الديناميكا

الكتلة

الكتلة تخبرك عن مدى صعوبة تغيير حركة الجسم. كلما كانت الكتلة أكبر، زادت القوة اللازمة لإعطائه تسارع معين. تقاس الكتلة بالكيلوجرام ($\text{kg}$) وهي كمية قياسية.

الزخم

زخم خطي هو حاصل ضرب الكتلة والسرعة:

الزخم كمية متجهة — يشير في نفس اتجاه السرعة. وحدته هي $\text{kg m s}^{-1}$، وهي نفسها $\text{N s}$.

القوة كمعدل تغير الزخم

قانون نيوتن الثاني، بصيغته العامة: القوة المحصلة على جسم تساوي معدل تغير زخمه.

عندما تكون الكتلة ثابتة، تصبح $F = ma$، لأن $\Delta p = m\,\Delta v$ و$\Delta v / \Delta t = a$. غالبًا ما تطلب أسئلة كامبريدج منك استخدام $F = \Delta p / \Delta t$ مباشرة لـاصطدام أو دفع: القوة المتوسطة تساوي التغير في الزخم مقسومًا على زمن التلامس.

تصطدم كرة بجدار بعزم كمية حركة $p_{1}$ وترتد بعزم كمية حركة $p_{2}$ في الاتجاه المعاكس. التغير في كمية الحركة هو $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (أعطِ لكل اتجاه الإشارة الصحيحة). القوة المتوسطة هي $\Delta p / \Delta t$، حيث $\Delta t$ هو زمن التلامس.

مثال محلول. تصطدم كرة كتلتها $0.20\ \text{kg}$ بجدار بسرعة $8.0\ \text{m s}^{-1}$ وترتد مباشرة بسرعة $6.0\ \text{m s}^{-1}$. يستمر التلامس لمدة $0.050\ \text{s}$. أوجد القوة المتوسطة المؤثرة على الكرة.

اعتبر اتجاه الارتداد موجباً، إذن $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ و$v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

عندما تعرف الزخم لكن لا تعرف السرعة، يكون التغير في الطاقة الحركية هو

يأتٍ هذا من $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

رسوم بيانية الزخم–الزمن

بما أن $F = \Delta p / \Delta t$، فإن الميل لرسم بياني لكمية الحركة-الزمن هو محصلة القوى، تماماً كما ميل رسم السرعة-الزمن هو التسارع. الخط المستقيم يعني قوة محصلة ثابتة؛ الخط الأفقي يعني قوة محصلة صفرية؛ الخط المائل لأسفل يعني قوة تعمل عكس الحركة.

مثال محلول. يُظهر المنحنى زخم دراجة نارية. أوجد القوة المحصلة المؤثرة عليها خلال $10\ \text{s}$ الأولى.

الانحدار $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. بين $10\ \text{s}$ و$16\ \text{s}$ يكون الزخم ثابتاً، لذا تكون القوة المحصلة مساوية للصفر: فقوة الدفع تعادل تماماً قوى المقاومة. من $16\ \text{s}$ إلى $20\ \text{s}$ ينخفض الزكم بمقدار $2000\ \text{kg m s}^{-1}$، لذا تكون القوة المحصلة مساوية لـ $-500\ \text{N}$، وتعمل في الاتجاه الخلفي.

إذا أخبرتك المسألة أن السرعة تتغير بينما تظل القوة المحصلة ثابتة، فإن هذه القوة لا يمكن أن تكون مقاومة الهواء: لأن مقاومة الهواء تعتمد على السرعة، لذا ستتغير مع تغير السرعة، كما أنها تعمل دائماً عكس اتجاه الحركة.

القانون الأول

يبقى الجسم ساكناً أو يستمر في الحركة بسرعة منتظمة وفي خط مستقيم، إلا إذا أثرت عليه قوة خارجية محصلة. باختصار: صفر قوة محصلة يعني صفر تسارع.

القانون الثاني

القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي معدل تغير زخمه، وتعمل في نفس اتجاه هذا التغير. في وحدات النظام الدولي (SI)،

التسارع والقوة المحصلتان يشيران دائماً إلى نفس الاتجاه.

