AP 微积分 AB

微积分是变化(change)和累积(accumulation)的数学。它回答两个大问题:某物现在变化得多快,以及到目前为止积累了多少?第 1 单元构建两个问题都依赖的那一个工具——极限(limit)。

从一个谜题开始。一辆车的速度表读 $60$ km/h。那在一个单一的瞬间(instant)意味着什么?速度是距离除以时间。但在一个瞬间没有时间流逝而没有距离被覆盖,所以这个分数看起来像 $\tfrac{0}{0}$ ——未定义。

• 平均变化率(average rate of change)使用一整个区间(interval):一个量的变化除以另一个的变化。当输入的变化会是零时,它除以零,因而未定义。
• 瞬时变化率(instantaneous rate of change)是我们想要的在一个点的。它是随着区间朝零长度收缩,平均率所趋近(approaches)的值。

聪明的做法不是代入零(未定义),而是观察随着区间变得越来越小,平均率趋近什么。那个趋近的值是一个极限(limit)。所以微积分让我们描述一个瞬间的变化——作为越来越短区间上平均率的一个极限。这一个思想驱动导数(derivative)(第 2 单元),以及反向运行的积分(integral)(第 6 单元)。这个单元里其他一切都仔细地定义极限并可靠地计算它们。

给定一个函数 $f$,当 $x$ 趋近 $c$ 时 $f(x)$ 的极限是一个实数 $R$,若通过取 $x$ 足够(sufficiently)接近 $c$ ——但不等于 $c$ ——能使 $f(x)$ 任意地(arbitrarily)接近 $R$。我们写

最后的词是一个极限的核心:它描述 $f$ 在 $c$ 附近的行为(behavior),不是在 $c$ 处的值。函数可能在 $c$ 处未定义,或有定义但等于别的东西——极限不在乎。

一个极限能以三种方式展示:用图象(graphically)、用数值(numerically)(一张表),和用解析式(analytically)(代数)。学会在这些表示之间移动是一项核心技能。

(注:一个极限的 epsilon-delta 定义不在 AP 考试上考查,所以本讲义不使用它。)

一个图象常常是读一个极限最快的方式。要求 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$,沿着曲线从每一侧朝 $x = c$ 运行你的手指并问:曲线正朝什么高度前进?

• 从左追踪(小于 $c$ 的输入):这给出左极限(left-hand limit),$\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$。
• 从右追踪(大于 $c$ 的输入):这给出右极限(right-hand limit),$\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$。
• 这些是单侧极限(one-sided limits)。若两者都朝相同的高度 $R$,那么双侧极限存在且 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$。

关键地,忽略点本身。图象标出极限和值之间的差别:

• 一个空心圆(open circle)标出曲线趋近但不到达的一个高度——一个"空洞"(hole)。
• 一个实心圆(closed circle)标出实际的值 $f(c)$。

所以一条曲线可能从两侧都趋近 $R = 3$(极限是 $3$),而一个实心点坐在高度 $5$($f(c) = 5$)。极限是 $3$;两者不必匹配。

一个极限不存在(常写作 DNE),当两侧不一致(一个跳跃(jump))、当函数是无界(unbounded)的(无极限地增长),或当它在 $c$ 附近永远振荡(oscillates)时。例如:

注意一个图象的比例(scale):一张缩小的图片能隐藏一个点附近重要的行为,所以当你能够时用代数确认。

当你有数据或一个公式但没有图片时,一张值的表格(table)在数值上估计一个极限。选择从两侧向 $c$ 逼近的输入并观察输出。

例如,要估计 $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$(它在 $x=2$ 处是 $\tfrac{0}{0}$):

两侧都朝 $4$ 行进,所以我们估计极限是 $4$。一张表只暗示一个值——它是一个数值估计,不是一个证明。

大多数极限用极限定理(limit theorems)解析地求出。若 $\lim_{x\to c} f(x)$ 和 $\lim_{x\to c} g(x)$ 都存在,一个组合的极限是这些极限的相同组合:

• 和 / 差: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• 积: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• 商: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$,只要底部极限不是 $0$。
• 复合函数(composite):若 $g$ 在 $\lim_{x\to c} f(x)$ 处连续,那么 $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$。

