الكميات الفيزيائية والوحدات

تتكون أي كمية فيزيائية من جزأين: عدد (هو مقداره) ووحدة. العدد وحده لا يعطي أي معلومات. يجب عليك أيضاً تحديد ما تم قياسه وفي أي وحدة.

مثال: "الطول هو 1.5" غير مكتمل. "الطول هو 1.5 م" هو كمية فيزيائية.

تقدير القيم

يجب أن تكون قادراً على تقدير حجم الكميات الفيزيائية في هذا المنهج. عادة ما يبدأ الورقة 1 بسؤال من هذا النوع. احفظ هذه القيم التقريبية:

• كتلة إنسان بالغ: $\sim 70\ \text{kg}$؛ لسيارة: $\sim 1000\ \text{kg}$؛ لتفاحة: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• وزن إنسان بالغ: $\sim 700\ \text{N}$؛ لتفاحة: $\sim 1\ \text{N}$
• طول إنسان بالغ: $\sim 1.7\ \text{m}$؛ ارتفاع غرفة: $\sim 3\ \text{m}$
• سرعة المشي: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$؛ سيارة على طريق سريع: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• سرعة الصوت في الهواء: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$؛ سرعة الضوء في الفراغ: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• تسارع السقوط الحر: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• كثافة الماء: $1000\ \text{kg m}^{-3}$؛ للهواء: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$؛ للصلب: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• الضغط الجوي: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• درجة حرارة الغرفة: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• قدرة غلاية كهربائية: $\sim 2\ \text{kW}$؛ لشخص يصعد الدرج: $\sim 300\ \text{W}$
• طول موجة الضوء المرئي: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$؛ قطر ذرة: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$؛ لنواة: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

التقدير الجيد له رتبة مقدار صحيحة (الأس الصحيح للعدد العشري). بالنسبة للإنسان، 70 كجم تخمين جيد؛ 7 كجم ليس كذلك.

لتقدير كمية غير مدرجة في القائمة، قم ببنائها من تلك الموجودة. الطاقة الحركية لسيارة متحركة هي $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. الضغط أسفل شخص واقف هو $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. تأكد دائماً من أن الأس يبدو منطقياً قبل الانتقال إلى الخطوة التالية.

الوحدات الأساسية

يتميز النظام الدولي بسبع كميات أساسية؛ خمسة منها مستخدمة في هذا الموضوع. يجب أن تعرف هذه الخمسة ووحداتها:

• الكتلة — كيلوغرام، $\text{kg}$
• الطول — متر، $\text{m}$
• الزمن — ثانية، $\text{s}$
• التيار — أمبير، $\text{A}$
• درجة الحرارة — كلفن، $\text{K}$

كل وحدة أخرى في هذا المنهج تُبنى من هذه الخمس.

الوحدات المشتقة

الوحدة المشتقة تُصنع بضرب أو قسمة الوحدات الأساسية. يجب أن تكون قادراً على كتابة أي كمية في هذا المنهج بوحداتها الأساسية.

ابني وحدة مشتقة من المعادلة التي تُعرّفها:

• السرعة = المسافة / الزمن، لذا وحدتها هي $\text{m s}^{-1}$
• التسارع = التغير في السرعة المتجهة / الزمن، لذا وحدتها هي $\text{m s}^{-2}$
• القوة = الكتلة × التسارع، لذا وحدتها هي $\text{kg m s}^{-2}$. النوتون هو $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• الشغل والطاقة = القوة × المسافة، لذا الوحدة هي $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. الجول هو $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• القدرة = الطاقة / الزمن، لذا الوحدة هي $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. الواط هو $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• الضغط والإجهاد = القوة / المساحة، لذا الوحدة هي $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. باسكال هو $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

عندما يطلب السؤال الوحدات الأساسية للنظام الدولي لكمية معينة، استبدل كل وحدة اسمية بوحداتها الأساسية ثم بسّطها. مثال: الوحدات الأساسية للنظام الدولي للواط هي $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

التحقق من تطابق الوحدات

المعادلة تكون متجانسة عندما يكون لكلا الطرفين نفس الوحدات الأساسية. بكلمات بسيطة: الوحدات على كلا الطرفين متطابقة.

