A water tank: integration accumulates change — total volume from a rate of flow

Differentiation found rates. Integration runs the idea in reverse: given a rate of change, it finds the accumulated change 累积变化. The key picture: the area between the graph of a rate function and the $x$-axis gives the total accumulation.

If the rate is positive over an interval, the accumulated change is positive; if negative, negative. Area below the axis counts as negative.
Simple regions (triangles, rectangles) can be found with geometry 几何.
Units: the area's unit is the rate's unit times the input's unit. A rate in vehicles-per-hour times hours gives vehicles.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
accumulated change/əˈkjuːmjʊleɪtɪd tʃeɪndʒ/	التغير التراكمي
geometry/dʒiˈɒmətri/	هندسة

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

العربية

الفهم الدائم (LIM-5): يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق هندسية ورقمية.

هدف التعلم LIM-5.A: تقريب تكامل محدد باستخدام طرق هندسية ورقمية.

LIM-5.A.1 يمكن تقريب التكاملات المحددة للدوال التي يتم تمثيلها بيانياً، رقمياً، تحليلياً، ولفظياً.
LIM-5.A.2 يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام مجموع ريمان الأيسر، أو مجموع ريمان الأيمن، أو مجموع ريمان النقطة الوسطى، أو مجموع شبه المنحرف؛ ويمكن حساب التقديرات باستخدام تقسيمات منتظمة أو غير منتظمة.
LIM-5.A.3 يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق رقمية، مع أو بدون استخدام التكنولوجيا.
LIM-5.A.4 اعتماداً على سلوك الدالة، قد يكون من الممكن تحديد ما إذا كان تقدير للتكامل المحدد هو低估 (تقدير منخفض جداً) أو overestimate (تقدير مرتفع جداً) للقيمة الفعلية للتكامل المحدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

When exact area is hard, approximate it with a Riemann sum 黎曼和 – split the interval into subintervals and add up rectangle (or trapezoid) areas. The four standard estimates:

A Riemann sum: rectangles of width dx approximate the area under a curve — Each rectangle has area $f(x)\,\Delta x$; adding them estimates the area, and as the strips narrow the sum approaches the definite integral.

Left Riemann sum – rectangle height from the left endpoint of each subinterval.
Right Riemann sum – height from the right endpoint.
Midpoint Riemann sum – height from the midpoint 中点.
Trapezoidal sum 梯形法 – average the two endpoint heights (a trapezoid).

Subintervals may be uniform (equal width) or nonuniform – read widths from the table.

Over- or underestimate? Judge from the behavior of the function: for an increasing function, a left sum underestimates and a right sum overestimates; a trapezoidal sum overestimates when the function is concave up and underestimates when concave down. Exam parts ask you to state which and why.

Worked example. A table gives $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimate $\int_0^6 f(x)\,dx$ with a right Riemann sum of three equal subintervals ($\Delta x=2$). Use the right endpoint of each strip:

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

Since $f$ is increasing, this right sum is an overestimate; the left sum $2(3+5+8)=32$ would be an underestimate.

Explore · ⁨استكشف⁩

Approximate area with rectangles · ⁨تقريب المساحة بالمستطيلات⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨مجموع ريمان يقارب المساحة تحت المنحنى باستخدام المستطيلات. أضف المزيد من المستطيلات الرقيقة وتتقارب التقديرات نحو التكامل المحدد الدقيق.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	مجموع ريمان
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	منتصف
Trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	مجموع شبه المنحرف

6.3

Riemann Sums and Integral Notation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^{*}$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

العربية

الفهم الدائم (LIM-5): يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق هندسية ورقمية.

هدف التعلم LIM-5.B: تفسير الحالة الحدية لمجموع ريمان كتكامل محدد.

LIM-5.B.1 يمكن تفسير نهاية مجموع ريمان التقريبي كتكامل محدد.
LIM-5.B.2 مجموع ريمان، الذي يتطلب تقسيم فترة $I$، هو مجموع حاصل ضرب كل منها قيمة الدالة عند نقطة في فترة جزئية مضروبة في طول تلك الفترة الجزئية من التقسيم.

هدف التعلم LIM-5.C: تمثيل الحالة الحدية لمجموع ريمان كتكامل محدد.

