坐标几何

图上的一个点由它的坐标(coordinates)描述,有时称为笛卡尔坐标,写成 $(x, y)$。第一个数是横向的值而第二个是纵向的值。

• 这两条数轴是坐标轴(axes):水平(horizontal)$x$ 轴和竖直(vertical)$y$ 轴。
• 它们在原点(origin)相交,点 $(0, 0)$。
• 坐标轴把网格分成四个象限(quadrants)。

所以点 $(3, -2)$ 通过向右 $3$ 和向下 $2$ 找到。

大多数直线能被写成

其中 $m$ 是斜率(gradient)(陡度)而 $c$ 是截距(intercept)——线穿过 $y$ 轴处的 $y$ 值。

• 一条像 $x = k$(例如 $x = 3$)的线是竖直的。
• 一条像 $y = k$(例如 $y = 3$)的线是水平的。

一条线也可能作为 $ax + by = c$ 给出。把它重新排列成 $y = mx + c$ 以读出斜率和截距。

Worked example. 求 $5x + 4y = 8$ 的斜率和 $y$ 截距。

所以斜率是 $-\tfrac{5}{4}$ 而 $y$ 截距是 $2$。

斜率(gradient)衡量一条线有多陡:

一个正斜率向右上升;一个负斜率向右下降。

Worked example. 求过 $(1, 2)$ 和 $(4, 11)$ 的线的斜率。

要画 $y = mx + c$,最快的方式是:

1. 在 $y$ 轴上标记截距 $c$。
2. 用斜率步进到更多的点(对于 $m = 3$,向右 $1$ 和向上 $3$)。
3. 用一条直线连接这些点。

你也能做一个小的数值表(table of values):选择两个或三个 $x$ 值、算出 $y$,并描出这些点。

若你知道斜率 $m$ 和线上的一个点,把这个点放进 $y = mx + c$ 以求 $c$。

Worked example. 一条线有斜率 $3$ 并通过 $(1, 2)$。求它的方程。

所以方程是 $y = 3x - 1$。(若你被给出两个点,先求斜率,然后做这个。)

一条线段(line segment)是两个点之间的直的部分。

要求 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间线段的长度(length),对水平和竖直的间隙用勾股定理(Pythagoras' theorem):

要求中点(midpoint)(恰好在中间的点),对坐标取平均:

Worked example. 求从 $(1, 2)$ 到 $(4, 6)$ 的线段的长度和中点。

平行(parallel)线从不相遇,所以它们有相同的斜率。

Worked example. 求平行于 $y = 4x - 1$ 并通过 $(1, -3)$ 的线的方程。

斜率也是 $4$。把点放进去:

所以线是 $y = 4x - 7$。

两条线垂直(perpendicular)若它们以一个直角(right angle)相遇。它们的斜率相乘得 $-1$:

用文字说:翻转分数并改变符号。

Worked example. 求垂直于 $2y = 3x + 1$ 的一条线的斜率。

重新排列:$y = \tfrac{3}{2}x + \tfrac{1}{2}$,所以斜率是 $\tfrac{3}{2}$。垂直斜率是 $-\tfrac{2}{3}$。

Perpendicular bisector

一条线段的垂直平分线(perpendicular bisector)以一个直角把它切成两半。要求它的方程:得到中点,然后用过那个中点的垂直斜率。

Worked example. 求连接 $(-3, 8)$ 和 $(9, -2)$ 的线段的垂直平分线。

• 中点:$\left( \frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2} \right) = (3, 3)$。
• 线段的斜率:$\frac{-2 - 8}{9 - (-3)} = \frac{-10}{12} = -\tfrac{5}{6}$。
• 垂直斜率:$\frac{6}{5}$。

过 $(3, 3)$:$\; 3 = \tfrac{6}{5}(3) + c \Rightarrow c = 3 - \tfrac{18}{5} = -\tfrac{3}{5}$。所以平分线是

• 直线是 $y = mx + c$:$m$ 是斜率而 $c$ 是线穿过 $y$ 轴的地方。
• 斜率 = ($y$ 的变化) ÷ ($x$ 的变化)。把这两个坐标在上部和底部保持相同的顺序。
• 平行线有相同的斜率;垂直线有相乘得 $-1$ 的斜率(负倒数)。
• 中点是坐标的平均;两个点之间的距离来自对差的勾股定理。