Applications of Integration · ⁨تطبيقات التكامل⁩

AP Calculus AB · ⁨AP التفاضل والتكامل AB⁩ · Topic 8 · ⁨الموضوع 8⁩

View Slides · ⁨عرض الشرائح⁩ Train · ⁨تدريب⁩

Video lesson for this topic · ⁨درس فيديو لهذا الموضوع⁩ Open the video page · ⁨افتح صفحة الفيديو⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨القيمة المتوسطة للدالة⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.B: تحديد القيمة المتوسطة لدالة باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-4.B.1 القيمة المتوسطة للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a, b]$ هي $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

العربية

القيمة المتوسطة لدالة متصلة $f$ على $[a,b]$ هي التكامل مقسومًا على طول الفترة:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

إنها الارتفاع الثابت لمستطيل على $[a,b]$ له نفس المساحة تحت $f$. لا تخلط بينها وبين معدل التغير (الذي يقسم تغير $f$ على الفترة)، أو مع متوسط مجموع ريمان لعدد قليل من القيم – الامتحان يميز بين هذه بدقة. أدرج الوحدات في السياق (مثل معدل المتوسط "بسيارة لكل ساعة").

مثال محلول. القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$ هي

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨استكشف⁩

The average value of a function · ⁨القيمة المتوسطة لدالة ما⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تكاملها مقسوماً على العرض — الارتفاع الثابت الذي له مستطيل بنفس المساحة تحت المنحنى.⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨الموضع، السرعة، والتسارع باستخدام التكاملات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.C: تحديد قيم الموضع ومعدلات التغير باستخدام التكامل المحدود في المسائل المتعلقة بالحركة المستقيمة.

CHA-4.C.1 بالنسبة لجسيم في حركة مستقيمة على مدى فترة زمنية، يمثل التكامل المحدود للسرعة إزاحة الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية، ويمثل التكامل المحدود للسرعة الكلية المسافة الإجمالية التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

العربية

التكامل يعكس روابط الحركة في الوحدة 4. لجسيم يتحرك في خط مستقيم على $[t_1,t_2]$:

الإزاحة (التغير الصافي في الموضع) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
إجمالي المسافة المقطوعة $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – تكامل السرعة، حتى تتجمع اتجاهات التغير بدلاً من أن تلغي بعضها البعض.
الموضع عند وقت لاحق $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$؛ السرعة من التسارع $= v(t_1)+\int a$.

التمييز بين الإزاحة والمسافة (مع القيمة المطلقة) نقطة تقييم كلاسيكية.

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨دوال التراكم والتكاملات المحددة في السياقات التطبيقية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

العربية

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.D: تفسير معنى التكامل المحدود في مسائل التراكم.

CHA-4.D.1 الدالة المعرفة كتكامل تمثل تراكمًا لمعدل تغير.
CHA-4.D.2 يعطي التكامل المحدود لمعدل تغير كمية ما خلال فترة زمنية التغير الصافي لتلك الكمية خلال تلك الفترة.

هدف التعلم CHA-4.E: تحديد التغير الصافي باستخدام التكاملات المحدودة في السياقات التطبيقية.

CHA-4.E.1 يمكن استخدام التكامل المحدود للتعبير عن معلومات حول التراكم والتغير الصافي في العديد من السياقات التطبيقية.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

العربية

دالة تُعرف كتكامل تجمع معدل تغير. نظرية التغير الصافي هي الأداة اليومية: التكامل المحدد لمعدل على فترة يعطي التغير الصافي للكمية:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

لذا "كم كمية الماء في الخزان عند $t=5$" = المبدأ + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. انتبه للإشارات (ناقص خارج زائد داخل) والوحدات. العديد من أسئلة FRQ متعددة الأجزاء مبنية كليًا على هذه الفكرة – غالبًا ما تكون مقترنة بـ "اكتب، لكن لا تحسب، تعبير تكاملي يعطي الإجمالي...".

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨إيجاد المساحة بين المنحنيين (دوال x)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.1 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام التكاملات المحدودة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

العربية

المساحة بين منحنيين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأدنى) على $[a,b]$ هي:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

أوجد نقاط التقاطع أولاً لتحديد الحدود، واجمع دائمًا الأدنى من الأعلى.

مثال محلول. أوجد المساحة بين $y=x$ و$y=x^2$. يتقاطعان عند $x=0$ و$x=1$، وعلى $(0,1)$ الخط $y=x$ يقع في الأعلى، لذا

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

المساحة بين منحنيين هي تكامل الأعلى ناقص الأسفل — المنطقة المظللة تمتد من تقاطع واحد $a$ إلى التقاطع التالي $b$؛ مساحتها هي $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨إيجاد المساحة بين المنحنيين (دوال y)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.2 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام دوال إما $x$ أو $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

العربية

بعض المناطق أسهل في الوصف شرائح أفقية – تكامل بالنسبة لـ $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

اختر شرائح $x$- أو $y$- للحفاظ على زوج واحد من الأعلى/الأدنى (أو اليمين/اليسار) على كامل المنطقة.

