التطبيقات التحليلية للاشتقاق

نظرية القيمة المتوسطة (MVT) تربط معدل التغير المتوسط بمعدل لحظي:

إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $(a,b)$، فإن هناك نقطة واحدة على الأقل $c$ في $(a,b)$ حيث

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

بكلمات أخرى: في مكان ما داخل الفترة، يساوي المعدل اللحظي المعدل المتوسط. هندسياً، بعض خطوط المماس موازية للوتر الواصل بين طرفي الفترة.

مهارة الامتحان. مثل نظرية القيمة المتوسطة (MVT)، فإن MVT هو برهان وجود، وتُطلب منك الأسئلة تبرير ذلك. للحصول على الدرجة الكاملة يجب: (1) أن تذكّر $f$ مستمرة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $(a,b)$؛ (2) حساب المعدل Average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$؛ (3) الاستنتاج "بناءً على MVT يوجد $c$ في $(a,b)$ بحيث يكون $f'(c)$ مساوياً لتلك القيمة". يجب ذكر كلا الفرضيتين صراحة.

مثال محلول. تحقق من صحة MVT لـ $f(x)=x^2$ على $[1,3]$. بما أنها دالة كثيرة حدود، فهي مستمرة وقابلة للاشتقاق في كل مكان. المعدل Average rate هو $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. بمساواة $f'(c)=2c=4$ نحصل على $c=2$، وهو يقع بالفعل في $(1,3)$ – النقطة المضمونة.

يضمن برهان القيمة القصوى (EVT) وجود قيم قصوى: الدالة المستمرة على فترة مغلقة $[a,b]$ تأخذ كلا من القيمة العظمى المطلقة والقيمة الصغرى المطلقة عليها.

النقطة الحرجة هي نقطة داخلية حيث لا يوجد $f'(x)=0$ أو لا يوجد $f'(x)$. تحدث جميع القيم القصوى المحلية (النسبية) عند النقاط الحرجة – لكن ليست كل نقطة حرجة قيمة قصوى. لذا تُعد النقاط الحرجة مرشحات؛ عليك اختبار كل منها.

المشتقة الأولى تخبرك أين ترتفع $f$ أو تنخفض:

• $f'(x) > 0$ على فترة $\Rightarrow$ $f$ تكون متزايدة هناك;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ تكون متناقصة.

في الامتحان، يعني "أوجد الفترات التي تتزايد فيها $f$": أوجد النقاط الحرجة، ثم اختبر إشارة $f'$ بينها، وبرر بإشارة $f'$ (ذِكر السبب صراحة وليس فقط الفترة).

لتصنيف النقطة الحرجة $x=c$ كقيمة عظمى محلية، أو صغرى محلية، أو لا شيء، تحقق من تغير إشارة $f'$ عندها:

• تتغير $f'$ من $+$ إلى $-$ عند $c$ $\Rightarrow$ قيمة عظمى محلية;
• تتغير $f'$ من $-$ إلى $+$ عند $c$ $\Rightarrow$ قيمة صغرى محلية;
• لا تتغير $f'$ الإشارة $\Rightarrow$ لا شيء.

دائماً اذكر تغير الإشارة كتبرير لك.

مثال محلول. صنف النقاط الحرجة لـ $f(x)=x^3-3x^2$. هنا $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$، وتساوي صفراً عند $x=0$ و $x=2$. باختبار الإشارات: $f'>0$ من أجل $x<0$، $f'<0$ على $(0,2)$، و $f'>0$ من أجل $x>2$. إذن $f'$ يغير اتجاهه من $+\to-$ عند $x=0$ (وهو أعلى محلي، $f(0)=0$) ويغير اتجاهه من $-\to+$ عند $x=2$ (وهو أدنى محلي، $f(2)=-4$).

على فترة مغلقة، تحدث القيم القصوى المطلقة (العالمية) فقط عند النقاط الحرجة أو الأطراف. اختبار المرشحين:

1. اذكر جميع النقاط الحرجة في $[a,b]$ و طرفي الفترة.
2. احسب قيمة $f$ عند كل مرشح.
3. أكبر ناتج هو القيمة العظمى المطلقة؛ أصغر ناتج هو القيمة الصغرى المطلقة.

أدر جدول القيم – المقارنة هي البرهان.

المشتقة الثانية تصف الانحناء:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ تكون مقعرة لأعلى (منحنية مثل الكوب؛ $f'$ متزايدة);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ هو مقعر للأسفل ($f'$ تتناقص).

نقطة الانعطاف هي مكان يتغير فيه التقعر، أي حيث تتغير إشارة $f''$ (ليس فقط حيث $f''=0$). أدر إحداثي $x$ الخاص بها وبرر بتغير إشارة $f''$.

