التكامل وتراكم التغيير

AP التفاضل والتكامل AB · الموضوع 6

عرض الشرائح تدريب

درس فيديو لهذا الموضوع افتح صفحة الفيديو

6.1

استكشاف تراكم التغيير

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.A: تفسير معنى المساحات المرتبطة بمنحنى معدل التغير في السياق.

CHA-4.A.1 مساحة المنطقة بين منحنى دالة معدل التغير ومحور $x$ تعطي تراكم التغير.
CHA-4.A.2 في بعض الحالات، يمكن حساب تراكم التغير باستخدام الهندسة.
CHA-4.A.3 إذا كان معدل التغير موجباً (سالباً) على فترة، فإن التغير المجمع يكون موجباً (سالباً).
CHA-4.A.4 وحدة قياس مساحة منطقة محددة بمعدل تغير هي وحدة معدل التغير مضروبة في وحدة المتغير المستقل.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

خزان ماء: التكامل يُراكم التغيير – الحجم الكلي من معدل التدفق

أوجد الاشتقاق معدلات. التكامل يعمل الفكرة العكسية: بمعلومية معدل تغير، يجد التراكم المتجمع. الصورة الأساسية: المساحة بين منحنى دالة المعدل ومحور $x$ تعطي التراكم الكلي.

إذا كان المعدل موجبًا على مجال، فإن التراكم متجمع موجب؛ وإذا سالبًا، سالبًا. المساحة تحت المحور تحسب سالبة.
يمكن حساب المناطق البسيطة (مثلثات، مستطيلات) باستخدام هندسة.
الوحدات: وحدة المساحة هي وحدة المعدل مضروبة في وحدة المدخل. معدل بالسيارات/ساعة مضروبًا في الساعات يعطي سيارات.

6.2

تقريب المساحات بجمع ريمان

المنهج

الفهم الدائم (LIM-5): يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق هندسية ورقمية.

هدف التعلم LIM-5.A: تقريب تكامل محدد باستخدام طرق هندسية ورقمية.

LIM-5.A.1 يمكن تقريب التكاملات المحددة للدوال التي يتم تمثيلها بيانياً، رقمياً، تحليلياً، ولفظياً.
LIM-5.A.2 يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام مجموع ريمان الأيسر، أو مجموع ريمان الأيمن، أو مجموع ريمان النقطة الوسطى، أو مجموع شبه المنحرف؛ ويمكن حساب التقديرات باستخدام تقسيمات منتظمة أو غير منتظمة.
LIM-5.A.3 يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق رقمية، مع أو بدون استخدام التكنولوجيا.
LIM-5.A.4 اعتماداً على سلوك الدالة، قد يكون من الممكن تحديد ما إذا كان تقدير للتكامل المحدد هو低估 (تقدير منخفض جداً) أو overestimate (تقدير مرتفع جداً) للقيمة الفعلية للتكامل المحدد.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

التكامل كمساحة (جمع ريمان)

مجموع الشذوذات يقارب المساحة

عند صعوبة الحصول على المساحة الدقيقة، قاربتها بـ جمع ريمان – قسّم المجال إلى مجالات فرعية واجمع مساحات المستطيلات (أو الشذوذات). التقديرات القياسية الأربعة:

مجموع ريمان: مستطيلات بعرض dx تقارب المساحة تحت المنحنى — كل مستطيل له مساحة $f(x)\,\Delta x$؛ جمعهما يقدّر المساحة، ومع انضيق الشرائح يقترب المجموع من التكامل المحدد.

جمع ريمان الأيسر – ارتفاع المستطيل من نهاية اليسرى لكل مجال فرعي.
جمع ريمان الأيمن – الارتفاع من نهاية اليمنى.
جمع ريمان نقطة المنتصف – الارتفاع من نقطة المنتصف.
مجموع الشذوذات – متوسط ارتفاعي النقطتين (شذوذ).

يمكن أن تكون المجالات الفرعية منتظمة (متساوية العرض) أو غير منتظمة – اقرأ العرض من الجدول.

تقدير زائد أم ناقص؟ احكم من سلوك الدالة: بالنسبة لدالة متزايدة، يقلل جمع اليسار ويغلف جمع اليمين؛ يكون مجموع الشذوذات تقديرًا زائدًا عندما تكون الدالة مقعرة لأعلى وناقصًا عندما تكون مقعرة لأسفل. تطلب أجزاء الامتحان منك تحديد النوع وسببه.