القانون الثالث

عندما يدفع الجسم A الجسم B، يدفع الجسم B الجسم A بقوة متساوية ومعاكسة. القوتان:

• تؤثران على جسمين مختلفين،
• من نفس النوع (كلاهما جاذبية، كلاهما تلامس، كلاهما كهرباستاتيكي، وهكذا)،
• لهما نفس المقدار واتجاه معاكس.

فخ شائع: وزن كتلة على طاولة وقوة التلامس العمودية من الطاولة ليسا زوجاً according to قانون نيوتن الثالث (لأنهما تؤثران على نفس الجسم وهما من نوعين مختلفين). الشريك according to قانون نيوتن الثالث لوزن الكتلة هو الجذب الذي تقوم به الكتلة نحو الأرض. والشريك according to قانون نيوتن الثالث لقوة التلامس من الطاولة هو الدفع الذي تقوم به الكتلة نحو الطاولة.

لتسمية الشريك according to قانون نيوتن الثالث، قم بتبديل الجسمين في الجملة. "العجلة الخلفية للدراجة تدفع للخلف على الطريق" يقابلها "الطريق يدفع للأمام على العجلة الخلفية"، وهذا الدفع الأمامي هو ما يحرك الدراجة. "الجاذبة تسحب القمر" يقابلها "القمر يسحب الأرض"، بنفس مقدار القوة.

بالنسبة للصاروخ: الدفع المؤثر على الصاروخ والقوة المؤثرة على الغازات تمثل زوجاً according to قانون نيوتن الثالث (المحرك يدفع الغازات لأسفل، والغازات تدفع المحرك لأعلى). الوزن ومقاومة الهواء ليسا جزءاً من هذا الزوج.

الوزن هو القوة المؤثرة على جسم من حقل جاذبي. بالقرب من سطح الأرض،

حيث $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ هي تسارع السقوط الحر. الوزن كمية متجهة تشير نحو مركز الأرض. لا تخلط بينها وبين الكتلة: فالكتلة ثابتة في كل مكان، لكن الوزن يتغير حسب المكان.

على القمر $g$ قيمتها حوالي $1.6\ \text{m s}^{-2}$، لذا تبقى كتلة رائد الفضاء دون تغيير ولكن وزنه يساوي تقريباً سادس قيمته على الأرض. عندما يطرح سؤال اختيارات متعددة أي عبارة تصف الوزن، الإجابة الصحيحة هي التي تقول "القوة المؤثرة على الجسم بسبب حقل جاذبي"، وليس "الكتلة مضروبة في التسارع" ولا "القوة المحصلة".

قوى الاحتكاك ومقاومة الموائع

قوة الاحتكاك بين سطحين صلبين تعمل على طول السطح وتعارض الانزلاق. قوة لزجة أو مقاومة موائع هي قوة مقاومة来自于 مائع (سائل أو غاز)作用于物体 moving through it; مقاومة الهواء هي حالة خاصة للهواء. لا تحتاج لاستخدام أي معامل احتكاك أو لزوجة.

نموذج بسيط: تزداد مقاومة الموائع كلما زادت السرعة. عند صفر سرعة، تكون مقاومة الموائع صفراً. كما تزداد مقاومة الموائع مع المقطع العرضي للجسم ومع كثافة المائع؛ والمظلة تعمل عن طريق زيادة المقطع العرضي، وبالتالي زيادة مقاومة الموائع بشكل كبير. هذه القوى الاحتكاكية وقوى مقاومة الموائع كلها قوى مقاومة: تعمل عكس اتجاه الحركة وتنقل الطاقة الحركية إلى طاقة حرارية.

جسم يسقط عبر الهواء

بالنسبة لجسم يُ-drop من السكون ويسقط عبر الهواء:

1. في البداية، يعمل الوزن فقط، فيسرع الجسم لأسفل بمقدار $g$.
2. مع زيادة السرعة، تزداد مقاومة الموائع للأعلى. تقل القوة المحصلة، وبالتالي يقل التسارع.
3. في النهاية، تساوي مقاومة الموائع الوزن. تكون القوة المحصلة صفراً والتسارع صفراً، وتبقى السرعة ثابتة — وهي السرعة النهائية.