LIM-5.C.1 التكامل المحدود لدالة مستمرة $f$ على الفترة $[a, b]$، والذي يُرمز له بـ $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$، هو نهاية مجموع ريمان عندما تقترب أعرض الفروع الجزئية من 0. أي، $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$، حيث $n$ هو عدد الفروع الجزئية، و$\Delta x_i$ هو عرض الفرع الجزئي رقم $i$، و$x_i^{*}$ هو قيمة داخل الفرع الجزئي رقم $i$.
LIM-5.C.2 يمكن ترجمة التكامل المحدد إلى نهاية مجموع رومان مرتبط به، ويمكن كتابة نهاية مجموع رومان كتكامل محدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

As the subinterval widths shrink to zero, the Riemann sum approaches an exact value – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

Here $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval and $x_i^{*}$ a point inside it. So a definite integral is the limit of a Riemann sum, and you should be able to translate each into the other.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	تكامل محدد

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

العربية

الفهم الدائم (FUN-5): تربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية بين الاشتقاق والتكامل.

هدف التعلم FUN-5.A: تمثيل دوال التراكم باستخدام التكاملات المحددة.

FUN-5.A.1 يمكن استخدام التكامل المحدد لتعريف دوال جديدة.
- أمثلة توضيحية لـ FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 إذا كانت $f$ دالة مستمرة على فترة تحتوي على $a$، فإن $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$، حيث $x$ تقع في الفترة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The Fundamental Theorem of Calculus

A definite integral with a variable upper limit defines a new accumulation function 累积函数. The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (first part) says differentiation undoes this accumulation: if $f$ is continuous, then

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

So if $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then $g'(x)=f(x)$ and $g''(x)=f'(x)$. This is the engine behind the very common "let $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$" questions.

The accumulation function adds signed area; the FTC says its derivative is f

Explore · ⁨استكشف⁩

Accumulate area as an integral · ⁨تراكم المساحة كتكامل⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨دالة التراكم $\int_a^x f(t)\,dt$ تبني مساحة موقعة كلما تحرك $x$. النظرية الأساسية تنص على أن مشتقتها هي ببساطة $f(x)$.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	دالة التراكم
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

6.5

Behavior of Accumulation Functions

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-5): تربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية بين الاشتقاق والتكامل.

هدف التعلم FUN-5.A: تمثيل دوال التراكم باستخدام التكاملات المحددة.

FUN-5.A.3 التمثيلات البيانية والرقمية والتحليلية واللفظية للدالة $f$ توفر معلومات عن الدالة $g$ المعرفة كـ $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Because $g'(x)=f(x)$, everything from Unit 5 applies to an accumulation function using the graph of $f$:

$g$ is increasing where $f>0$ and decreasing where $f<0$;
$g$ has a local extremum where $f$ crosses zero (with a sign change);
$g$ is concave up where $f$ is increasing; inflection points of $g$ occur where $f$ has a local extremum.

To get a value of $g$, compute the signed area: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, adding areas above the axis and subtracting areas below.

6.6

Properties of Definite Integrals

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.A: حساب تكامل محدد باستخدام المساحات وخصائص التكاملات المحددة.

FUN-6.A.1 في بعض الحالات، يمكن تقييم التكامل المحدد باستخدام الهندسة والارتباط بين التكامل المحدد والمساحة.
FUN-6.A.2 تشمل خصائص التكاملات المحددة: تكامل ثابت مضروباً في دالة، وتكامل مجموع دالتين، وعكس حدود التكامل، وتكامل دالة على فترات مجاورة.
FUN-6.A.3 يمكن توسيع تعريف التكامل المحدد للدوال ذات الانقطاعات القابلة للإزالة أو القفز.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

These properties simplify computation and appear constantly:

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

The last (splitting at an interior point $c$) lets you build a total integral from pieces read off a graph.

6.7

The Fundamental Theorem and Evaluating Integrals

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.B: تقييم التكاملات المحددة تحليلاً باستخدام نظرية التفاضل والتكامل الأساسية.