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨المساحة بين المنحنيين مع أكثر من نقطتي تقاطع⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.3 قد تُحسب مساحات بعض المناطق في المستوى باستخدام مجموع تكاملين محددين أو أكثر، أو عن طريق تقييم تكامل محدد لقيمة مطلقة الفرق بين دالتين.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

العربية

إذا تقاطع المنحنيان أكثر من مرتين، تكون إحدى الدوال في الأعلى لجزء من المنطقة والأخرى في الأعلى في مكان آخر. قسّم إلى مجموع تكاملات عند كل تقاطع، أو تكامل القيمة المطلقة للفرق:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

حدد أي منحنى أعلى على كل فترة فرعية قبل كتابة التكاملات.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨الحجوم بأقسام عرضية: مربعات ومستطيلات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.1 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المربعة والمستطيلة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

العربية

فخّاز يشكّل وعاءً: أجسام الدوران هي أحجام تتشكل بتدوير منطقة مستوية — خياط يصنع وعاءً: أجسام الدوران هي حجوم تتشكل بتدوير منطقة مستوية

إذا كان لجسم ما قسم عرضي معروف عمودي على محور، فإن حجمه هو تكامل مساحة القسم العرضي:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

للمقاطع العرضية المربعة التي يكون طول ضلعها مساوياً لارتفاع المنطقة $s(x)=f(x)-g(x)$، استخدم $A(x)=[s(x)]^2$؛ وللمستطيل الذي ارتفاعه $k\cdot s(x)$، استخدم $A(x)=k\,[s(x)]^2$. تعبير الامتحان "قاعدة جسم صلب... مقاطعه العرضية مربعات/مستطيلات" يشير إلى هذا بالضبط.

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨الحجوم مع المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.2 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المثلثة باستخدام التكاملات المحددة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
CHA-5.B.3 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية الدائرية النصفية والأشكال الهندسية الأخرى المعرّفة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
- أمثلة توضيحية لـ CHA-5.B3:
  - يمكن إيجاد حجم قمع تكون مقاطعه العرضية دوائر باستخدام صيغة مساحة الدائرة والتكاملات المحدودة (انظر 2016 امتحان AB FRQ #5(b)).
  - يمكن إيجاد حجم جسم صلب تكون مساحته المقطعية معرفة بدالة باستخدام دالة المساحة المعروفة والتكامل المحدود (انظر 2009 امتحان AB FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

العربية

نفس الطريقة، صيغة مساحة مختلفة: للمثلث المتساوي الأضلاع ذو الضلع $s$، $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$؛ وللquarter دائرة (قوس نصفي) قطره $s$، $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. ضع الطول الأساسي للشكل مساوياً لطول شريحة المنطقة $s(x)$، ثم قم بالتكامل $A(x)$.

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨الحجم باستخدام طريقة الأقراص (حول محور x أو y)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.1 يمكن إيجاد حجوم أجسام الدوران حول محور $x$ أو محور $y$ باستخدام التكاملات المحدودة بطريقة القرص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

العربية

أجسام الدوران: طريقة الأقراص

دوران منطقة حول محور ينتج جسم دوران. إذا كانت المنطقة تلمس المحور، تكون كل شريحة قرصاً نصف قطره $r$ = قيمة الدالة:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

حول محور $x$، $r=f(x)$ و تكامل في $x$؛ حول محور $y$، عبّر عن $x$ بدالة في $y$ و تكامل في $y$.

طريقة الأقراص: دوران y=f(x) حول المحور ينشئ أقراصاً بنصف قطر f(x)

مثال محلول. دوّر المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $x=0$ إلى $x=4$ حول محور $x$. كل قرص له نصف قطر $r=\sqrt{x}$، لذا

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

دوران منطقة حول محور ينشئ جسماً للدوران

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	القيمة المتوسطة
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	إزاحة
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	المسافة الكلية المقطوعة
net change/net tʃeɪndʒ/	التغير الصافي
cross section/krɒs ˈsekʃn/	المقطع العرضي
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	مثلث
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	نصف دائرة
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	جسم دوران
disc/dɪsk/	القرص

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨الحجم باستخدام طريقة الأقراص (حول محاور أخرى)⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.2 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي في المستوى باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الأقراص.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

العربية

حول أي خط أفقي أو عمودي $y=k$ أو $x=k$، نصف القطر هو المسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، مثل $r(x)=|f(x)-k|$. ضع نصف القطر بعناية، ثم استخدم $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨الحجم باستخدام طريقة الحلقات⁩

Syllabus · ⁨المنهج⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.3 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول محور $x$ أو $y$ ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

العربية

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.4 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

العربية

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

عندما لا تلمس المنطقة المحور، تكون كل شريحة حلقة (خاتم) بنصف قطر خارجي $R$ ونصف قطر داخلي $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ هي المسافة من المحور إلى الحد الأبعد و$r$ إلى الحد الأقرب. حول خط غير المحور، يُقاس كلا نصفي القطرين كمسافات إلى ذلك الخط – وهو تنوع امتحاني شائع جداً (مثل الدوران حول $y=-2$).

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩

English	العربية
washer/ˈwɒʃə/	الخاتم

8.11 8.12

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

العربية

المساحة بين المنحنيات هي $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — أوجد نقاط التقاطع للحدود واحفظ (الأعلى ناقص الأسفل).
لحجم الدوران، اجمع المقاطع العرضية للأقراص/الحلقات ذات المساحة $\pi r^2$ (أو $\pi(R^2-r^2)$).
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
التغير المتراكم هو $\int$ لمعدل: المجموع = القيمة الابتدائية $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
التكامل يعني "جمع عدد لا نهائي من القطع الصغيرة" — ضع دالة التكامل كشريحة رقيقة واحدة.

Interactive lessons on this topic · ⁨دروس تفاعلية حول هذا الموضوع⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨AP التفاضل والتكامل AB⁩ · ⁨المزيد من المواضيع في AP Calculus AB · ⁨AP التفاضل والتكامل AB⁩⁩