الكهرباء

يُعد التيار الكهربائي تدفقاً لـ حاملات الشحنة. في المعادن، تكون حاملات الشحنة هي الإلكترونات السالبة الموصلة؛ وفي المحلول الإلكتروليتي، تكون أيونات موجبة وسالبة؛ وفي نصف الموصل، قد تكون إلكترونات أو "فجوات". يُعَد اتجاه التيار المتعارف عليه هو الاتجاه الذي سي-flow فيه الشحنة الموجبة — وهو معاكس للتدفق الحقيقي للإلكترونات في السلك.

الشحنة

الشحنة مكمّمة: أصغر وحدة حرة للشحنة هي الشحنة الأولية

كل شحنة حرة في هذا المنهج هي مضاعف عدد صحيح من $e$. وحدة الشحنة هي الكولوم، $\text{C}$.

لذلك يمكن للجسيم أن يحمل $4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ (بقيمة ثلاثة إلكترونات) أو $-2.4 \times 10^{-18}\ \text{C}$ (خمسة عشر)، لكن لا يمكن أبداً $1.1 \times 10^{-19}\ \text{C}$ أو $6.4 \times 10^{-20}\ \text{C}$؛ مجموعة قياسات تعطي حامل شحنة $2.5 \times 10^{-19}\ \text{C}$ لا يمكن أن تكون صحيحة، لأن ذلك ليس مضاعفاً لـ $e$. بالنسبة لتعريفات العلامة الواحدة: التيار الكهربائي هو تدفق لحاملي الشحنة؛ الكولوم هو الشحنة التي تمر عبر نقطة في ثانية واحدة عندما يكون التيار أمبير واحد (أمبير مضروباً في ثانية)؛ حامل الشحنة يمكن أن يكون إلكتروناً أو بروتوناً أو أيوناً أو جسيم $\alpha$، لكن لا يمكن أن يكون نيوترونًا.

التيار كمعدل تدفق الشحنة

إذا مرت شحنة $Q$ عبر نقطة خلال زمن $t$، فإن التيار هو

وحدة التيار: الأمبير، $\text{A}$ ($= \text{C s}^{-1}$). بالنسبة للتيار المتغير، الشحنة التي تدفقت خلال زمن ما هي المساحة تحت بياني $I$–$t$.

مثال محلول. يتدفق تيار قدره $0.50\ \text{A}$ لمدة $2.0$ دقائق. أوجد الشحنة التي تمر، وكم عدد الإلكترونات التي تمثلها هذه الشحنة. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

نفس الخطين يجيبان على "كم عدد electrons تمر في $10$ ساعات عند $4.0\ \text{mA}$" (حول time إلى seconds: $N = It/e = 4.0 \times 10^{-3} \times 36\,000 / (1.60 \times 10^{-19}) = 9.0 \times 10^{20}$) و، بالعكس، "متوسط current عندما $6.0 \times 10^{23}$ electrons تمر في $24$ ساعات" ($I = Ne/t = 1.1\ \text{A}$). شعاع من $\alpha$-جسيمات يحمل current أيضًا: كل منها يحمل charge $2e$، لذا فإن beam current مقدارها $6.9 \times 10^{-9}\ \text{A}$ تعادل $6.9 \times 10^{-9} / (2 \times 1.60 \times 10^{-19}) = 2.2 \times 10^{10}$ جسيمات per second. ضربة lightning تنقل $1 \times 10^{20}$ electrons خلال $30\ \mu\text{s}$ هي current مقدارها $Ne/t = 5.3 \times 10^{5}\ \text{A}$.