مثال محلول. جدول يعطي $f(0)=3$، $f(2)=5$، $f(4)=8$، $f(6)=9$. قدّر $\int_0^6 f(x)\,dx$ باستخدام جمع ريمان الأيمن بثلاثة مجالات فرعية متساوية ($\Delta x=2$). استخدم نهاية اليمين لكل شريط:

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

بما أن $f$ متزايدة، فإن هذا الجمع الأيمن هو تقدير زائد؛ سيكون جمع اليسار $2(3+5+8)=32$ تقديرًا ناقصًا.

استكشف

تقريب المساحة بالمستطيلات

y = ax³ + bx² + cx + d

مجموع ريمان يقارب المساحة تحت المنحنى باستخدام المستطيلات. أضف المزيد من المستطيلات الرقيقة وتتقارب التقديرات نحو التكامل المحدد الدقيق.

مفردات تدريب

English	العربية
accumulated change/əˈkjuːmjʊleɪtɪd tʃeɪndʒ/	التغير التراكمي
geometry/dʒiˈɒmətri/	هندسة
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	مجموع ريمان
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	منتصف
Trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	مجموع شبه المنحرف
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	تكامل محدد

6.3

جمع ريمان وتكامل الرموز

المنهج

الفهم الدائم (LIM-5): يمكن تقريب التكاملات المحددة باستخدام طرق هندسية ورقمية.

هدف التعلم LIM-5.B: تفسير الحالة الحدية لمجموع ريمان كتكامل محدد.

LIM-5.B.1 يمكن تفسير نهاية مجموع ريمان التقريبي كتكامل محدد.
LIM-5.B.2 مجموع ريمان، الذي يتطلب تقسيم فترة $I$، هو مجموع حاصل ضرب كل منها قيمة الدالة عند نقطة في فترة جزئية مضروبة في طول تلك الفترة الجزئية من التقسيم.

هدف التعلم LIM-5.C: تمثيل الحالة الحدية لمجموع ريمان كتكامل محدد.

LIM-5.C.1 التكامل المحدود لدالة مستمرة $f$ على الفترة $[a, b]$، والذي يُرمز له بـ $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$، هو نهاية مجموع ريمان عندما تقترب أعرض الفروع الجزئية من 0. أي، $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$، حيث $n$ هو عدد الفروع الجزئية، و$\Delta x_i$ هو عرض الفرع الجزئي رقم $i$، و$x_i^{*}$ هو قيمة داخل الفرع الجزئي رقم $i$.
LIM-5.C.2 يمكن ترجمة التكامل المحدد إلى نهاية مجموع رومان مرتبط به، ويمكن كتابة نهاية مجموع رومان كتكامل محدد.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

عندما تنكسر عرض المجالات الفرعية إلى الصفر، يقترب جمع ريمان من قيمة دقيقة – التكامل المحدد:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

هنا $\Delta x_i$ هو عرض المجال الفرعي $i$ و$x_i^{*}$ نقطة بداخله. إذن التكامل المحدد هو حد لجمع ريمان، ويجب أن تكون قادرًا على ترجمة كل واحد منهما للآخر.

6.4

نظرية التفاضل والتكامل الأساسية ودوال التراكم

المنهج

الفهم الدائم (FUN-5): تربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية بين الاشتقاق والتكامل.

هدف التعلم FUN-5.A: تمثيل دوال التراكم باستخدام التكاملات المحددة.

FUN-5.A.1 يمكن استخدام التكامل المحدد لتعريف دوال جديدة.
- أمثلة توضيحية لـ FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 إذا كانت $f$ دالة مستمرة على فترة تحتوي على $a$، فإن $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$، حيث $x$ تقع في الفترة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

تكامل محدد بحد علوي متغير يُعرّف دالة تراكم جديدة. تقول نظرية التفاضل والتكامل الأساسية (الجزء الأول) أن الاشتقاق يلغي هذا التراكم: إذا كانت $f$ متصلة، فإن

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

لذا إذا كانت $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$، فإن $g'(x)=f(x)$ و$g''(x)=f'(x)$. هذا هو المحرك وراء أسئلة "ليكن $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$" الشائعة جدًا.