实用的规则:对于一个由多项式、根式等构建的函数,先尝试直接代入(direct substitution)——把 $x = c$ 代进去。若你得到一个实数,那就是极限。单侧极限遵循相同的定理,只从一个方向读。

直接代入有时给出未定式(indeterminate form)$\tfrac{0}{0}$。这不意味着极限失败——它意味着你必须把函数重写成一个去除麻烦的等价形式(equivalent form),然后代入。三个标准的做法:

• 因式分解并约分(factor and cancel)一个有理函数(rational function)。例:$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$。
• 乘以共轭(conjugate)以化简一个根式(radical)。例:$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$。
• 使用三角函数的替代形式(恒等式)来化简。

约去的因子是为什么原来的图象有一个空洞:这两个函数除了在 $x=c$ 处都一致,所以它们在那里共享相同的极限。

这是一个技能主题,不是新内容:为你面前的极限选择正确的工具。

1. 先尝试直接代入。 一个实数答案意味着你完成了。
2. 得到 $\tfrac{0}{0}$?重写——因式分解并约分,或用共轭,或一个三角恒等式——然后代入。
3. 一个非零数除以 $0$(像 $\tfrac{5}{0}$)?极限是无穷的或 DNE ——从每一侧检查符号(见下面的垂直渐近线)。
4. 当 $x\to\pm\infty$?比较主导(dominant)项(见无穷远处的极限)。
5. 被困在两个函数之间?夹逼定理(squeeze theorem)可能适用。

夹逼定理(squeeze theorem)(也叫三明治定理)通过把函数困在另外两个之间来求一个极限。若在 $c$ 附近 $g(x) \le f(x) \le h(x)$,而

以这种方式证明的两个著名结果,两者都贯穿微积分使用,是:

另一个技能主题:同一个极限存在于一个图象、一张表和一个代数形式里,而你应当能够在它们之间转换。一个图象显示形状和任何空洞或跳跃;一张表给出数值证据;代数给出一个精确的值和一个理由。强的答案用一种表示去确认另一种。

一个函数在 $c$ 处间断(discontinuous),当它的图象在那里"断裂"时。有三种类型:

• 可去间断(removable discontinuity)——一个单一的空洞。双侧极限存在,但点缺失或错位。
• 跳跃间断(jump discontinuity)——两个单侧极限存在但不一致,所以曲线跳跃。
• 无穷间断(infinite discontinuity)——函数在一条垂直渐近线(vertical asymptote)处爆炸到 $\pm\infty$。

连续性由一个三部分测试定义。一个函数 $f$ 在 $x=c$ 处连续(continuous),恰好当所有三个都成立时:

用文字说:点在那里、极限在那里,而两者一致。若任何一个失败,$f$ 在 $c$ 处间断。这个测试是几乎每个连续性问题的支柱,所以把它作为一个检查清单来学。

一个函数在区间上连续(continuous on an interval),若它在那个区间的每个点都连续。你很少逐点检查,因为整个族在它们的定义域上连续:

多项式、有理、幂、指数(exponential)、对数(logarithmic),和三角(trigonometric)函数在它们定义域的每个点都连续。

所以一个有理函数处处连续,除了它的分母是零的地方;$\ln x$ 对 $x>0$ 连续;等等。知道这个让你能快速而正确地声明连续性。

若极限在一个空洞处存在,间断是可去的(removable):在那一个点重新定义函数使它等于极限,而图象就被修复。形式上,把缺失的值设为 $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$。

对于一个分段函数(piecewise-defined function),在一个边界 $x=c$ 处的连续性需要两段相遇:左段的值、右段的值,和 $f(c)$ 必须都相等。这是一个常见的考试设置——你求解一个使两段匹配的参数(parameter)(一个未知常数):

极限的思想延伸到无穷极限(infinite limits)。当一个函数在 $x=c$ 附近无界地增长时,我们写 $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$。这描述在 $x=c$ 处的一条垂直渐近线:图象紧贴垂直线 $x=c$ 并朝 $\pm\infty$ 射出。

这发生在一个非零数被某个趋近 $0$ 的东西除的地方,例如在一个不约去的分母的零点处。总是分别检查每一侧——两侧能射向相反的方向(一个到 $+\infty$,一个到 $-\infty$)。