معادلة سرعة الانجراف

لموصل متجانس مساحته المقطع $A$، يحتوي على $n$ حامل شحنة لكل وحدة حجم (الكثافة العددية)، كل منها يحمل شحنة $q$، ويتحرك بسرعة انجراف متوسطة $v$:

مثال محلول. سلك نحاسي مساحة مقطعه $1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^{2}$ يمر فيه current مقدارها $5.0\ \text{A}$. النحاس يحتوي على $n = 8.5 \times 10^{28}$ إلكترونات حرة per $\text{m}^{3}$. أوجد drift velocity. ($e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

إعادة ترتيب $I = Anvq$ يعطي $v = \dfrac{I}{Anq}$:

تنجراف الإلكترونات ببطء شديد — أقل من ملمتر في الثانية.

خطوتان "أثبت أن" تسبقان هذا الحساب غالباً. الكثافة العددية لمعدن لديه إلكترون حر واحد لكل ذرة هي $n = \dfrac{\text{density} \times N_{\text{A}}}{\text{molar mass}}$: للنحاس، $8.9 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} / 0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\ \text{m}^{-3}$. والزمن اللازم لإلكترون للانجرار عبر طول السلك هو $t = L / v$: عند سرعة $3.7 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$، يستغرق سلك طوله $2.0\ \text{m}$ وقتاً قدره $5\,400\ \text{s}$، أي ساعة ونصف، على الرغم من أن التيار يُنشأ شبه فورياً. بينهما، تُستخدم المعادلة $I = Anvq$ كنسبة أكثر بكثير من استخدامها كحساب رقمي:

• سلكان على التوالي يحملان نفس التيار؛ إذا كان للسلك Y ضعف قطر X (أربع مرات المساحة) ونفس المعدن، فإن إلكتروناته تنجراف بسرعة ربع السرعة. سلكان بنفس الطول والقطر ولكن معدنين مختلفين لهما سرعات انجراف في النسبة العكسية لكثافتهما العددية.
• سلك يضيق (مثل الوتد، قضيب مخروطي، كابل من خيوط سميكة ورقيقة) يحمل نفس التيار عند كل مقطع عرضي، لذلك تزداد سرعة الانجراف حيث تقل المساحة: $v \propto 1/A \propto 1/r^{2}$. رسم تخطيطي لـ $v$ مقابل المسافة على طول سلك مخروطي هو منحنى يرتفع بشكل متزايد نحو الطرف الضيق، وليس خطاً مستقيماً.
• فرق الجهد عبر سلك متجانس يتناسب مع طوله عند ثابت التيار، لأن $V = IR = I\rho L / A$ مع $I$، $\rho$ و$A$ ثابتة.

استخدم هذا للمقارنة بين التيارات:

• سلك أدق (مساحة $A$ أصغر) عند نفس $I$ يحتاج إلى سرعة انجراف $v$ أسرع.
• نصف الموصل يحتوي على حاملات حرة أقل بكثير من المعدن (مساحة $n$ أصغر)، لذا فإن نفس $I$ يؤدي إلى سرعة انجراف أكبر بكثير.
• في المكونات على التوالي، $I$ هو نفسه في كل مكان، لذا إذا بقي $A$ ثابتاً ولكن تغير المادة، فإن $nv$ تتغير بطريقة عكسية.

فرق الجهد (p.d.) عبر مكون هو الطاقة المنتقلة لكل وحدة شحنة بينما تمر تلك الشحنة خلاله:

الوحدة: الفولت، $\text{V}$ ($= \text{J C}^{-1}$).

إذا تحول $1\ \text{J}$ من الطاقة الكهربائية إلى أشكال أخرى (حرارية، ضوئية، حركية، ...) عندما تمر $1\ \text{C}$ من الشحنة عبر مكون، فإن فرق الجهد عبره هو $1\ \text{V}$.

القوة الدافعة الكهربية (e.m.f.) للمصدر هي الطاقة المقدمة لكل وحدة شحنة بواسطة المصدر. الصيغة نفسها كما في حالة فرق الجهد؛ الفرق هو الاتجاه: القوة الدافعة الكهربية هي طاقة تُعطى للشحنة بواسطة التغير؛ وفرق الجهد هو طاقة تُستهلك من قبل الشحنة لتُعطى للمكون.