دالة التراكم تضيف المساحة ذات الإشارة؛ تنص النظرية على أن مشتقتها هي f

استكشف

تراكم المساحة كتكامل

y = ax³ + bx² + cx + d

دالة التراكم $\int_a^x f(t)\,dt$ تبني مساحة موقعة كلما تحرك $x$. النظرية الأساسية تنص على أن مشتقتها هي ببساطة $f(x)$.

مفردات تدريب

English	العربية
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	دالة التراكم
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	مشتق عكسي
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	التكامل غير المحدد
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	ثابت التكامل
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	تعويض u
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	القسمة الطويلة للكثيرات الحدود
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	إكمال المربع

6.5

سلوك دوال التراكم

المنهج

الفهم الدائم (FUN-5): تربط نظرية التفاضل والتكامل الأساسية بين الاشتقاق والتكامل.

هدف التعلم FUN-5.A: تمثيل دوال التراكم باستخدام التكاملات المحددة.

FUN-5.A.3 التمثيلات البيانية والرقمية والتحليلية واللفظية للدالة $f$ توفر معلومات عن الدالة $g$ المعرفة كـ $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

بما أن $g'(x)=f(x)$، فإن كل ما في الوحدة 5 ينطبق على دالة التراكم باستخدام الرسم البياني لـ $f$:

$g$ تتزايد حيث $f>0$ وتتناقص حيث $f<0$;
$g$ له قيمة حدية محلية حيث $f$ يعبر الصفر (مع تغير الإشارة);
$g$ يكون محدباً للأعلى حيث $f$ يتزايد؛ وتحدث نقاط الانعطاف لـ $g$ حيث $f$ له قيمة حدية محلية.

للحصول على قيمة $g$، احسب المساحة الموقعة: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$، بجمع المساحات فوق المحور وطرح المساحات تحته.

6.6

خصائص التكامل المحدود

المنهج

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.A: حساب تكامل محدد باستخدام المساحات وخصائص التكاملات المحددة.

FUN-6.A.1 في بعض الحالات، يمكن تقييم التكامل المحدد باستخدام الهندسة والارتباط بين التكامل المحدد والمساحة.
FUN-6.A.2 تشمل خصائص التكاملات المحددة: تكامل ثابت مضروباً في دالة، وتكامل مجموع دالتين، وعكس حدود التكامل، وتكامل دالة على فترات مجاورة.
FUN-6.A.3 يمكن توسيع تعريف التكامل المحدد للدوال ذات الانقطاعات القابلة للإزالة أو القفز.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

هذه الخصائص تبسط الحساب وتتكرر باستمرار:

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

الأخيرة (التقسيم عند نقطة داخلية $c$) تسمح لك ببناء تكامل كلي من أجزاء تُستخرج من الرسم البياني.

6.7

النظرية الأساسية وحساب التكاملات

المنهج

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.B: تقييم التكاملات المحددة تحليلاً باستخدام نظرية التفاضل والتكامل الأساسية.

FUN-6.B.1 الدالة العكسية للاشتقاق (Antiderivative) للدالة $f$ هي دالة $g$ يكون اشتقاقها $f$.
FUN-6.B.2 إذا كانت الدالة $f$ متصلة على فترة تحتوي على $a$، فإن الدالة المعرّفة بـ $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ تمثل دالة عكسية للاشتقاق لـ $f$ لكل $x$ في الفترة.
FUN-6.B.3 إذا كانت $f$ متصلة على الفترة $[a, b]$ وكانت $F$ دالة عكسية للاشتقاق لـ $f$، فإن $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

الجزء الثاني من النظرية الأساسية يحسب التكامل المحدود باستخدام المشتق العكسي. إذا $F'=f$، فإن

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

إذن: أوجد أي مشتق عكسي $F$، ثم اطرح قيمته عند الحدين. هذا هو الطريقة التي يُحسب بها معظم التكاملات الدقيقة. كما أنه يعطي منظور التغير الصافي: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$، لذا فإن القيمة الابتدائية زائد التغير المتراكم تعطي قيمة لاحقة، مثال $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

مثال محلول. احسب $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. المشتق العكسي هو $F(x)=x^2+x$، إذن

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

تكامل محدود هو المساحة الموقعة بين المنحنى ومحور x

6.8

المشتقات العكسية والتكاملات غير المحدودة

المنهج

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.C: تحديد الدوال العكسية للاشتقاق والتكاملات غير المحددة باستخدام معرفة الاشتقاقات.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ هو تكامل غير محدد للدالة $f$ ويمكن التعبير عنه كـ $\int f(x)\,dx = F(x) + C$، حيث $F'(x) = f(x)$ و $C$ أي ثابت.
FUN-6.C.2 قواعد الاشتقاق توفر الأساس لإيجاد الدوال العكسية للاشتقاق.
FUN-6.C.3 لا تملك العديد من الدوال دوالاً عكسية للاشتقاق بصيغة مغلقة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