FUN-6.B.1 الدالة العكسية للاشتقاق (Antiderivative) للدالة $f$ هي دالة $g$ يكون اشتقاقها $f$.
FUN-6.B.2 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على فترة تحتوي على $a$، فإن الدالة المعرّفة بـ $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ تمثل دالة عكسية للاشتقاق لـ $f$ لكل $x$ في الفترة.
FUN-6.B.3 إذا كانت $f$ متصلة على الفترة $[a, b]$ وكانت $F$ دالة عكسية للاشتقاق لـ $f$، فإن $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

The second part of the Fundamental Theorem evaluates a definite integral using an antiderivative 原函数. If $F'=f$, then

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

So: find any antiderivative $F$, then subtract its values at the two limits. This is how most exact integrals are computed. It also gives the net change view: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, so a starting value plus accumulated change gives a later value, e.g. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Worked example. Evaluate $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. An antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

A definite integral is the signed area between the curve and the x-axis

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	مشتق عكسي

6.8

Antiderivatives and Indefinite Integrals

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.C: تحديد الدوال العكسية للاشتقاق والتكاملات غير المحددة باستخدام معرفة الاشتقاقات.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ هو تكامل غير محدد للدالة $f$ ويمكن التعبير عنه كـ $\int f(x)\,dx = F(x) + C$، حيث $F'(x) = f(x)$ و $C$ أي ثابت.
FUN-6.C.2 قواعد الاشتقاق توفر الأساس لإيجاد الدوال العكسية للاشتقاق.
FUN-6.C.3 لا تملك العديد من الدوال دوالاً عكسية للاشتقاق بصيغة مغلقة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

An indefinite integral 不定积分 is the family of all antiderivatives, written with a constant of integration 积分常数:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

Reverse each derivative rule to build the basic antiderivatives:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	التكامل غير المحدد
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	ثابت التكامل

6.9

Integrating Using Substitution

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.D: بالنسبة للمُكَمِّلات التي تتطلب التعويض أو إعادة ترتيبها إلى أشكال مكافئة: (أ) تحديد التكاملات غير المحددة. (ب) تقييم التكاملات المحددة.

FUN-6.D.1 تعويض المتغيرات هو تقنية لإيجاد الدوال العكسية للاشتقاق.
FUN-6.D.2 بالنسبة للتكامل المحدد، يتطلب تعويض المتغيرات تغييرات مقابلة في حدود التكامل.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

$u$-substitution 换元积分法 reverses the chain rule. Choose an inside function $u=g(x)$, so $du=g'(x)\,dx$, and rewrite the integral entirely in $u$:

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Look for a function and its derivative both present. For a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ before substituting the original limits.

Worked example. Evaluate $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. The inside function is $u=x^2$, whose derivative $2x\,dx=du$ is present, so

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

Spotting that $2x$ is exactly $\dfrac{du}{dx}$ is the whole trick.

6.10

Long Division and Completing the Square

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

العربية

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

FUN-6.D.3 تقنيات إيجاد المشتقات العكسية تشمل إعادة الترتيب إلى أشكال مكافئة، مثل القسمة المطولة وإكمال المربع.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Two algebraic set-up moves let more integrals fit the basic forms: polynomial long division 多项式长除法 when the top degree is $\ge$ the bottom degree of a rational function, and completing the square 配方法 to turn a quadratic denominator into a form that integrates to an arctangent or logarithm.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	القسمة الطويلة للكثيرات الحدود
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	إكمال المربع

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

العربية

هذا الموضوع موجه للتركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب للاشتقاق العكسي. يجب إعطاء الطلاب فرصاً للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بالاشتقاق العكسي.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A skill topic: match the integral to a method. Try a basic antiderivative first; look for a $u$-substitution (an inside function whose derivative is also present); use algebra (division, completing the square, splitting a fraction) to reshape the integrand into a standard form. Naming the structure first prevents wasted effort.

6.14

Exam tips

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	تعويض u

Differential Equations · ⁨المعادلات التفاضلية⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.A: تفسير العبارات اللفظية للمسائل كمعادلات تفاضلية تتضمن تعبير اشتقاقي.