التعريفات التي يقبلها الممتحن: فرق الجهد عبر عنصر هو الطاقة المنقولة (من الكهربائية إلى أشكال أخرى) لكل وحدة شحنة تمر خلاله؛ القوة الدافعة الكهربائية للمصدر هي الطاقة المنقولة من أشكال أخرى (كيميائية، في الخلية) إلى الطاقة الكهربائية لكل وحدة شحنة عند دفع الشحنة حول دائرة كاملة؛ الفولت الواحد يساوي جولاً واحداً لكل كولوم. لذلك فإن بطارية "مُصنَّعة $9.0\ \text{V}$" توفر لكل كولوم $9.0\ \text{J}$ من الطاقة الكهربائية للدائرة بأكملها، وحاصل ضرب الشحنة وفرق الجهد هو الطاقة المنقولة.

دمج $V = W/Q$ و$I = Q/t$:

باستخدام قانون أوم $V = IR$:

اختر الصيغة التي تحتوي على الكميات المعروفة لديك. أمثلة:

• تسخينان لهما نفس المقاومة — الأول الذي يمر به تيار أكبر يعطي قدرة أعلى ($P = I^{2}R$).
• مقاومتان في التوازي عبر نفس الجهد — الأولى التي تمتلك مقاومة أصغر $R$ تعطي قدرة أكثر ($P = V^{2}/R$).
• غلاية مُصنَّعة "$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$" تسحب تياراً قدره $I = P/V = 10\ \text{A}$ وتملك مقاومة $R = V^{2}/P = 24\ \Omega$.

الطاقة المنقولة خلال زمن $t$ تساوي $E = P t$.

مثال محلول. مصباحان، P مُصنَّف $250\ \text{V}$، $50\ \text{W}$ و Q مُصنَّف $250\ \text{V}$، $200\ \text{W}$، موصلان على التوالي مع مصدر جهد $250\ \text{V}$. أيهما يضيء أكثر؟

مقاومتهما عند فرق الجهد المُصنَّف هي $R = V^{2}/P$: $1250\ \Omega$ لـ P و $313\ \Omega$ لـ Q. عند التوصيل على التوالي، يمر بهما نفس التيار، لذا فإن $P = I^{2}R$ يجعل المقاومة الأكبر، وهي المصباح P، تبذيل قدرة أكثر: المصباح "الأضعف" هو الأكثر إشراقاً. في التوازي، يكون فرق الجهد متساوياً عبر الاثنين، و$P = V^{2}/R$ يفضل المقاومة الأصغر: Q. الإجابة عن سؤال "اذكر واشرح أي مقاومة تبذل قدرة أكثر" تكون بتسمية الكمية المشتركة بينهما (تيار في التوالي، فرق جهد في التوازي) والصيغة من معادلة القدرة التي تستخدمها.

مثال محلول. مصدر طاقة يوفر $2.4\ \text{kW}$ بجهد $240\ \text{V}$ لغلاية عبر كابلين各有 resistance $0.10\ \Omega$. احسب القدرة المفقودة في الكابلات.

التيار هو $I = P/V = 10\ \text{A}$، لذا تبذيل الكابلات قدرة قدرها $I^{2}R = 10^{2} \times 0.20 = 20\ \text{W}$، وتستقبل الغلاية قدرة قدرها $2380\ \text{W}$. الكفاءة لدائرة مخصصة لتشغيل عنصر ما هي قدرة ذلك العنصر مقسومة على القدرة الكلية من المصدر: مع $6.0\ \text{V}$ عبر مقاومة متسلسلة قدرها $0.86\ \Omega$ و$4.5\ \text{V}$ عبر العنصر عند نفس التيار، تكون الكفاءة $4.5 / (6.0 + 4.5) = 43\%$. حراري المتغير عبر فرق جهد ثابت يبذيل قدرة قدرها $P = V^{2}/R$، لذا مع ارتفاع حرارته وانخفاض $R$، ترتفع القدرة. تسحب الغلاية حوالي $10\ \text{A}$ من مصدر جهد $250\ \text{V}$؛ بينما يستهلك شاحن الهاتف المحمول جزءاً من الأمبير.