اكتب كل طرف بوحدات أساسية وقارن them. خذ المعادلة $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• الطرف الأيسر: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• الطرف الأيمن، الحد الأول: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• الطرف الأيمن، الحد الثاني: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

يعطي كلا الطرفين $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$، لذا تتطابق الوحدات.

كن حذراً: تطابق الوحدات لا يثبت صحة المعادلة كاملة. قد تحتوي على رقم خاطئ أو عامل 2 مفقود. ولكن إذا كانت الوحدات لا تتطابق، فالمعادلة خاطئة بالتأكيد.

مثال محلل. قوة السحب على كرة ساقطة تُعطى بالمعادلة $F = kv^{2}$، حيث $v$ هي السرعة. أوجد الوحدات الأساسية للنظام الدولي للمعامل $k$.

أعد ترتيب المعادلة: $k = F / v^{2}$. بالوحدات الأساسية، $F$ هي $\text{kg m s}^{-2}$ و$v^{2}$ هي $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$، لذا

غالبًا ما تطلب الأسئلة متعددة الخيارات "أي معادلة يمكن أن تكون صحيحة؟". تحقق من الوحدات الأساسية لكل خيار؛ لا يمكن إلا لمعادلة متجانسة أن تكون صحيحة. العدد الخالص (مثل 2، $\pi$ أو $\tfrac{1}{2}$) ليس له وحدة، لذا فهو لا يغير التحقق أبدًا.

السوابق

السابقة هي حرف يُوضع أمام الوحدة لجعلها أكبر أو أصغر بقوى العشرة. يجب أن تعرف هذه:

لتحويل وحدة ذات سابقة إلى وحدات أساسية، استبدل السابقة بعاملها، ثم بسّط. مثال: تحويل $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ إلى $\text{N m}^{-2}$:

احذر بشكل خاص مع الوحدات المربعة مثل $\text{mm}^{2}$: يجب تربيع العامل أيضًا.

كل قياس يحتوي على بعض عدم اليقين — فلا نكون متأكدين تمامًا من القيمة. العالِم الجيد يعرف مصدر عدم اليقين، ويقدّره تقديراً عادلاً، وينقله إلى الإجابة النهائية.

الأخطاء المنهجية والعشوائية

الخطأ المنهجي يغير كل قراءة بنفس المقدار، وفي نفس الاتجاه. لا يمكنك اكتشافه بتكرار القياس. أسباب شائعة:

• خطأ الصفر (المقياس لا يقرأ صفرًا عندما تكون القيمة الحقيقية صفرًا)
• خطأ المعايرة (المقياس نفسه خاطئ)
• التوازي (عينك دائمًا على جانب واحد من المقياس)

الخطأ المنهجي يجعل الدقة أسوأ، لكنه لا يغير الوضوح.

الخطأ العشوائي يجعل القفز فوق وتحت القيمة الحقيقية، بدون نمط. تشمل الأسباب مدى دقة قراءتك للمقياس، changing conditions، وأصغر خطوة يمكن أن تُظهرها الأداة. إذا كررت القياس مرات عديدة وأخذت المتوسط (المتوسط الحسابي)، فإن الأخطاء العشوائية تلغي بعضها جزئيًا.

الخطأ العشوائي يجعل الوضوح أسوأ. ولكن مع تكرارات كافية، لا يزال المتوسط يمكن أن يكون دقيقًا.

على الرسم البياني، يبدو الخطأان مختلفين. الخطأ المنهجي يحرك كل نقطة بنفس المقدار، لذا تحافظ خط أفضل ملاءمة على ميله لكن لم يعد يمر عبر نقطة الأصل: يتغير التقاطع. الأخطاء العشوائية تشتت النقاط فوق وتحت الخط؛ خط أفضل ملاءمة يرسم عبر وسط التشتت لا يزال يعطي ميلًا موثوقًا.

الدقة والدقة

الدقة (Precision) هي مدى قرب القراءات المتكررة من بعضها البعض. القراءات الدقيقة تكون متجمعة قريبًا جدًا من بعضها.

الصحة (Accuracy) هي مدى قرب قراءة (أو متوسط عدة قراءات) من القيمة الحقيقية.