FUN-7.A.1 تربط المعادلات التفاضلية بين دالة لمتغير مستقل ومشتقات تلك الدالة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A differential equation 微分方程 is an equation that relates a function to its own derivatives. It describes a situation by its rate of change. For example, "the rate of change of a quantity is proportional to its size" becomes

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Learning to translate a sentence about a rate into a differential equation is the first skill of this unit.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	معادلة تفاضلية

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.B: التحقق من حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.B.1 يمكن استخدام المشتقات للتحقق من أن الدالة هي حل لمعادلة تفاضلية معينة.
FUN-7.B.2 قد تكون هناك عدد لا حصر له من الحلول العامة للمعادلة التفاضلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

A solution 解 of a differential equation is a function that makes it true. You can verify a proposed solution by differentiating it and substituting into the equation: if both sides match, it is a solution. Note a differential equation usually has infinitely many solutions – a whole family – differing by a constant.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
solution/səˈluːʃn/	المحلول

7.3

Sketching Slope Fields

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.C.1 حقل الميل هو تمثيل بياني للمعادلة التفاضلية على مجموعة محدودة من النقاط في المستوى.
FUN-7.C.2 توفر حقول الميل معلومات حول سلوك حلول المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws the differential equation as a grid of short segments: at each point $(x,y)$ the segment has slope $\dfrac{dy}{dx}$ evaluated there. To sketch one, plug several points into the right-hand side and draw a small segment with that slope at each. The picture shows the shape of the solution curves without solving.

A slope field shows dy/dx at each point; a solution curve follows the segments — Each short segment has the slope $\dfrac{dy}{dx}$ at that point; a solution curve threads through, staying tangent to the field.

Exam skill. A common part gives a portion of a slope field and asks you to sketch the particular solution through a given point – start at the point and follow the segments, staying tangent to them.

Explore · ⁨استكشف⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨قراءة المعادلة التفاضلية كمجال للميل⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨مجال الميل يرسم الميل $dy/dx$ عند كل نقطة. تمر منحنى الحل عبره، دائماً مماساً للأجزاء الصغيرة — يمكنك رسمه باتباع التدفق.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
slope field/sləʊp fiːld/	مجال الميل

7.4

Reasoning Using Slope Fields

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.C: تقدير حلول المعادلات التفاضلية.

FUN-7.C.3 حلول المعادلات التفاضلية هي دوال أو عائلات من الدوال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Solutions to a differential equation are functions or families of functions. Read a slope field to reason about behavior: where the segments are flat ($\tfrac{dy}{dx}=0$) the solution is momentarily level; where they steepen the solution rises or falls faster; horizontal rows of equal slope suggest the rate depends only on $y$ (or only on $x$).

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.D: تحديد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.

FUN-7.D.1 يمكن حل بعض المعادلات التفاضلية عن طريق فصل المتغيرات.
FUN-7.D.2 يمكن استخدام التكامل العكسي لإيجاد الحلول العامة للمعادلات التفاضلية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

Many exam differential equations are solved by separation of variables 分离变量法. If $\dfrac{dy}{dx}$ factors into a function of $x$ times a function of $y$, move all $y$'s to one side and all $x$'s to the other, then integrate both sides:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Add the constant of integration once (on the $x$-side). This gives the general solution 通解.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with the initial condition $y(0)=2$. Separate and integrate:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Applying $y(0)=2$ gives $A=2$, so the particular solution is $y=2e^{x^2/2}$.

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	فصل المتغيرات
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	الحل العام

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.E: تحديد الحلول الخاصة للمعادلات التفاضلية.

FUN-7.E.1 قد تصف الحل العام عدداً لا حصر له من الحلول للمعادلة التفاضلية. يوجد حل خاص واحد فقط يمر بنقطة معينة.
FUN-7.E.2 الدالة $F$ المعرفة بـ $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ هي حل خاص للمعادلة التفاضلية $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$، وتحقق $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 قد تخضع حلول المعادلات التفاضلية لقيود على مجال التعريف.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

An initial condition 初始条件 – a known point $(x_0,y_0)$ – pins down one curve from the family. Substitute it to solve for the constant $C$; the result is the particular solution 特解. There is exactly one solution through a given point. Watch for domain restrictions 定义域限制: keep the branch that contains the initial point (for example, the correct sign of a square root).

The constant gives a family of curves; an initial condition picks out one

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	الشرط الابتدائي
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	الحل الخاص
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	قيود المجال

7.8

Exponential Models with Differential Equations

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

العربية

الفهم الدائم (FUN-7): حل المعادلات التفاضلية يتيح لنا تحديد الدلات وتطوير النماذج.