المقاومة $R$ للعنصر هي

الوحدة: أوم، $\Omega$ ($= \text{V A}^{-1}$). تعتمد المقاومة على الظروف (مثل درجة الحرارة) عند قياسها.

قانون أوم

يتبع الموصل قانون أوم عندما يكون التيار المار فيه متناسباً طردياً مع فرق الجهد عبره، طالما أن الظروف (خاصة درجة الحرارة) تبقى ثابتة. بالنسبة لمثل هذا الموصل $R$ يكون ثابتاً والرسمة البيانية للتيار–$I$–$V$ تكون خطاً مستقيماً يمر بنقطة الأصل.

قانون أوم هو نتيجة تجريبية، وليس تعريفاً. التعريف $R = V/I$ يعمل لـ أي عنصر؛ فقط العناصر الأومية لها مقاومة ثابتة $R$.

للحصول على الدرجات: المقاومة هي نسبة فرق الجهد عبر عنصر إلى التيار المار فيه؛ الأوم هو مقاومة عنصر يحدث فيه فرق جهد واحد فولت تياراً مقداره أمبير واحد (فولت لكل أمبير)؛ ينص قانون أوم على أن التيار في موصل فلزي يتناسب طردياً مع فرق الجهد عبره، بشرط بقاء حرارته (وغيره من الظروف الفيزيائية) ثابتة. من بين عدة رسومات بيانية للتيار–$I$–$V$، فقط الخط المستقيم المار بنقطة الأصل يفي بقانون أوم؛ أما الخط المستقيم الذي لا يمر بنقطة الأصل أو أي منحنى فلا يفعل.

خصائص $I$–$V$

يجب أن تكون قادراً على رسم هذه:

• سلك معدني عند درجة حرارة ثابتة — خط مستقيم يمر بنقطة الأصل (ثبات $R$). عكس فرق الجهد يدفع التيار في الاتجاه المعاكس، مما يعطي خطاً مستقيماً في كلا الاتجاهين.
• مصباح خيطي — يمر بنقطة الأصل، حاد الانحدار في البداية، ثم مسطح كلما زادت $V$ (وتزداد $I$). السبب: زيادة التيار تسخن الخيط، فتزداد مقاومته وينخفض الانحدار $1/R$.
• ثنائي أشباه الموصلات — تيار شبه معدوم لجهد سالب $V$ أو جهد موجب صغير $V$. فوق جهد "التشغيل" (حوالي $0.7\ \text{V}$ للسيليكون)، يرتفع التيار بشدة.

اشرح شكل خط مصباح الخيط (ثلاث درجات): مع زيادة التيار ترتفع درجة حرارة الخيط؛ تهتز أيونات الشبكة بلطف أكبر، فتتصادم الإلكترونات الحرة معها بشكل متكرر؛ كل تصادم يسحب طاقة من الإلكترونات، مما يزيد المقاومة؛ على الرسم البياني يزداد $V/I$ وينخفض الميل. عكس العملية لـ "انخفاض التيار": تنخفض درجة الحرارة، فتنخفض المقاومة. نقطتان يجب استخراجهما من أي منحنى خصائص. مقاومة نقطة ما هي $V/I$ لتلك النقطة، وليست ميل المنحنى، لذا تكون مقاومة ثنائي الصمام كبيرة جداً (لا نهائية عملياً) حتى جهد التشغيل ثم تنخفض بشدة مع ارتفاع $V$ أكثر، ومن بين أربعة مكونات عند نفس الجهد، المكون صاحب أقل تيار هو الأعلى مقاومة. وعندما يكون مصباح (أو ثنائي صمام) في توالي مع مقاومة، يتدفق نفس التيار في الاثنين ويجمع جهدهما: اقرأ التيار من منحنى المكون عند جهده الخاص، ثم استخدم $V = IR$ للمقاومة، وجهد المصدر هو المجموع.