我们也能让输入增长:无穷远处的极限(limits at infinity)描述一个函数当 $x\to\pm\infty$ 时的末端行为(end behavior)。若输出朝一个有限值 $L$ 稳定,那么 $y=L$ 是一条水平渐近线(horizontal asymptote)。

对于一个有理函数,比较上部和底部的次数(degrees):

• 上部次数 < 底部次数 $\Rightarrow$ 极限是 $0$(渐近线 $y=0$);
• 上部次数 = 底部次数 $\Rightarrow$ 极限是首项系数之比(ratio of the leading coefficients);
• 上部次数 > 底部次数 $\Rightarrow$ 函数是无界的(没有水平渐近线)。

更一般地,我们比较函数的相对大小(relative magnitudes)(相对增长率):在远处,一个指数击败任何多项式,而一个多项式击败任何对数。在考试上,"当 $t\to\infty$ 时,哪个量更大/率在哪里稳定?"用一个无穷远处的极限回答。

介值定理(Intermediate Value Theorem)是一个存在性定理(existence theorem)——它保证一个值存在而不告诉你在哪里:

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,而 $d$ 是 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何数,那么在 $(a,b)$ 里有至少一个数 $c$ 满足 $f(c)=d$。

一条不断裂的曲线不能跳过它端点之间的一个高度——它必须通过每一个。

考试技能——如何用 IVT 论证。 这些问题几乎每年出现(例如,"必然有一个值 $c$ 满足 $R(c)=155$ 吗?"或"有一个时刻 $r'(t)=-6$ 吗?")。一个满分的论证有三个动作:

1. 陈述连续性。 说函数在 $[a,b]$ 上连续(常常因为它可微,或给定连续)。
2. 显示 $d$ 被困住。 计算两个端点值并显示目标 $d$ 位于它们之间,例如 $f(a) < d < f(b)$。
3. 按名称下结论。 "由介值定理,在 $(a,b)$ 里有一个 $c$ 满足 $f(c)=d$。"

跳过连续性陈述,或不显示 $d$ 在端点之间,会失分——定理要求两个条件。

Worked example. 求 $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$。直接代入给 $\tfrac{0}{0}$(不定式),所以因式分解:当 $x\ne 3$ 时 $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$。于是 $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$。图像在 $x=3$ 处有一个可去间断点(一个洞)——尽管函数在那里没有定义,极限仍存在。

• 一个极限描述 $f(x)$ 趋近什么,它不必等于 $f(a)$ ——只有当两侧一致时双侧极限才存在。
• 先尝试直接代入;对于一个 $\tfrac00$ 形式,在代入之前因式分解并约分或有理化。
• 一个函数在 $a$ 处连续,当极限存在、$f(a)$ 有定义,而它们相等时。
• 用介值定理来保证一个根:一个在 $[a,b]$ 上改变符号的连续函数取中间的每个值。
• 从末端行为(在 $\pm\infty$ 处的极限)读水平渐近线,而在分母(不是分子)是零的地方读垂直渐近线。

第 1 单元构建了极限。第 2 单元用它来定义导数(derivative)——一个点处的精确变化率。

在一个区间上,平均变化率是一个差商(difference quotient)。两个等价的形式出现:

$x=a$ 处的瞬时(instantaneous)变化率是随着区间收缩到零,差商所趋近的。这个极限就是 $a$ 处的导数,写作 $f'(a)$:

让点 $a$ 变化,导数就变成一个新函数:

$y=f(x)$ 导数的常见记号(notations)是:

几何意义。 一个点处的导数是那里图象的切线(tangent line)的斜率(slope)。所以 $x=a$ 处的切线通过 $\big(a, f(a)\big)$,斜率为 $f'(a)$:

你不总是有一个公式。当一个函数由一张表格(table)或一个图象给出时,用在 $a$ 周围一个小区间上的一个差商估计导数 $f'(a)$。一张在 $a$ 两侧都有值的表给出最好的估计:

考试技能(几乎每年出现)。 像"用 $M$ 在区间 $5 \le t \le 10$ 上的平均变化率近似 $M'(7.5)$"这样的问题正是要求这个差商。展示设置:

可导性比连续性更强。关键的关系:

若 $f$ 在一个点可导**(differentiable),那么 $f$ 在那里连续(continuous)。**

所以可导性蕴含连续性。反过来是假的:一个连续函数可以不可导。这发生的两种方式:

• 一个尖点(corner):左和右的差商极限不一致,如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处。
• 一条垂直切线(vertical tangent):斜率是无穷的(没有实数),如 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处。

而且,$f$ 定义域之外的一个点不能在 $f'$ 的定义域里。在考试上用逆否命题:若 $f$ 在 $a$ 处不连续,那么 $f$ 在 $a$ 处不可导。

从这里我们每次用规则代替极限定义。幂法则(power rule)处理 $x$ 的任何幂:

这些规则让你逐项求导:

• 常数: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$(一个常数不变化)。
• 常数倍(constant multiple): $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$。
• 和 / 差: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$。

与幂法则结合,它们逐项求导任何多项式(polynomial)。例:

把这四个构建块导数记住:

一个真的是一个导数的极限(LIM-3.A.1)。 有时一个极限秘密地是一个已知导数的定义。若你认出

两个函数的一个乘积不通过把导数相乘来求导。用乘积法则(product rule):

对于一个商,用商法则(quotient rule):

其余的三角导数不被分别记忆——你用恒等式(identities)重写它们并应用商(或乘积)法则。例如,$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$,所以商法则给出

高阶导数。 再次对 $f'$ 求导给出二阶导数(second derivative)$f''(x)$(或 $\tfrac{d^2y}{dx^2}$)——变化率的变化率。一个像"求 $k''(3)$"的考试部分只意味着求导两次,然后代入。你也能通过把平均变化率方法应用于 $f'$ 值来从一张表估计一个二阶导数。

Worked example. 用乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$ 求 $f(x)=x^2\sin x$ 的导数:取 $u=x^2$($u'=2x$)和 $v=\sin x$($v'=\cos x$),得 $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$。总是先读结构——一个乘积需要乘积法则,而不是对每个因子分别用幂法则。

• 导数是切线的斜率——随着 $h\to0$ 割线斜率 $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 的极限。
• 记住规则:幂、乘积、商,以及 $\sin$、$\cos$、$e^x$ 和 $\ln x$ 的导数。
• 可导性蕴含连续性,但反之不然(一个尖点或尖角连续但不可导)。
• 区分平均变化率(一个区间上的割线斜率)和瞬时率(一个点处的导数)。
• 把一个切线方程给成 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$。

第 2 单元求导单个函数。第 3 单元求导构建在其他函数里面的函数。链式法则(chain rule)求导一个复合函数(composite function)$f\big(g(x)\big)$:

在莱布尼茨记号里,以 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$,规则读作 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ ——中间的 $du$ 看起来"约去"。考试问题常常给出 $f$、$g$、$f'$、$g'$ 的一张表并要求 $h'(a)$,其中 $h(x)=f\big(g(x)\big)$;通过读值求 $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$。

Worked example. 求导 $h(x)=(2x^2+1)^5$。外函数是"(某物)$^5$",里面是 $2x^2+1$:

一些曲线被隐式地定义——由一个 $x$ 和 $y$ 的、没有解出 $y$ 的方程,例如 $x^2+y^2=25$。隐函数求导(implicit differentiation)在不先解出 $y$ 的情况下求 $\dfrac{dy}{dx}$。它就是链式法则,把 $y$ 当作 $x$ 的一个函数。

方法:对 $x$ 求导两侧;每次你求导一个 $y$ 项时,乘以 $\dfrac{dy}{dx}$(链式法则);然后代数地解 $\dfrac{dy}{dx}$。对于 $x^2+y^2=25$:

Worked example. 求圆 $x^2+y^2=25$ 在点 $(3,4)$ 处的切线。由上面,那里 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$,所以切线是