طريقة بديلة لتصنيف النقطة الحرجة $c$ حيث $f'(c)=0$:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ مقعرة لأعلى $\Rightarrow$ قيمة صغرى محلية;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ مقعرة لأسفل $\Rightarrow$ قيمة عظمى محلية;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ الاختبار غير حاسم – اعتمد على اختبار المشتقة الأولى.

حالة خاصة: إذا كانت الدالة المستمرة تحتوي على نقطة حرجة واحدة فقط على فترة وكانت قيمة قصوى محلية، فهذه النقطة هي أيضاً القيمة القصوى المطلقة هناك.

الميزات الرئيسية لـ $f$، $f'$، و$f''$ تعكس بعضها البعض. لرسم أو قراءة الرسوم البيانية:

• $f$ متزايدة $\Leftrightarrow$ $f'$ فوق المحور؛ $f$ لها قيمة عظمى محلية $\Leftrightarrow$ $f'$ يعبر من $+$ إلى $-$.
• $f$ مقعرة لأعلى $\Leftrightarrow$ $f'$ متزايدة $\Leftrightarrow$ $f''$ فوق المحور؛ $f$ لها نقطة انعطاف $\Leftrightarrow$ $f'$ لها قيمة قصوى محلية $\Leftrightarrow$ $f''$ يعبر الصفر.

هذه مهارة قراءة رسم بياني واحد لوصف آخر. إعداد امتحان شائع جداً يعطي الرسم البياني لـ $f'$ ويطلب关于 $f$: أين تتزايد $f$ (حيث $f'>0$)، أين قيم $f$ القصوى (حيث يعبر $f'$ الصفر مع تغير الإشارة)، أين تقعر $f$ لأعلى (حيث $f'$ متزايدة). أجب عن أسئلة حول $f$ باستخدام الارتفاع والميل لـ الرسم البياني لـ $f'$.

التحسين يستخدم المشتقة لإيجاد أكبر أو أصغر قيمة لكمية على فترة. إنه تطبيق آليات اختبار المرشحين/المشتقة على هدف واقعي.

إجراء موثوق:

1. اكتب الكمية المراد تحسينها بدالة لمتغير واحد (استخدم معادلة القيد للتخلص من المتغيرات الزائدة).
2. حدد مجال المدخلات المسموح بها.
3. أوجد النقاط الحرجة ($f'=0$ أو غير معرفة) وختبرها (اختبار المشتقة الأولى أو الثانية، أو اختبار المرشحين إذا كان المجال مغلقًا).
4. أجب عن السؤال المطروح، مع الوحدات والتفسير في السياق – المساحة القصوى، التكلفة ال الدنيا، إلخ.

مثال محلول. مزارع لديه $100\ \text{m}$ من السياج لتربية مستطيلة بجوار جدار، لذا يجب سياجة ثلاثة أضلاع فقط. عظم المساحة. ليكن الطرفان $x$ والضلع الموازٍ للجدار $y$؛ القيد هو $2x+y=100$، وبالتالي $y=100-2x$. المساحة هي

كل هذا يتمدد إلى العلاقات المعرّضة ضمنيًا. النقطة الحرجة للعلاقة الضمنية هي حيث $\dfrac{dy}{dx}=0$ (مماس أفقي) أو غير معرفة (مماس عمودي). نظرًا لأن $\dfrac{dy}{dx}$ عادةً ما تكون علاقة بين $x$ و $y$، والمشتقة الثانية تتضمن $x$، $y$، و$\dfrac{dy}{dx}$، أعِد تعبير المشتقة الأولى عند إيجاد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$، ثم استنتج تقعر المنحنى بناءً على إشارته.

• $f'>0$ يعني متزايدًا، $f'<0$ متناقصًا؛ مرشحو القيم القصوى هم حيث $f'=0$ أو غير معرفة.
• صنف النقطة الحرجة باستخدام تغيير إشارة المشتقة الأولى أو اختبار المشتقة الثانية ($f''>0$ حد أدنى، $f''<0$ حد أعلى).
• $f''>0$ مقعر لأعلى، $f''<0$ مقعر لأسفل؛ نقطة الانعطاف هي حيث يتغير التقعر ($f''$ يتغير إشارتها).
• للحصول على قيمة قصوى مطلقة على مجال مغلق، تحقق أيضًا من نقاط النهاية.
• برر كل استنتاج بالإشارة إلى إشارة $f'$ أو $f''$ – الامتحان يتطلب البرهان، ليس مجرد الإجابة.