هدف التعلم FUN-7.F: تفسير معنى المعادلة التفاضلية ومتغيراتها في السياق.

FUN-7.F.1 تشمل التطبيقات المحددة لإيجاد الحلول العامة والخاصة للمعادلات التفاضلية الحركة على خط مستقيم والنمو والتحلل الأسي.
FUN-7.F.2 النموذج للنمو والتحلل الأسي الذي ينشأ من عبارة "معدل تغير كمية ما يتناسب مع حجم تلك الكمية" هو $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

هدف التعلم FUN-7.G: تحديد الحلول العامة والخاصة لمسائل تتعلق بالمعادلات التفاضلية في سياق معين.

FUN-7.G.1 نموذج النمو والتحلل الأسي، $\dfrac{dy}{dt} = ky$، مع الشرط الابتدائي $y = y_0$ عندما $t = 0$، له حلول من الشكل $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

E. coli under a microscope: differential equations model exponential growth of populations

The most important model is exponential growth and decay 指数增长与衰减. The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to size) has the solution:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

where $y_0$ is the value at $t=0$. Here $k>0$ gives growth and $k<0$ gives decay. You can derive this by separation of variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), and it models processes like population growth, radioactive decay, and Newton's law of cooling. A follow-up part may ask for $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: differentiate $\dfrac{dy}{dt}=ky$ again (using $\dfrac{dy}{dt}=ky$) to express it in terms of $y$.

Worked example. A sample decays by $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (in years) from $y_0=50\ \text{g}$. The solution is $y=50e^{-0.10t}$, so after $10$ years $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Its half-life solves $25=50e^{-0.10t}$, i.e. $e^{-0.10t}=\tfrac12$, giving $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independent of the starting amount.

A cooling cup of coffee: Newton's law of cooling is a classic differential equation model

Explore · ⁨استكشف⁩

An exponential growth/decay model · ⁨نموذج نمو/اضمحلال أسي⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨المعادلة $dy/dt=ky$ لها حلول أسية: تتغير الكمية بمعدل متناسب مع ذاتها، مما يعطي نمواً غير محدود ($k>0$) أو اضمحلالاً نحو الصفر ($k<0$).⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	النمو والتحلل الأسّي

7.8

Exam tips

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Applications of Integration · ⁨تطبيقات التكامل⁩

Watch lesson · ⁨شاهد الدرس⁩

Open this topic on its own page · ⁨افتح هذا الموضوع في صفحة خاصة به⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨القيمة المتوسطة للدالة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.B: تحديد القيمة المتوسطة لدالة باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-4.B.1 القيمة المتوسطة للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a, b]$ هي $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

العربية

القيمة المتوسطة لدالة متصلة $f$ على $[a,b]$ هي التكامل مقسومًا على طول الفترة:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

إنها الارتفاع الثابت لمستطيل على $[a,b]$ له نفس المساحة تحت $f$. لا تخلط بينها وبين معدل التغير (الذي يقسم تغير $f$ على الفترة)، أو مع متوسط مجموع ريمان لعدد قليل من القيم – الامتحان يميز بين هذه بدقة. أدرج الوحدات في السياق (مثل معدل المتوسط "بسيارة لكل ساعة").

مثال محلول. القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$ هي

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨استكشف⁩

The average value of a function · ⁨القيمة المتوسطة لدالة ما⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تكاملها مقسوماً على العرض — الارتفاع الثابت الذي له مستطيل بنفس المساحة تحت المنحنى.⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨الموضع، السرعة، والتسارع باستخدام التكاملات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.C: تحديد قيم الموضع ومعدلات التغير باستخدام التكامل المحدود في المسائل المتعلقة بالحركة المستقيمة.

CHA-4.C.1 بالنسبة لجسيم في حركة مستقيمة على مدى فترة زمنية، يمثل التكامل المحدود للسرعة إزاحة الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية، ويمثل التكامل المحدود للسرعة الكلية المسافة الإجمالية التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

العربية

التكامل يعكس روابط الحركة في الوحدة 4. لجسيم يتحرك في خط مستقيم على $[t_1,t_2]$:

الإزاحة (التغير الصافي في الموضع) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
إجمالي المسافة المقطوعة $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – تكامل السرعة، حتى تتجمع اتجاهات التغير بدلاً من أن تلغي بعضها البعض.
الموضع عند وقت لاحق $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$؛ السرعة من التسارع $= v(t_1)+\int a$.