考试技能——"证明 $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$"。 这个确切的提示大多数年份出现(例如"证明 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$")。因为目标被给出,你必须干净地显示每个代数步骤:求导两侧、对混合的 $xy$ 项用乘积/链式法则、把所有 $\dfrac{dy}{dx}$ 项收集到一侧、因式分解,并相除。一个跳过代数的正确最终行赢得很少。后续部分然后要求一条切线,或切线在哪里水平($\tfrac{dy}{dx}=0$,所以分子是 $0$)或垂直(分母是 $0$)。

若 $g$ 是 $f$ 的反函数(inverse function)(所以 $f(g(x))=x$),链式法则联系它们的导数:

Worked example. 假设 $f(2)=5$ 而 $f'(2)=3$,且 $g$ 是 $f$ 的反函数。因为 $(2,5)$ 位于 $f$ 上,点 $(5,2)$ 位于 $g$ 上,而

相同的思想给出反三角函数(inverse trigonometric functions)的导数。你应当知道的三个:

一个技能主题:真实的导数混合几个规则,所以先从外向内读表达式的结构。

• 它是一个和吗?逐项求导。
• 一个积或商?应用那个规则,并预期在里面用链式法则。
• 一个复合(某物在某物里面)?链式法则。
• 隐式地给出?隐函数求导。

命名最外层的运算、应用它的规则,并向内递归。整洁防止那些花费分数的符号和记账错误。

求导 $f'$ 产生二阶导数(second derivative)$f''$;重复给出高阶导数。这些记号:

• 对复合函数用链式法则——求导外面,然后乘里面的导数(最被遗忘的因子)。
• 对于隐式求导,对 $x$ 求导两侧并在每次 $y$ 被求导时附上 $\tfrac{dy}{dx}$,然后求解。
• 通过求导两次得到二阶导数(速度 → 加速度)。
• 在分层的表达式里仔细组合规则(积里面的链式,等等)。
• 反函数的图象是在 $y=x$ 里的反射;它的斜率是原函数在匹配点斜率的倒数。

一旦你能计算导数,你就用它们来描述现实世界。导数 $f'(x)$ 就是 $f$ 相对于它的输入的瞬时变化率。正确地读和报告这个率是一个评分的技能。

单位重要。 $f'(x)$ 的单位是 $f$ 的单位除以 $x$ 的单位。若 $C(t)$ 是英亩数而 $t$ 以周计,那么 $C'(t)$ 以英亩每周计。在考试上,"用正确的单位,解释 $g'(140)$ 的意义"想要一个完整的句子:值、量、率词"每",和时刻。例如:"$g'(140)=2.3$ 意味着在 $x=140$ 处,量以约 $2.3$ 单位每单位 $x$ 增加。"

对于在一条线上移动的一个质点,三个时间的函数由求导联系:

• 位置(position)$s(t)$;
• 速度(velocity)$v(t)=s'(t)$ ——有符号;它的符号给出方向;
• 加速度(acceleration)$a(t)=v'(t)=s''(t)$。

关键的读取(频繁的考试部分):

• 质点在 $v(t)=0$ 时静止(at rest)。
• 它在 $v(t)>0$ 时向右/上移动而在 $v(t)<0$ 时向左/下移动;它在 $v$ 改变符号的地方改变方向。
• 速率(speed)是 $|v(t)|$。速率增加当 $v$ 和 $a$ 有相同符号(质点在加速)时,而减少当它们有相反符号时。

Worked example. 一个质点以 $s(t)=t^3-6t^2+9t$ 移动。那么 $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$,所以它在 $t=1$ 和 $t=3$ 静止,并在每个处改变方向。在 $t=2$,$v(2)=3(1)(-1)=-3<0$(向左移动)而 $a(2)=6(2)-12=0$;刚过后,$a>0$ 而 $v<0$,所以它在那里减速。仔细区分速度(有方向)和速率(没有)——考试考查这个确切的差别。

相同的导数思想为任何变化的量建模:一个排水的水箱、一个扩散的种群、一杯冷却的水。每当一个问题说"……的速率"时,它就在描述一个导数。读单位以知道你有哪个量的率,然后在上下文里解释。

在一个相关变化率(related rates)问题里,几个量随时间一起变化,而你知道一些率但想要另一个。引擎是链式法则:对时间 $t$ 求导一个关系。每个变量变成 $t$ 的一个函数,所以每个导数拿到一个"$\,/\,dt$"因子。乘积和商法则也可能被需要。