مجموعة من القراءات يمكن أن تكون:

• دقيقة وصحيحة — قريبة من بعضها وقريبة من القيمة الحقيقية
• دقيقة ولكن غير صحيحة — قريبة من بعضها، لكن بعيدة عن القيمة الحقيقية (خطأ منهجي)
• صحيحة ولكن غير دقيقة — مبعثرة، لكن المتوسط قريب من القيمة الحقيقية
• لا أي منهما — ممتد وبعيد عن القيمة الحقيقية

عندما يعطي السؤال جدول قراءات متكررة، انظر إلى الانتشار (الدقة) والمتوسط (الصحة) بشكل منفصل.

تقدير عدم اليقين في القراءة

قبل دمج عدم اليقين، تحتاج إلى قيمة معقولة لعدم اليقين لكل قراءة خام:

• قراءة واحدة على مقياس تناظري: نصف أصغر تدرج (مسطرة مترية تُقرأ حتى $1\ \text{mm}$، لذا تكون القراءة الواحدة $\pm 0.5\ \text{mm}$).Length يحتاج قراءتين، واحدة عند كل طرف، لذا يكون عدم اليقين له $\pm 1\ \text{mm}$.
• عداد رقمي: $\pm 1$ في آخر رقم ظاهر (مؤقت وقت يظهر $2.47\ \text{s}$ هو $\pm 0.01\ \text{s}$).
• قياس مؤقت باليد: وقت رد فعلك مهم أكثر من الشاشة. اترك حوالي $\pm 0.1$ إلى $0.2\ \text{s}$، وقس العديد من الاهتزازات بدلاً من واحد، بحيث يتم تقسيم نفس عدم اليقين بينهم جميعاً.
• Repeated readings: the uncertainty is half the range. Three timings of $2.42$, $2.48$ and $2.45\ \text{s}$ have a mean of $2.45\ \text{s}$ and a range of $0.06\ \text{s}$, so $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

كن صادقاً. إذا كان حافة الظل صعبة الرؤية، فإن عدم اليقين في موقعها several millimetres، بغض النظر عن دقة المقياس. لا يقبل المصححون "أصغر تدرج" كعدم يقين للقراءة الصعبة.

عدم اليقين في الكمية المشتقة

غالباً ما تُكتب القياس على شكل $x \pm \Delta x$. هنا $\Delta x$ هو عدم اليقين المطلق. عدم اليقين النسبي هو

الكمية المشتقة هي التي تحسبها من قيم مقاسة. يتم إيجاد عدم اليقين الخاص بها بقواعد بسيطة:

• الجمع أو الطرح — اجمع عدم اليقين المطلق. إذا $y = a + b$ أو $y = a - b$، فإن $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• الضرب أو القسمة — اجمع عدم اليقين النسبي. إذا $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$، فإن
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• الأسس — اضرب عدم اليقين المئوي في الأس. إذا $y = a^{n}$، فإن $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

مثال محلول. قُيس قطر كرة على أنه $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. حجم الكرة هو $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$، لذا $V \propto d^{3}$ ($V$ يعتمد على $d$ مكعب).

عدم اليقين المئوي في $d$ هو

بما أن $V \propto d^{3}$، فإن عدم اليقين المئوي في $V$ يساوي ثلاثة أضعاف هذا المقدار، أي حوالي $1.14\%$. الحجم هو $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. إذن عدم اليقين المطلق هو $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. الإجابة النهائية هي $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

هل تتفق قيمتان؟ غالبًا ما تطلب الأسئلة العملية ما إذا كانت قيمتان محسوبثان لثابت ما تدعمان علاقة مقترحة. لا تقف عند قول "إنهما قريبان" فحسب. احسب النسبة المئوية للفرق بينهما،

ثم قارنها بعدم اليقين المئوي في $k$ (أو بالمعيار الذي تقدمه السؤال، وغالبًا ما يكون 10%). إذا كان الفرق أصغر، فإن القيمتين تتفقان ضمن حدود عدم اليقين وتُدعم العلاقة. أما إذا كان أكبر، فلا تتفقان.