في الرسم البياني للسرعة–الزمن، يبدأ الخط مستقيمًا بميل $g$، ثم ينحني ويستوي عند السرعة النهائية. هذا الشكل (بداية سريعة، ثم تباطؤ في التسارع، ثم سرعة ثابتة) هو الفرق بين "السقوط مع مقاومة الهواء" و"السقوط الحر في الفراغ" في مجال جاذبية منتظم. أما في الرسم البياني للتسارع–الزمن، فيبدأ التسارع من $g$ وينخفض، منحنيًا نحو الصفر.

كرتان بنفس الحجم لكن بكثافات مختلفة لهما سرعات نهائية مختلفة: الكرة الأكثر كثافة لها وزن أكبر، لذا تحتاج إلى قوة سحب أكبر لتوازنها، ولا تصل قوة السحب إلى هذه القيمة إلا عند سرعة أعلى. وهذا أيضًا سبب تغيير المظلة لكل شيء: عندما تنفتح، تتجاوز قوة السحب الوزن فجأة، وتكون محصلة القوى لأعلى، وينتقل القافز بتباطؤ (التسارع لأعلى بينما لا تزال السرعة لأسفل) حتى تنخفض قوة السحب لتساوي الوزن مرة أخرى عند سرعة نهائية جديدة، أقل بكثير.

السقوط في سائل: ثلاث قوى

كرة تسقط في سائل تتعرض لثلاث قوى عليها: وزنها للأسفل، قوة الدفع للأعلى، والمقاومة اللزجة للأعلى. تنشأ قوة الدفع من الضغط الهيدروستاتيكي: حيث يزداد الضغط في السائل مع العمق، فيضغط السائل بقوة أكبر على أسفل الكرة مقارنة بأعلىها، ويكون محصلة هذه الضغوط موجهة للأعلى. مقدارها يساوي وزن السائل الذي تزاحته الكرة، $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (موضوع 4). تزداد المقاومة مع السرعة. عندما يكون الوزن $=$ قوة الدفع $+$ المقاومة، تكون محصلة القوى صفراً وتُسقط الكرة بسرعة نهايتها. السؤال "ارسم أسهماً محددة" يتطلب هذه القوى الثلاث بالضبط، مع توجه قوة الدفع والمقاومة للأعلى والوزن للأسفل.

مثال محلول. كرة فولاذية نصف قطرها $2.0\ \text{mm}$ ووزنها $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ تسقط في زيت كثافته $850\ \text{kg m}^{-3}$. قوة السحب اللزج عليها هي $F = 6\pi \eta r v$، حيث $\eta$ هي اللزوجة الزيت و$v$ السرعة. (أ) أوجد الوحدات الأساسية SI لـ $\eta$. (ب) أثبت أن قوة الطفو على الكرة تساوي $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (ج) باستخدام $\eta = 0.20$ بالوحدات SI، أوجد السرعة النهائية.

(أ) $\eta = F / (6\pi r v)$، إذن وحداتها هي $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(ب) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$، إذن $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(ج) عند السرعة النهائية، $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$ قوة السحب. إذن $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

الطاقة أثناء سقوط السرعة النهائية

عند السرعة النهائية، يمتلك الطائر المتساقط طاقة حركية ثابتة. لكن الطاقة الكامنة الجاذبية تستمر في الانخفاض أثناء نزوله. أين تذهب؟ يتحول معظمها إلى طاقة حرارية للهواء المحيط به. إنه لا يصبح طاقة حركية للطائر المتساقط — تلك تظل ثابتة.

دراج أو سيارة بسرعة ثابتة

مركبة بسرعة ثابتة على طريق مستوٍ تكون محصلة القوى صفر. قوة الدفع الأمامية مساوية ومعاكسة لمجموع القوى المقاومة (الاحتكاك، مقاومة الهواء، ومقاومة التدحرج). عند سرعة أعلى تكون قوة السحب أكبر، لذا يجب أن تكون قوة الدفع أكبر أيضًا — وبالتالي يجب أن تكون الطاقة أكبر.

على منحدر يكون للوزن مركبة على طول الطريق. عند الصعود بسرعة ثابتة، يجب أن توازن قوة الدفع القوى المقاومة وجزء من الوزن الذي يسحبه لأسفل المنحدر، $W\sin\theta$؛ وعند النزول، تساعد هذه المركبة الحركة.