المقاومية النوعية

لموصل منتظم طوله $L$ ومساحة مقطعه $A$،

$\rho$ هي المقاومية النوعية، وهي خاصية للمادة، ووحدة قياسها $\Omega\ \text{m}$. مضاعفة الطول تضاعف $R$؛ مضاعفة المساحة تُنصفها؛ نصف القطر يُربع المساحة ويجعل $R$ أربعة أضعاف ما كانت عليه.

مثال محلول. سلك نحاسي طوله $2.0\ \text{m}$ ومساحته $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ له مقاومة نوعية $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. أوجد مقاومته.

قيم نموذجية: النحاس عند درجة حرارة الغرفة $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$؛ العازل $\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ أو أكثر.

تزداد مقاومية المعدن مع درجة الحرارة (اهتزاز الشبكة يتشتت الإلكترونات)، ولهذا السبب ينحرف خط $I$–$V$ لمصباح الخيط.

معظم أسئلة المقاومية تتعلق بالنسب. عند تمديد سلك يحافظ حجمه ($A \times L$) على الثبات، فإذا أصبح الطول $k$ مرة أطول تصبح المساحة $k$ مرة أصغر وتصبح $R = \rho L / A$ $k^{2}$ مرة أكبر: سلك أطول ثلاث مرات (نفس الكتلة ونفس المعدن) له تسعة أضعاف المقاومة، وسلك يقل قطره إلى $0.940$ من قيمته تتضاعف مساحته بـ $0.884$، وقسم طوله بـ $0.884$، وضرب مقاومته بـ $1/0.884^{2} = 1.28$.

مثال محلول. قضيب برق نحاسي مقاومته $9.6\ \Omega$ وطوله $20\ \text{m}$، له مقاومة نوعية $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$. أوجد نصف قطره.

$A = \rho L / R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20 / 9.6 = 3.5 \times 10^{-8}\ \text{m}^{2}$، و$r = \sqrt{A / \pi} = 1.1 \times 10^{-4}\ \text{m}$. مضاعفة نصف القطر (نفس الطول) تُربع المقاومة. النسب القياسية الأخرى: الخيوط المتوازية — سبعة خيوط متطابقة تشارك التيار، لذا مقاومة الكابل هي سابع مقاومة خيط واحد؛ سلكان لهما نفس المقاومة حيث يحتوي أحد المعادن على مقاومية نوعية ضعف الآخر يحتاج السلك الثاني إلى ضعف المساحة (قطر $\sqrt{2}$ مرة أكبر) لنفس الطول؛ مقاومة السلك لكل وحدة طول، $0.92\ \Omega\ \text{m}^{-1}$، مضروبة في مساحته، $5.3 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$، تساوي مقاوميته النوعية، $4.9 \times 10^{-7}\ \Omega\ \text{m}$؛ أسطوانة من عجينة موصلة طولها $60\ \text{mm}$ وقطرها $20\ \text{mm}$، أو مكعب ضلعه $a$ ($R = \rho a / a^{2} = \rho / a$)، تستخدم نفس $R = \rho L / A$ مع الطول ومقطع النهاية الخاص بالشكل. عندما يتم شد السلك تحت التوتر، لا يزال $R_{0} = \rho L / A$ يعطي مقاومته، والتمدد الذي يطوله ويُنقص سمكه يزيد $R$ لسببين. وبما أن $\rho = RA/L = R\pi d^{2}/(4L)$، فإن نسبة عدم اليقين المئوية في المقاومية المقاسة هي مجموع نسب عدم اليقين المئوية في $R$ و$L$ زائد ضعف تلك الموجودة في $d$.

