微分在实际情境中的应用

一旦你能计算导数,你就用它们来描述现实世界。导数 $f'(x)$ 就是 $f$ 相对于它的输入的瞬时变化率。正确地读和报告这个率是一个评分的技能。

单位重要。 $f'(x)$ 的单位是 $f$ 的单位除以 $x$ 的单位。若 $C(t)$ 是英亩数而 $t$ 以周计,那么 $C'(t)$ 以英亩每周计。在考试上,"用正确的单位,解释 $g'(140)$ 的意义"想要一个完整的句子:值、量、率词"每",和时刻。例如:"$g'(140)=2.3$ 意味着在 $x=140$ 处,量以约 $2.3$ 单位每单位 $x$ 增加。"

对于在一条线上移动的一个质点,三个时间的函数由求导联系:

• 位置(position)$s(t)$;
• 速度(velocity)$v(t)=s'(t)$ ——有符号;它的符号给出方向;
• 加速度(acceleration)$a(t)=v'(t)=s''(t)$。

关键的读取(频繁的考试部分):

• 质点在 $v(t)=0$ 时静止(at rest)。
• 它在 $v(t)>0$ 时向右/上移动而在 $v(t)<0$ 时向左/下移动;它在 $v$ 改变符号的地方改变方向。
• 速率(speed)是 $|v(t)|$。速率增加当 $v$ 和 $a$ 有相同符号(质点在加速)时,而减少当它们有相反符号时。

Worked example. 一个质点以 $s(t)=t^3-6t^2+9t$ 移动。那么 $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$,所以它在 $t=1$ 和 $t=3$ 静止,并在每个处改变方向。在 $t=2$,$v(2)=3(1)(-1)=-3<0$(向左移动)而 $a(2)=6(2)-12=0$;刚过后,$a>0$ 而 $v<0$,所以它在那里减速。仔细区分速度(有方向)和速率(没有)——考试考查这个确切的差别。

相同的导数思想为任何变化的量建模:一个排水的水箱、一个扩散的种群、一杯冷却的水。每当一个问题说"……的速率"时,它就在描述一个导数。读单位以知道你有哪个量的率,然后在上下文里解释。

在一个相关变化率(related rates)问题里,几个量随时间一起变化,而你知道一些率但想要另一个。引擎是链式法则:对时间 $t$ 求导一个关系。每个变量变成 $t$ 的一个函数,所以每个导数拿到一个"$\,/\,dt$"因子。乘积和商法则也可能被需要。

一个可靠的程序——以及考试上一个满分的模板:

1. 命名变量并写下给定的率和未知的率(例如"$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day,求 $\dfrac{dV}{dt}$")。
2. 写一个方程关联这些量(常常是一个几何或体积公式)。
3. 对 $t$ 求导两侧(链式法则)——在代入数字之前。
4. 在感兴趣的瞬间代入已知值,并解未知的率。
5. 用单位和正确的符号陈述答案(一个减少的量有一个负的率)。

Worked example. 空气被泵入一个球形气球,所以它的体积以 $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$ 增长。当 $r=5\ \text{cm}$ 时半径增长得多快?从 $V=\tfrac43\pi r^3$ 开始并先对 $t$ 求导:

在一个切点附近,一条光滑曲线看起来像它的切线——这是局部线性(local linearity)。所以切线给出函数在那个点附近的一个线性近似(linear approximation)(线性化):

Worked example. 估计 $\sqrt{4.1}$。取 $f(x)=\sqrt{x}$ 和 $a=4$:$f(4)=2$ 而 $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$,所以 $f'(4)=\dfrac14$。那么 $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$(真值是 $2.0248\ldots$)。因为 $\sqrt{x}$ 是凹(concave down)的,切线位于曲线上方,所以这是一个轻微的高估(overestimate)——用 $f''$ 的符号论证高估/低估。

当极限之商的直接代入给出未定式(indeterminate form)$\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 时,你可以用洛必达法则(L'Hospital's Rule):

Worked example. 求 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。代入给出 $\tfrac00$,所以求导顶部和底部:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ ——确认第 1 单元的那个著名极限。

• 在运动问题里:速度是位置的导数、加速度是速度的导数;速率增加当速度和加速度共享一个符号时。
• 对于相关变化率,对时间求导关联方程,然后最后代入给定值。
• 在一个已知点附近用切线做一个线性近似;它只在附近准确。
• 读一个率的符号:正意味着量一起移动,负意味着相反。
• 总是陈述单位并在上下文里解释答案。