مثال محلول. سيارة كتلتها $1500\ \text{kg}$ تصعد طريقًا بزاوية ميل $12°$ إلى الأفق بسرعة ثابتة $30\ \text{m s}^{-1}$. مجموع القوى المقاومة هو $1600\ \text{N}$. أوجد قوة الدفع والطاقة الناتجة المفيدة للمحرك.

السرعة الثابتة تعني صفر محصلة القوى على طول المنحدر: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. الطاقة هي القوة مضروبة في السرعة (الموضوع 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

المبدأ

بالنسبة لنظام لا توجد عليه محصلة قوى خارجية، يبقى العزم الكلي ثابتاً. وهذا هو حفظ العزم. صياغة مخصصة للإجابة بعلامتين يعطيها الممتحن: يبقى عزم نظام من الأجسام ثابتاً بشرط عدم وجود محصلة قوى خارجية تؤثر على النظام. يجب ذكر كلا الجزأين؛ فعبارة "العزم الكلي ثابت" وحدها تكفي لعلامة واحدة.

يُطبق دائماً عند عدم وجود محصلة قوة خارجية — في التصادمات والانفجارات والارتداد. وفي بعدين، يُحفظ العزم على طول كل اتجاه على حدة.

مثال محلل. عربة كتلتها $2.0\ \text{kg}$ وعربة كتلتها $3.0\ \text{kg}$ ممسوكتان معاً ضد نابض مضغوط، ثم تُحرَّكان من السكون. تنطلق العربة كتلتها $2.0\ \text{kg}$ بسرعة $6.0\ \text{m s}^{-1}$. أوجد سرعة العربة الأخرى.

يبقي العزم الكلي صفراً (بدأ من السكون)، لذا

في الاتجاه المعاكس.

التصادمات المرنة وغير المرنة

في كل تصادم، يُحفظ العزم (إذا لم تكن هناك محصلة قوة خارجية).

التصادم المرن هو الذي يُحفظ فيه أيضاً الطاقة الحركية الكلية. اختبار سريع: في التصادم المرن، تكون سرعة الاقتراب مساوية لسرعة الانفصال النسبية.

في التصادم غير المرن، يُحفظ العزم لكن تقل الطاقة الحركية — جزء منها يتحول إلى طاقة حرارية أو صوتية أو تشوه. إذا التصقت الجسمان معاً، يكون التصادم غير مرن تماماً.

حل مسائل التصادم (بعد واحد)

بالنسبة لجسمين كتلتهما $m_{1}, m_{2}$ وسرعتهما الابتدائية $u_{1}, u_{2}$ يتصادمان أمامياً، اكتب

استخدم السرعات ذات الإشارة (موجبة في اتجاه مختار). وإذا كان التصادم مرناً، أضف معادلة السرعة النسبية

أو ما يعادلها، $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. هذا يعطي معادلتين مجهولين.

مثال محلل. سيارة كتلتها $1500\ \text{kg}$ تتحرك بسرعة $12\ \text{m s}^{-1}$ اصطدمت بسيارة واقفة كتلتها $1000\ \text{kg}$ وتلاصقتا. أوجد سرعتهما المشتركة بعد التصادم مباشرةً.

يُحفظ العزم (تلاصقت السيارات، لذا $v_{1} = v_{2} = v$):

غالباً ما تطلب الأسئلة لاحقاً كسر الطاقة الحركية المنتقلة لأشكال أخرى. قبل التصادم: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. بعد التصادم: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. إذن $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$، وهو $40\%$ من الطاقة الحركية الأصلية، تحول إلى طاقة حرارية وصوت وتشوه في السيارات. العزم مُحفظ؛ الطاقة الحركية ليست كذلك.

مثال محلل. نواة ساكنة كتلتها $222\,u$ تتحلل بإطلاق جسيم ألفا α كتلته $4\,u$ بسرعة $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. أوجد سرعة النواة المتبقية.

قبل التحلل كان العزم الكلي صفراً، لذا بعد التحلل يكون للعزمين المقدار والاتجاه المعاكس: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$، مما يعني $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ في الاتجاه المعاكس لجسيم ألفا. الوحدة $u$ تختصر، لذا لا حاجة إلى قيمتها. في التحلل، يُحفظ العزم والشحنة (عدد البروتونات) وعدد النيوكليونات والطاقة الكتلية الكلية (الموضوع 11).