一个可靠的程序——以及考试上一个满分的模板:

1. 命名变量并写下给定的率和未知的率(例如"$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day,求 $\dfrac{dV}{dt}$")。
2. 写一个方程关联这些量(常常是一个几何或体积公式)。
3. 对 $t$ 求导两侧(链式法则)——在代入数字之前。
4. 在感兴趣的瞬间代入已知值,并解未知的率。
5. 用单位和正确的符号陈述答案(一个减少的量有一个负的率)。

Worked example. 空气被泵入一个球形气球,所以它的体积以 $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$ 增长。当 $r=5\ \text{cm}$ 时半径增长得多快?从 $V=\tfrac43\pi r^3$ 开始并先对 $t$ 求导:

在一个切点附近,一条光滑曲线看起来像它的切线——这是局部线性(local linearity)。所以切线给出函数在那个点附近的一个线性近似(linear approximation)(线性化):

Worked example. 估计 $\sqrt{4.1}$。取 $f(x)=\sqrt{x}$ 和 $a=4$:$f(4)=2$ 而 $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$,所以 $f'(4)=\dfrac14$。那么 $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$(真值是 $2.0248\ldots$)。因为 $\sqrt{x}$ 是凹(concave down)的,切线位于曲线上方,所以这是一个轻微的高估(overestimate)——用 $f''$ 的符号论证高估/低估。

当极限之商的直接代入给出未定式(indeterminate form)$\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 时,你可以用洛必达法则(L'Hospital's Rule):

Worked example. 求 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。代入给出 $\tfrac00$,所以求导顶部和底部:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ ——确认第 1 单元的那个著名极限。

• 在运动问题里:速度是位置的导数、加速度是速度的导数;速率增加当速度和加速度共享一个符号时。
• 对于相关变化率,对时间求导关联方程,然后最后代入给定值。
• 在一个已知点附近用切线做一个线性近似;它只在附近准确。
• 读一个率的符号:正意味着量一起移动,负意味着相反。
• 总是陈述单位并在上下文里解释答案。

中值定理(Mean Value Theorem)(MVT)把平均变化率联系到一个瞬时的:

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微,那么在 $(a,b)$ 里有至少一个点 $c$,其中

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

用文字说:区间里面的某处,瞬时率等于平均率。几何上,某条切线平行于连接端点的线。

考试技能。 像 IVT 一样,MVT 是一个存在性定理,而问题要求你论证。满分需要:(1) 陈述 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微;(2) 计算平均率 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$;(3) 下结论"由 MVT 在 $(a,b)$ 里有一个 $c$ 满足 $f'(c)$ 等于那个值。"两个假设都必须被命名。

Worked example. 对 $[1,3]$ 上的 $f(x)=x^2$ 验证 MVT。它是一个多项式,所以处处连续和可微。平均率是 $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$。令 $f'(c)=2c=4$ 给出 $c=2$,它确实位于 $(1,3)$ 里——那个被保证的点。

极值定理(Extreme Value Theorem)(EVT)保证极值存在:一个在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数在它上面同时取得一个绝对最大值和一个绝对最小值。

一个临界点(critical point)是一个内部点,其中 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在。所有的局部(相对)极值(local (relative) extrema)出现在临界点——但不是每个临界点都是一个极值。所以临界点是候选者;你必须测试每一个。

一阶导数告诉你 $f$ 在哪里上升或下降:

• 在一个区间上 $f'(x) > 0$ $\Rightarrow$ $f$ 在那里递增(increasing);
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ 递减(decreasing)。

在考试上,"求 $f$ 递增的区间"意味着:找到临界点,然后测试它们之间 $f'$ 的符号,并用 $f'$ 的符号论证(一个陈述的理由,不只是一个区间)。

要把一个临界点 $x=c$ 分类为一个局部极大值、局部极小值,或都不是,检查 $f'$ 在那里如何改变符号:

• $f'$ 在 $c$ 处从 $+$ 变 $-$ $\Rightarrow$ 极大值(local maximum);
• $f'$ 在 $c$ 处从 $-$ 变 $+$ $\Rightarrow$ 极小值(local minimum);
• $f'$ 不改变符号 $\Rightarrow$ 都不是。