الأرقام المعنوية

عند كتابة كمية محسوبة، امنحها نفس عدد الأرقام المعنوية لأدق قياس استخدمته — وعادة ما يكون اثنان أو ثلاثة في هذا المنهج. كثرة الأرقام المعنوية تجعل الإجابة تبدو أدق مما هي عليه في الواقع، وقلة الأرقام تعني فقدان معلومات مفيدة.

تطلب الأوراق العملية تبرير الرقم الذي اخترته. حدد القراءات الخام: "يُعطى $a$ بـ 2 رقم معنوي لأن $L$ و$t$ تم قياس كل منهما بدقة 2 أرقام معنوية." عبارة "بسبب البيانات الخام" وحدها لا تكفي للحصول على الدرجة. في جدول النتائج، قيّم كل صف بناءً على أقل قراءة خام دقة في ذلك الصف؛ ولا تجبر كل الصفوف على نفس عدد الأرقام.

عدم اليقين في الرسم البياني

تطلب ورقة 5 منك نقل عدم اليقين عبر رسم بياني:

• ارسم كل نقطة مع شريط خطأ طوله يمثل عدم اليقين المطلق في تلك القيمة.
• ارسم خط أفضل انحدار يمر بالنقاط، ثم ارسم أشد خط مقبول: وهو المستقيم الأكثر ميلًا (أو الأقل ميلًا) الذي لا يزال يمر بجميع أشرطة الخطأ.
• عدم اليقين في الميل هو الفرق بين الميلين، $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. يتم إيجاد عدم اليقين في المقطع بنفس الطريقة.
• عند رسم لوغاريتم، يكون عدم اليقين المطلق في $\ln x$ هو $\Delta x / x$ (وفي $\lg x$ هو $0.434\,\Delta x / x$). احسبها للقيم الكبرى والصغرى لـ $x$ بشكل منفصل.

ثم ينتقل عدم اليقين المئوي في الميل إلى أي كمية تحسبها منه، باستخدام القواعد أعلاه.

الكمية القياسية لها مقدار فقط. والكمية المتجهة لها مقدار واتجاه معاً.

أمثلة من المنهج:

• كميات قياسية: الكتلة، الزمن، درجة الحرارة، الطاقة، الشغل، القدرة، المسافة، السرعة القياسية، الضغط، الكثافة، الشحنة الكهربائية
• كميات متجهة: الإزاحة، السرعة المتجهة، التسارع، القوة (بما في ذلك الوزن)، الزخم

اختبار سريع: إذا كان من المعقول طرح سؤال "في أي اتجاه؟"، فإن الكمية متجهة. لا يمكنك طرح سؤال "في أي اتجاه تكون درجة الحرارة؟"، لذا فهي كمية قياسية. يمكنك طرح سؤال "في أي اتجاه تكون السرعة؟"، لذا فهي كمية متجهة.

جمع وطرح المتجهات

يُرسم المتجه بسهم: يعطي اتجاه السهم اتجاه الكمية، ويعطي طول السهم (المُرسوم بمقياس الرسم) المقدار.

لجمع متجهين مستويين (متجهات في نفس المستوى المستوي)، ارسمهما رأساً لذيل. يذهب المتجه المحصل من ذيل السهم الأول إلى رأس السهم الثاني.

لإيجاد $\vec{X} - \vec{Y}$، أضف معكوس $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. معكوس $\vec{Y}$ له نفس مقدار $\vec{Y}$ لكن يشير في الاتجاه المعاكس.

إذا كان المتجهان بزاوية قائمة (90°)، فإن مقدار المحصلة هو

وأتجاه يأتي من $\tan\theta = Y / X$.

مثال محلول. سباح يتجه شمالاً بسرعة $1.2\ \text{m s}^{-1}$ عبر نهر يتدفق شرقاً بسرعة $0.5\ \text{m s}^{-1}$. أوجد مقدار واتجاه السرعة المحصلة.

السرعتان متعامدتان، لذا

بزاوية $\tan\theta = 0.5/1.2$، مما يعطي $\theta \approx 23°$ شرق الشمال.

إذا كان للمتجهين نفس المقدار $F$ وزاوية $2\alpha$ بينهما، فإن المحصلة لها مقدار $2F\cos\alpha$ وتقع على الخط الذي ينصف الزاوية.