مقاومة تعتمد على الضوء (LDR) هي شبه موصل تنخفض مقاومته مع زيادة شدة الإضاءة. في الضوء الساطع قد تكون $R$ بضع مئات من $\Omega$؛ وفي الظلام يمكن أن تصل إلى الميجا أوم. تُستخدم مقاومات LDR في دوائر استشعار الضوء (أضواء الشوارع، مقياس إضاءة الكاميرا). هنا شدة الإضاءة تتحكم في المقاومة.

في هذا المنهج الدراسي للثرمستور له معامل درجة حرارة سالب: تنخفض مقاومته مع ارتفاع درجة حرارته. هذا مفيد لاستشعار درجة الحرارة — ضعه في مقسم جهد وتتغير جهد الخرج مع درجة الحرارة.

هذا عكس ما يحدث في المعادن: في أشباه الموصلات، تؤدي الطاقة الحرارية الأعلى إلى تحرير عدد أكبر من حاملات الشحنة، وهو تأثير يتفوق على زيادة التشتت.

يبدأ رسم توضيحي لمقاومة الثرمستور مقابل درجة الحرارة $R_{0}$ عند $0\ °\text{C}$ وينزل عبر منحنى يميل للاستقامة: الهبوط ليس خطياً، وهذا هو العيب في استخدام الثرمستور كمقياس حرارة (مقياسه غير منتظم، لذا يحتاج إلى معايرة). عندما يزداد الضوء الساقط على مستشعر ضوئي (LDR) أو يُسخن ثرمستور، تنخفض مقاومته، ويزداد التيار في الدائرة، وتقل فرق الجهد بين طرفيه (في حالة توصيل متوالي مع مقاومة ثابتة) بينما يزداد فرق الجهد عبر المقاومة الثابتة؛ تظل مقاومة المقاومة الثابتة وسلك معدني عند درجة حرارة ثابتة دون تغيير، بينما تزداد مقاومة مصباح خيطي مع تزايد التيار.

تُصنّف أسئلة التعريف بناءً على صياغة ثابتة. احفظ هذه التعريفات بدقة، وقدم إجابة واحدة فقط.

• استخدم $I = Q/t$، $V = W/Q$ (الطاقة لكل وحدة شحنة) و$P = VI = I^2 R = V^2/R$.
• قانون أوم ($V = IR$) ينطبق فقط على موصل أومي عند درجة حرارة ثابتة — مصباح الخيط غير أومي.
• ارسم وفسر خصائص $I$-$V$ للمقاومة ومصباح الخيط والدايود.
• تنخفض مقاومة المستشعر الضوئي (LDR) مع الضوء؛ وتنخفض مقاومة الثرمستور مع ارتفاع درجة الحرارة.

أخطاء شائعة

• حساب المقاومة من ميل منحنى رسم بياني لـ $I$–$V$. تكون المقاومة $V/I$ عند النقطة؛ ولا تساوي إلا المقلوب الدقيق للميل إذا كان الخط مستقيماً ويمر بنقطة الأصل.
• ترك الزمن بدقائق أو ساعات في $Q = It$. حولها إلى ثوانٍ أولاً.
• قول إن مقاومة مصباح الخيط ترتفع "بسبب الجهد". التسلسل الصحيح هو: التيار، ثم درجة الحرارة، اهتزاز الأيونات، تصادمات أكثر، مقاومة أعلى.
• نسيان أن السلك الممدد يتغير بطريقتين. عند ثبات الحجم، يقل المقطع مع طول السلك، لذا $R \propto L^{2}$.
• استخدام القطر بدلاً من نصف القطر في $A = \pi r^{2}$، أو عدم تحويل $\text{mm}^{2}$.
• مقارنة Powers بصيغة خاطئة. العناصر المتصلة على التوالي تشترك في التيار، لذا استخدم $I^{2}R$؛ والعناصر المتصلة على التوازي تشترك في فرق الجهد، لذا استخدم $V^{2}/R$.