التمييز بين الإزاحة والمسافة (مع القيمة المطلقة) نقطة تقييم كلاسيكية.

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨دوال التراكم والتكاملات المحددة في السياقات التطبيقية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.D: تفسير معنى التكامل المحدود في مسائل التراكم.

CHA-4.D.1 الدالة المعرفة كتكامل تمثل تراكمًا لمعدل تغير.
CHA-4.D.2 يعطي التكامل المحدود لمعدل تغير كمية ما خلال فترة زمنية التغير الصافي لتلك الكمية خلال تلك الفترة.

هدف التعلم CHA-4.E: تحديد التغير الصافي باستخدام التكاملات المحدودة في السياقات التطبيقية.

CHA-4.E.1 يمكن استخدام التكامل المحدود للتعبير عن معلومات حول التراكم والتغير الصافي في العديد من السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

العربية

دالة تُعرف كتكامل تجمع معدل تغير. نظرية التغير الصافي هي الأداة اليومية: التكامل المحدد لمعدل على فترة يعطي التغير الصافي للكمية:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

لذا "كم كمية الماء في الخزان عند $t=5$" = المبدأ + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. انتبه للإشارات (ناقص خارج زائد داخل) والوحدات. العديد من أسئلة FRQ متعددة الأجزاء مبنية كليًا على هذه الفكرة – غالبًا ما تكون مقترنة بـ "اكتب، لكن لا تحسب، تعبير تكاملي يعطي الإجمالي...".

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨إيجاد المساحة بين المنحنيين (دوال x)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.1 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام التكاملات المحدودة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

العربية

المساحة بين منحنيين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأدنى) على $[a,b]$ هي:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

أوجد نقاط التقاطع أولاً لتحديد الحدود، واجمع دائمًا الأدنى من الأعلى.

مثال محلول. أوجد المساحة بين $y=x$ و$y=x^2$. يتقاطعان عند $x=0$ و$x=1$، وعلى $(0,1)$ الخط $y=x$ يقع في الأعلى، لذا

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

المساحة بين منحنيين هي تكامل الأعلى ناقص الأسفل — المنطقة المظللة تمتد من تقاطع واحد $a$ إلى التقاطع التالي $b$؛ مساحتها هي $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨إيجاد المساحة بين المنحنيين (دوال y)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.2 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام دوال إما $x$ أو $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

العربية

بعض المناطق أسهل في الوصف شرائح أفقية – تكامل بالنسبة لـ $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

اختر شرائح $x$- أو $y$- للحفاظ على زوج واحد من الأعلى/الأدنى (أو اليمين/اليسار) على كامل المنطقة.

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨المساحة بين المنحنيين مع أكثر من نقطتي تقاطع⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.3 قد تُحسب مساحات بعض المناطق في المستوى باستخدام مجموع تكاملين محددين أو أكثر، أو عن طريق تقييم تكامل محدد لقيمة مطلقة الفرق بين دالتين.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

العربية

إذا تقاطع المنحنيان أكثر من مرتين، تكون إحدى الدوال في الأعلى لجزء من المنطقة والأخرى في الأعلى في مكان آخر. قسّم إلى مجموع تكاملات عند كل تقاطع، أو تكامل القيمة المطلقة للفرق:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

حدد أي منحنى أعلى على كل فترة فرعية قبل كتابة التكاملات.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨الحجوم بأقسام عرضية: مربعات ومستطيلات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.1 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المربعة والمستطيلة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

العربية

فخّاز يشكّل وعاءً: أجسام الدوران هي أحجام تتشكل بتدوير منطقة مستوية — خياط يصنع وعاءً: أجسام الدوران هي حجوم تتشكل بتدوير منطقة مستوية

إذا كان لجسم ما قسم عرضي معروف عمودي على محور، فإن حجمه هو تكامل مساحة القسم العرضي:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

للمقاطع العرضية المربعة التي يكون طول ضلعها مساوياً لارتفاع المنطقة $s(x)=f(x)-g(x)$، استخدم $A(x)=[s(x)]^2$؛ وللمستطيل الذي ارتفاعه $k\cdot s(x)$، استخدم $A(x)=k\,[s(x)]^2$. تعبير الامتحان "قاعدة جسم صلب... مقاطعه العرضية مربعات/مستطيلات" يشير إلى هذا بالضبط.

