إيجاد الحلول العامة باستخدام فصل المتغيرات
| English | العربية |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | قابل للفصل |
الحصول على أصفار $x$ و $y$ على جانبيها
- لحل معادلة تفاضلية فعليًا (وليس مجرد رسمها)، نستخدم التكامل — ولكن أولاً نصنف المتغيرات.
- تكون المعادلة التفاضلية قابلة للفصل إذا كنتHandler على كتابتها بحيث يحتوي أحد الجانبين على $y$ فقط والآخر على $x$ فقط.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ هو الشكل الدليلي: حاصل ضرب جزء من $x$ وجزء من $y$.
- حينها يمكن تكامل كل جانب على حدة.
أي معادلة قابلة للفصل؟
$xy$ يُعامل كـ (جزء $x$)$\times$(جزء $y$)؛ الجمع لا يُعامل.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ ليست قابلة للفصل لأنه لا يمكنك فصل ____.
الفصل يتطلب ضربًا، وليس جمعًا.
افصل المتغيرات
- تعامل مع $\dfrac{dy}{dx}$ كنسبة تفاضليات وانقل كل متغير إلى جانبه الخاص.
- من $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: اقسم على $h(y)$ واضرب في $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- الآن يتضمن كل جانب متغيرًا واحدًا وتفاضله — جاهز للتكامل.
فصل $\dfrac{dy}{dx}=xy$ يعطي...
اقسم على $y$، اضرب في $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
أكمل كلا الجانبين بالتكامل
- أكمل الطرف الأيسر في $y$ والطرف الأيمن في $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- أضف ثابت تكامل واحد $+C$ (واحد يكفي — اجمع ثوابت الجانبين معًا).
- ثم حل من أجل $y$ إن أمكن، للحصول على الحل العام.
- النتيجة هي عائلة من الدوال ذات الثابت $C$.
الحل العام هو عائلة
حل $\tfrac{dy}{dx}=ay$ يعطي $y=Ce^{ax}$ — منحنى واحد لكل ثابت، جميعها تناسب نفس الحقل.
تكامل $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ يعطي...
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$؛ $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$؛ أضف $+C$.
احتفظ بـ $+C$ (وحل من أجل $y$)
- ثابت التكامل هو ما يجعل هذا عائلة — لا تتركه أبدًا.
- غالبًا ستقوم بتدريجي أو إعادة ترتيب لعزل $y$؛ يتحول $C$ ويبقى.
- ترك الإجابة كعلاقة ضمنية مقبول إذا لم يكن $y$ قابلاً للعزل بشكل نظيف.
- شرط ابتدائي لاحق (درس 7.7) سيحدد $C$.
يجب عليك تضمين الثابت $+C$ عند حل معادلة تفاضلية بالفصل.
يعطي $+C$ الحلول العامة (عائلة من الحلول).
الحل العام لـ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ هو...
أُسّ $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ للحصول على $y=A e^{x^2/2}$.
عملية الفصل تعمل فقط إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل على شكل (دالة لـ $x$) $\times$ (دالة لـ $y$). شيء مثل $\frac{dy}{dx}=x+y$ ليس قابلاً للفصل — لا يمكنك فصل المجموع. ولا تنسَ إضافة $+C$ بعد التكامل: بدونها يكون لديك منحنى واحد، وليس العائلة العامة.
حل $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (الحل العام).
- افصل: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- أكمل: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- تدريجي: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (كتابة $A=e^C$). الحل العام: $y=A\,e^{x^2/2}$.
فصل المتغيرات يحل معادلة قابلة للفصل $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: أعد الترتيب إلى $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$، وأكمل كلا الجانبين (ثابت $+C$ واحد)، وحل من أجل $y$ للحصول على الحل العام. يعمل فقط عندما يتم تحليل المعادلة إلى جزء من $x$ مضروبًا في جزء من $y$.