微分的分析性应用

中值定理(Mean Value Theorem)(MVT)把平均变化率联系到一个瞬时的:

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微,那么在 $(a,b)$ 里有至少一个点 $c$,其中

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

用文字说:区间里面的某处,瞬时率等于平均率。几何上,某条切线平行于连接端点的线。

考试技能。 像 IVT 一样,MVT 是一个存在性定理,而问题要求你论证。满分需要:(1) 陈述 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微;(2) 计算平均率 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$;(3) 下结论"由 MVT 在 $(a,b)$ 里有一个 $c$ 满足 $f'(c)$ 等于那个值。"两个假设都必须被命名。

Worked example. 对 $[1,3]$ 上的 $f(x)=x^2$ 验证 MVT。它是一个多项式,所以处处连续和可微。平均率是 $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$。令 $f'(c)=2c=4$ 给出 $c=2$,它确实位于 $(1,3)$ 里——那个被保证的点。

极值定理(Extreme Value Theorem)(EVT)保证极值存在:一个在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数在它上面同时取得一个绝对最大值和一个绝对最小值。

一个临界点(critical point)是一个内部点,其中 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在。所有的局部(相对)极值(local (relative) extrema)出现在临界点——但不是每个临界点都是一个极值。所以临界点是候选者;你必须测试每一个。

一阶导数告诉你 $f$ 在哪里上升或下降:

• 在一个区间上 $f'(x) > 0$ $\Rightarrow$ $f$ 在那里递增(increasing);
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ 递减(decreasing)。

在考试上,"求 $f$ 递增的区间"意味着:找到临界点,然后测试它们之间 $f'$ 的符号,并用 $f'$ 的符号论证(一个陈述的理由,不只是一个区间)。

要把一个临界点 $x=c$ 分类为一个局部极大值、局部极小值,或都不是,检查 $f'$ 在那里如何改变符号:

• $f'$ 在 $c$ 处从 $+$ 变 $-$ $\Rightarrow$ 极大值(local maximum);
• $f'$ 在 $c$ 处从 $-$ 变 $+$ $\Rightarrow$ 极小值(local minimum);
• $f'$ 不改变符号 $\Rightarrow$ 都不是。

总是把符号变化陈述为你的论证。

Worked example. 分类 $f(x)=x^3-3x^2$ 的临界点。这里 $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$,在 $x=0$ 和 $x=2$ 为零。测试符号:$f'>0$ 对 $x<0$、$f'<0$ 在 $(0,2)$,而 $f'>0$ 对 $x>2$。所以 $f'$ 在 $x=0$ 处转 $+\to-$(一个极大值,$f(0)=0$)而在 $x=2$ 处 $-\to+$(一个极小值,$f(2)=-4$)。

在一个闭区间上,绝对(全局)极值只出现在临界点或端点。候选者测试(candidates test):

1. 列出 $[a,b]$ 里所有的临界点和两个端点。
2. 在每个候选者处求 $f$。
3. 最大的输出是绝对最大值;最小的是绝对最小值。

展示值的表——这个比较就是论证。

二阶导数描述弯曲:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是上凹(concave up)(像一个杯子那样弯曲;$f'$ 递增);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是下凹(concave down)($f'$ 递减)。

一个拐点(point of inflection)是凹凸性改变的地方,即 $f''$ 改变符号的地方(不仅仅是 $f''=0$ 的地方)。报告它的 $x$ 坐标并用 $f''$ 的符号变化论证。

分类一个 $f'(c)=0$ 的临界点 $c$ 的另一种方式:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ 上凹 $\Rightarrow$ 极小值;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ 下凹 $\Rightarrow$ 极大值;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ 测试不确定——退回到一阶导数测试。

特殊情况:若一个连续函数在一个区间上只有一个临界点而它是一个局部极值,那个点也是那里的绝对极值。

$f$、$f'$ 和 $f''$ 的关键特征彼此映照。要草绘或读图象:

• $f$ 递增 $\Leftrightarrow$ $f'$ 在坐标轴上方;$f$ 有一个极大值 $\Leftrightarrow$ $f'$ 从 $+$ 穿越到 $-$。
• $f$ 上凹 $\Leftrightarrow$ $f'$ 递增 $\Leftrightarrow$ $f''$ 在坐标轴上方;$f$ 有一个拐点 $\Leftrightarrow$ $f'$ 有一个局部极值 $\Leftrightarrow$ $f''$ 穿越零。

这是读一个图象来描述另一个的技能。一个很常见的考试设置给出 $f'$ 的图象并问关于 $f$ 的:$f$ 在哪里递增($f'>0$ 的地方)、$f$ 的极值在哪里($f'$ 穿越零、带一个符号变化的地方)、$f$ 在哪里上凹($f'$ 递增的地方)。用 $f'$ 图象的高度和斜率回答关于 $f$ 的问题。

最优化(optimization)用导数来求一个量在一个区间上的最大或最小值。它是候选者/导数测试机器应用于一个真实的目标。

一个可靠的程序:

1. 把要最优化的量写成一个变量的一个函数(用一个约束方程消去多余的)。
2. 陈述允许输入的区间。
3. 求临界点($f'=0$ 或未定义)并测试它们(一阶或二阶导数测试,或若区间是闭的用候选者测试)。
4. 回答所问的问题,带上下文里的单位和解释——最大的面积、最小的成本,等等。

Worked example. 一个农民有 $100\ \text{m}$ 的围栏用于一个靠墙的矩形围栏,所以只有三条边需要围栏。最大化面积。设两端为 $x$ 而平行于墙的边为 $y$;约束是 $2x+y=100$,所以 $y=100-2x$。面积是

这一切延伸到隐式定义的关系。一个隐式关系的一个临界点是 $\dfrac{dy}{dx}=0$(水平切线)或未定义(垂直切线)的地方。因为 $\dfrac{dy}{dx}$ 通常是一个 $x$ 和 $y$ 的关系,而二阶导数涉及 $x$、$y$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$,在求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 时代回你的一阶导数表达式,然后从它的符号推理凹凸性。

• $f'>0$ 意味着递增、$f'<0$ 递减;极值的候选者是 $f'=0$ 或未定义的地方。
• 用一阶导数符号变化或二阶导数测试($f''>0$ 极小值、$f''<0$ 极大值)分类一个临界点。
• $f''>0$ 是上凹、$f''<0$ 下凹;一个拐点是凹凸性改变($f''$ 改变符号)的地方。
• 对于一个闭区间上的绝对极值,也检查端点。
• 用引用 $f'$ 或 $f''$ 的符号论证每个结论——考试要求推理,不只是答案。