نتيجة مفيدة لتصادم مرن أمامي كتلة $m$ مع كتلة ثابتة $M$:

التصادمات في بعدين

إذا تحركت الأجسام في بعدين، قسّم السرعات إلى مكونات عمودية وطبّق حفظ العزم على طول كل اتجاه على حدة. بالنسبة لتصادم تصطدم فيه الأجسام بزاوية، اختر محوراً على طول حركة الجسم الأول ومحوراً آخر عمودياً عليه. يُحفظ العزم الكلي على طول كل محور.

مثال محلل. على سطح أملس، يمتلك كرة A عزم $4.0\ \text{N s}$ نحو الشرق وكرة B عزم $3.0\ \text{N s}$ نحو الشمال. تتصادمان وتلاصقان. أوجد عزم الجسم المدمج.

يُحفظ العزم على طول كل محور: $4.0\ \text{N s}$ نحو الشرق و$3.0\ \text{N s}$ نحو الشمال بعد التصادم، تماماً كما كان قبله. العزم الكلي هو المجموع الشعاعي، $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ بزاوية $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ شمال الشرق؛ يتحرك الجسم المدمج بهذه الزاوية بسرعة $5.0\ \text{N s}$ مقسومة على الكتلة الكلية. رسم بياني لاختيار متعدد لعزمين يشير بالضبط إلى هذا: اجمع الأسهم طرفاً لطرف.

الصاروخ / إخراج الكتلة

يدفع الصاروخ الغاز بسرعة $u$ (نسبياً لنفسه) بمعدل تدفق كتلي $\dot m$ (كجم في الثانية). يشعر بدفع

الناتج عن $F = \Delta p / \Delta t$. العزم المُعطى للغاز كل ثانية يساوي الدفع المؤثر على الصاروخ (قانون نيوتن الثالث: الصاروخ يدفع الغاز في اتجاه، ويدفع الغاز الصاروخ في الاتجاه الآخر). محرك يطرد $90\ \text{kg}$ من الغاز في الثانية بسرعة $190\ \text{m s}^{-1}$ ينتج دفعاً مقداره $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

مثال محلل. صاروخ وزنه $W$ ينطلق من الأرض بتسارع ابتدائي $a$. ما مقدار الدفع الذي ينتجه محركاته؟

اعتبر الاتجاه للأعلى موجباً. المحصلة هي الدفع ناقص الوزن، لذا $T - W = ma$. مع $m = W / g$، $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. صاروخ وزنه $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ يتسارع بـ $4.0\ \text{m s}^{-2}$ يحتاج دفعاً مقداره $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. يجب أن يتجاوز الدفع الوزن قبل أن يبدأ الصاروخ بالحركة.

تُصنّف أسئلة التعريف بناءً على صياغة ثابتة. احفظ هذه التعريفات بدقة، وقدم إجابة واحدة فقط.

• قانون نيوتن الثاني $F = \Delta p / \Delta t$ (معدل تغير الزخم)؛ $F = ma$ هو الحالة الخاصة للكتلة الثابتة.
• حدد أزواج القوى الثالثة بشكل صحيح: نفس النوع من القوى، مؤثرة على جسمين مختلفين — وليس القوى المتوازنة المؤثرة على جسم واحد.
• يُحفظ الزخم في كل تصادم؛ تُحفظ الطاقة الحركية فقط في التصادم المرن.
• بالنسبة لـ السرعة النهائية، اشرح أن مقاومة الهواء تزداد مع السرعة حتى تصبح مقاومة $=$ الوزن، فتصبح التسارع صفراً.

أخطاء شائعة

• كتابة "القوى متوازنة" أو "القوى تلغي بعضها البعض". قل "المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا".
• جمع السرعتين في تصادم أمامي لأن الزخم "إجمالي". اختر اتجاهًا موجبًا، وأعطِ السرعة المعاكسة إشارة سالبة، ثم اجمع.
• حساب الطاقة الحركية من مركبة واحدة من السرعة. تستخدم الطاقة الحركية السرعة الكلية لكل جسم.
• تسمية الوزن والقوة العمودية المؤثرة على جسم واحد بأزواج القوى الثالثة. الزوج يعمل على جسمين مختلفين وهو من نوع واحد من القوى.
• ذكر حفظ الزخم دون الشرط. ينطبق فقط عندما لا تؤثر محصلة قوى خارجية على النظام.