التكامل غير المحدود هو مجموعة كل المشتقات العكسية، تُكتب مع ثابت التكامل:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

عكس كل قاعدة اشتقاق لبناء المشتقات العكسية الأساسية:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

6.9

التكامل بالتعويض

المنهج

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.D: بالنسبة للمُكَمِّلات التي تتطلب التعويض أو إعادة ترتيبها إلى أشكال مكافئة: (أ) تحديد التكاملات غير المحددة. (ب) تقييم التكاملات المحددة.

FUN-6.D.1 تعويض المتغيرات هو تقنية لإيجاد الدوال العكسية للاشتقاق.
FUN-6.D.2 بالنسبة للتكامل المحدد، يتطلب تعويض المتغيرات تغييرات مقابلة في حدود التكامل.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

تعويض $u$- يعكس قاعدة السلسلة. اختر دالة داخلية $u=g(x)$، بحيث $du=g'(x)\,dx$، وأعد كتابة التكامل بالكامل بدلالة $u$:

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

ابحث عن دالة ومشتقتها موجودتين معاً. بالنسبة للتكامل المحدود، إما غيّر الحدود إلى قيم $u$ أو عد إلى $x$ قبل تعويض الحدود الأصلية.

مثال محلول. احسب $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. الدالة الداخلية هي $u=x^2$، ومشتقتها $2x\,dx=du$ موجودة، لذا

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

ملاحظة أن $2x$ هي بالضبط $\dfrac{du}{dx}$ هي الحيلكة كاملة.

6.10

القسمة المطولة وإكمال المربع

المنهج

الفهم الدائم (FUN-6): إدراك الفرص لتطبيق معرفة الهندسة والقواعد الرياضية يمكن أن يبسط عملية التكامل.

هدف التعلم FUN-6.D: بالنسبة للمُكَمِّلات التي تتطلب التعويض أو إعادة ترتيبها إلى أشكال مكافئة: (أ) تحديد التكاملات غير المحددة. (ب) تقييم التكاملات المحددة.

FUN-6.D.3 تقنيات إيجاد المشتقات العكسية تشمل إعادة الترتيب إلى أشكال مكافئة، مثل القسمة المطولة وإكمال المربع.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

خطوتان جبريتان تهيئان أكثر التكاملات لتتناسب مع الأشكال الأساسية: القسمة المطويلة عندما يكون درجة البسط $\ge$ درجة المقام في دالة كسرية، وإكمال المربع لتحويل مقام تربيعي إلى شكل يتكامل إلى دالة ظل عكسية أو لوغاريتم.

6.14

اختيار التقنيات للاشتقاق العكسي

المنهج

هذا الموضوع موجه للتركيز على مهارة اختيار إجراء مناسب للاشتقاق العكسي. يجب إعطاء الطلاب فرصاً للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع أهداف التعلم المتعلقة بالاشتقاق العكسي.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

موضوع مهارة: طابق التكامل مع طريقة. جرب مشتقاً عكسياً أساسياً أولاً؛ ابحث عن تعويض $u$- (دالة داخلية مشتقتها موجودة أيضاً)؛ استخدم الجبر (القسمة، إكمال المربع، تجزئة الكسر) لإعادة تشكيل الدالة المكاملة إلى شكل قياسي. تسمية البنية أولاً تمنع إهدار الجهد.

6.14

نصائح للامتحان

التكامل هو اشتقاق عكسي؛ استخدم قاعدة القوة $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ولا تنسَ الـ $+C$.
النظرية الأساسية تربط الاثنين: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$، و$\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
قدّر تكاملاً محدداً باستخدام مجمعات ريمان أو قاعدة شبه المنحرف من جدول قيم.
التكامل المحدود هو مساحة موقعة (تحت المحور يُحسب سالباً)؛ قسّم عند تغيرات الإشارة للحصول على المساحة الكلية.
استخدم تعويض u-Remember وتذكر تغيير الحدود (أو التعويض العكسي) وفقاً لذلك.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

أوراق الامتحانات السابقة

المزيد من المواضيع في AP التفاضل والتكامل AB