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨الحجوم مع المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.2 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المثلثة باستخدام التكاملات المحددة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
CHA-5.B.3 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية الدائرية النصفية والأشكال الهندسية الأخرى المعرّفة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
- أمثلة توضيحية لـ CHA-5.B3:
  - يمكن إيجاد حجم قمع تكون مقاطعه العرضية دوائر باستخدام صيغة مساحة الدائرة والتكاملات المحدودة (انظر 2016 امتحان AB FRQ #5(b)).
  - يمكن إيجاد حجم جسم صلب تكون مساحته المقطعية معرفة بدالة باستخدام دالة المساحة المعروفة والتكامل المحدود (انظر 2009 امتحان AB FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

العربية

نفس الطريقة، صيغة مساحة مختلفة: للمثلث المتساوي الأضلاع ذو الضلع $s$، $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$؛ وللquarter دائرة (قوس نصفي) قطره $s$، $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. ضع الطول الأساسي للشكل مساوياً لطول شريحة المنطقة $s(x)$، ثم قم بالتكامل $A(x)$.

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨الحجم باستخدام طريقة الأقراص (حول محور x أو y)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.1 يمكن إيجاد حجوم أجسام الدوران حول محور $x$ أو محور $y$ باستخدام التكاملات المحدودة بطريقة القرص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

العربية

أجسام الدوران: طريقة الأقراص

دوران منطقة حول محور ينتج جسم دوران. إذا كانت المنطقة تلمس المحور، تكون كل شريحة قرصاً نصف قطره $r$ = قيمة الدالة:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

حول محور $x$، $r=f(x)$ و تكامل في $x$؛ حول محور $y$، عبّر عن $x$ بدالة في $y$ و تكامل في $y$.

طريقة الأقراص: دوران y=f(x) حول المحور ينشئ أقراصاً بنصف قطر f(x)

مثال محلول. دوّر المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $x=0$ إلى $x=4$ حول محور $x$. كل قرص له نصف قطر $r=\sqrt{x}$، لذا

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	القيمة المتوسطة
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	إزاحة
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	المسافة الكلية المقطوعة
net change/net tʃeɪndʒ/	التغير الصافي
cross section/krɒs ˈsekʃn/	المقطع العرضي
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	مثلث
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	نصف دائرة
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	جسم دوران
disc/dɪsk/	القرص

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨الحجم باستخدام طريقة الأقراص (حول محاور أخرى)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.2 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي في المستوى باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الأقراص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

العربية

حول أي خط أفقي أو عمودي $y=k$ أو $x=k$، نصف القطر هو المسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، مثل $r(x)=|f(x)-k|$. ضع نصف القطر بعناية، ثم استخدم $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨الحجم باستخدام طريقة الحلقات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.3 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول محور $x$ أو $y$ ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.4 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

العربية

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

عندما لا تلمس المنطقة المحور، تكون كل شريحة حلقة (خاتم) بنصف قطر خارجي $R$ ونصف قطر داخلي $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ هي المسافة من المحور إلى الحد الأبعد و$r$ إلى الحد الأقرب. حول خط غير المحور، يُقاس كلا نصفي القطرين كمسافات إلى ذلك الخط – وهو تنوع امتحاني شائع جداً (مثل الدوران حول $y=-2$).

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
washer/ˈwɒʃə/	الخاتم

8.11 8.12

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

العربية

المساحة بين المنحنيات هي $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — أوجد نقاط التقاطع للحدود واحفظ (الأعلى ناقص الأسفل).
لحجم الدوران، اجمع المقاطع العرضية للأقراص/الحلقات ذات المساحة $\pi r^2$ (أو $\pi(R^2-r^2)$).
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
التغير المتراكم هو $\int$ لمعدل: المجموع = القيمة الابتدائية $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
التكامل يعني "جمع عدد لا نهائي من القطع الصغيرة" — ضع دالة التكامل كشريحة رقيقة واحدة.