مثال محلول. قوتان مقدارهما $6.0\ \text{N}$ تؤثران على جسم بزاوية $60°$ بينهما. أوجد المحصلة.

هنا $2\alpha = 60°$، لذا $\alpha = 30°$ و$R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$، على الخط الواقع في المنتصف بين القوتين. التحليل يعطي نفس الإجابة: لكل قوة مركبة $6.0\cos 30°$ على طول هذا الخط، وتتلاشى مركباتهما العمودية عليه.

بالنسبة لمتجهين بأي زاوية أخرى، إما أن تقوم برسم مقياس رسم لمثلث المتجهات وقياس المحصلة، أو تحلل كلا المتجهين إلى مركبات عمودية، تجمع المركبات، ثم تعيد دمجها باستخدام $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

مثال محلول. كرة تتحرك شرقاً بسرعة $5.0\ \text{m s}^{-1}$ تُضرب فتتحرك شمالاً بسرعة $5.0\ \text{m s}^{-1}$. أوجد التغير في سرعتها.

التغير في السرعة هو طرح متجهي: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. ارسم $5.0\ \text{m s}^{-1}$ شمالاً، ثم أضف معكوس السرعة الابتدائية، $5.0\ \text{m s}^{-1}$ غرباً. المتجهان متعامدان، لذا $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$، تشير شمال غرب. لم تتغير السرعة القياسية، لكن تغيرت السرعة المتجهة. ولهذا يجب أن تكون قد أثرت قوة على الكرة (الموضوع 3).

تقسيم المتجه إلى أجزاء عمودية

يمكن تقسيم أي متجه إلى مركبتين عموديتين (بزاوية قائمة). عادة ما تكون هذه أفقياً وعمودياً، أو موازياً ومتعامداً مع سطح ما. بالنسبة لمتجه $\vec{v}$ بزاوية $\theta$ مع الأفقي:

اختر الاتجاهات التي تجعل المشكلة أسهل. على منحدر (مستوى مائل)، قسم الوزن إلى جزء موازٍ للمنحدر وجزء عمودي عليه:

حيث $\theta$ هو زاوية الميل بالنسبة للأفقي.

تقوم بتجزئة المتجه إلى مركبات كلما احتجت لمعرفة مقدار تأثيره في اتجاه معين. على سبيل المثال: الجزء من القوة الذي يعمل على طول ميل، أو الأجزاء الأفقية والعمودية لسرعة كرة بعد رميها.

تُصنّف أسئلة التعريف بناءً على صياغة ثابتة. احفظ هذه التعريفات بدقة، وقدم إجابة واحدة فقط.

• اذكر وحدة لكل إجابة، وتحقق من التجانس — يجب أن يكون لكلا طرفي المعادلة نفس الوحدات الأساسية.
• فرق بين الخطأ العشوائي (يُقل بالتكرار والمتوسط) والخطأ المنهجي (خطأ الصفر أو المعايرة الذي لا يزيله التكرار).
• اجمع عدم اليقين: اجمع عدم اليقين المطلق عند الجمع والطرح، اجمع عدم اليقين النسبي عند الضرب والقسمة (اضرب النسبة المئوية في أي أس).
• فرق بين الدقة (تشتت صغير) والصحة (القرب من القيمة الحقيقية).
• حلل المتجه إلى مركبات عمودية ($F\cos\theta$، $F\sin\theta$)؛ اجمع المتجهات رأسًا لذيل أو بالمركبات.

أخطاء شائعة

• استبدال 5 سم بـ 5، أو 20 جم بـ 20. حوّل البادئة أولاً: 0.05 م، 0.020 كجم.
• إعطاء عدم اليقين النسبي في $T^{2}$ كما هو في $T$. التربيع يضاعفه؛ والجذر التربيعي ينصفه.
• التعامل مع عدم اليقين النسبي وعدم اليقين المطلق كأنهما نفس الرقم.
• ذكر "أصغر تقسيم" كعدم يقين لقراءة كانت صعبة الأخذ.
• تقديم إجابتين لتعريف. التزم بإحدى الإجابتين.