总是把符号变化陈述为你的论证。

Worked example. 分类 $f(x)=x^3-3x^2$ 的临界点。这里 $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$,在 $x=0$ 和 $x=2$ 为零。测试符号:$f'>0$ 对 $x<0$、$f'<0$ 在 $(0,2)$,而 $f'>0$ 对 $x>2$。所以 $f'$ 在 $x=0$ 处转 $+\to-$(一个极大值,$f(0)=0$)而在 $x=2$ 处 $-\to+$(一个极小值,$f(2)=-4$)。

在一个闭区间上,绝对(全局)极值只出现在临界点或端点。候选者测试(candidates test):

1. 列出 $[a,b]$ 里所有的临界点和两个端点。
2. 在每个候选者处求 $f$。
3. 最大的输出是绝对最大值;最小的是绝对最小值。

展示值的表——这个比较就是论证。

二阶导数描述弯曲:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是上凹(concave up)(像一个杯子那样弯曲;$f'$ 递增);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ 是下凹(concave down)($f'$ 递减)。

一个拐点(point of inflection)是凹凸性改变的地方,即 $f''$ 改变符号的地方(不仅仅是 $f''=0$ 的地方)。报告它的 $x$ 坐标并用 $f''$ 的符号变化论证。

分类一个 $f'(c)=0$ 的临界点 $c$ 的另一种方式:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ 上凹 $\Rightarrow$ 极小值;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ 下凹 $\Rightarrow$ 极大值;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ 测试不确定——退回到一阶导数测试。

特殊情况:若一个连续函数在一个区间上只有一个临界点而它是一个局部极值,那个点也是那里的绝对极值。

$f$、$f'$ 和 $f''$ 的关键特征彼此映照。要草绘或读图象:

• $f$ 递增 $\Leftrightarrow$ $f'$ 在坐标轴上方;$f$ 有一个极大值 $\Leftrightarrow$ $f'$ 从 $+$ 穿越到 $-$。
• $f$ 上凹 $\Leftrightarrow$ $f'$ 递增 $\Leftrightarrow$ $f''$ 在坐标轴上方;$f$ 有一个拐点 $\Leftrightarrow$ $f'$ 有一个局部极值 $\Leftrightarrow$ $f''$ 穿越零。

这是读一个图象来描述另一个的技能。一个很常见的考试设置给出 $f'$ 的图象并问关于 $f$ 的:$f$ 在哪里递增($f'>0$ 的地方)、$f$ 的极值在哪里($f'$ 穿越零、带一个符号变化的地方)、$f$ 在哪里上凹($f'$ 递增的地方)。用 $f'$ 图象的高度和斜率回答关于 $f$ 的问题。

最优化(optimization)用导数来求一个量在一个区间上的最大或最小值。它是候选者/导数测试机器应用于一个真实的目标。

一个可靠的程序:

1. 把要最优化的量写成一个变量的一个函数(用一个约束方程消去多余的)。
2. 陈述允许输入的区间。
3. 求临界点($f'=0$ 或未定义)并测试它们(一阶或二阶导数测试,或若区间是闭的用候选者测试)。
4. 回答所问的问题,带上下文里的单位和解释——最大的面积、最小的成本,等等。

Worked example. 一个农民有 $100\ \text{m}$ 的围栏用于一个靠墙的矩形围栏,所以只有三条边需要围栏。最大化面积。设两端为 $x$ 而平行于墙的边为 $y$;约束是 $2x+y=100$,所以 $y=100-2x$。面积是

这一切延伸到隐式定义的关系。一个隐式关系的一个临界点是 $\dfrac{dy}{dx}=0$(水平切线)或未定义(垂直切线)的地方。因为 $\dfrac{dy}{dx}$ 通常是一个 $x$ 和 $y$ 的关系,而二阶导数涉及 $x$、$y$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$,在求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 时代回你的一阶导数表达式,然后从它的符号推理凹凸性。

• $f'>0$ 意味着递增、$f'<0$ 递减;极值的候选者是 $f'=0$ 或未定义的地方。
• 用一阶导数符号变化或二阶导数测试($f''>0$ 极小值、$f''<0$ 极大值)分类一个临界点。
• $f''>0$ 是上凹、$f''<0$ 下凹;一个拐点是凹凸性改变($f''$ 改变符号)的地方。
• 对于一个闭区间上的绝对极值,也检查端点。
• 用引用 $f'$ 或 $f''$ 的符号论证每个结论——考试要求推理,不只是答案。

求导找到率。积分反向运行这个思想:给定一个变化率(rate of change),它找到累积变化(accumulated change)。关键的图画:一个率函数的图象和 $x$ 轴之间的面积(area)给出总累积。

• 若率在一个区间上是正的,累积变化是正的;若是负的,是负的。坐标轴下方的面积算作负的。
• 简单的区域(三角形、矩形)能用几何(geometry)求出。
• 单位: 面积的单位是率的单位乘输入的单位。一个以车辆每小时计的率乘小时给出车辆。

当精确的面积很难时,用一个黎曼和(Riemann sum)近似它——把区间分成子区间并加起矩形(或梯形)的面积。四个标准的估计:

• 左黎曼和——高度来自每个子区间的左端点。
• 右黎曼和——高度来自右端点。
• 中点黎曼和——高度来自中点(midpoint)。
• 梯形法(trapezoidal sum)——对两个端点高度取平均(一个梯形)。

子区间可能是均匀的(相等宽度)或非均匀的——从表读宽度。

高估还是低估? 从函数的行为判断:对于一个递增函数,一个左和低估而一个右和高估;一个梯形和在函数上凹时高估而在下凹时低估。考试部分要求你陈述哪个以及为什么。

Worked example. 一张表给出 $f(0)=3$、$f(2)=5$、$f(4)=8$、$f(6)=9$。用三个相等子区间($\Delta x=2$)的一个右黎曼和估计 $\int_0^6 f(x)\,dx$。用每个条的右端点:

随着子区间宽度收缩到零,黎曼和趋近一个精确的值——定积分(definite integral):

一个有一个变的上限的定积分定义一个新的累积函数(accumulation function)。微积分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)(第一部分)说求导撤销这个累积:若 $f$ 连续,那么

因为 $g'(x)=f(x)$,第 5 单元的一切都用 $f$ 的图象应用于一个累积函数:

• $g$ 在 $f>0$ 的地方递增而在 $f<0$ 的地方递减;
• $g$ 在 $f$ 穿越零(带一个符号变化)的地方有一个局部极值;
• $g$ 在 $f$ 递增的地方上凹;$g$ 的拐点出现在 $f$ 有一个局部极值的地方。

要得到 $g$ 的一个值,计算有符号的面积:$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$,加坐标轴上方的面积并减坐标轴下方的面积。

这些性质简化计算并不断出现:

基本定理的第二部分用一个原函数(antiderivative)求一个定积分。若 $F'=f$,那么

Worked example. 求 $\int_1^3 (2x+1)\,dx$。一个原函数是 $F(x)=x^2+x$,所以

一个不定积分(indefinite integral)是所有原函数的族,带一个积分常数(constant of integration)写出:

$u$-换元($u$-substitution,换元积分法)反转链式法则。选择一个里面的函数 $u=g(x)$,所以 $du=g'(x)\,dx$,并把积分完全以 $u$ 重写:

Worked example. 求 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$。里面的函数是 $u=x^2$,它的导数 $2x\,dx=du$ 存在,所以

两个代数设置的做法让更多的积分符合基本形式:当一个有理函数的上部次数 $\ge$ 底部次数时的多项式长除法(polynomial long division),以及把一个二次分母变成一个积分到反正切或对数的形式的配方法(completing the square)。

一个技能主题:把积分匹配到一个方法。先尝试一个基本的原函数;寻找一个 $u$-换元(一个里面的函数,它的导数也存在);用代数(除法、配方法、拆分一个分数)把被积函数重塑成一个标准形式。先命名结构防止浪费的努力。

• 积分是反求导;用幂法则 $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 并不要忘记 $+C$。
• 基本定理联系这两者:$\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$,而 $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$。
• 用黎曼和或从一张值表的梯形法则近似一个定积分。
• 一个定积分是一个有符号的面积(坐标轴下方算负的);在符号变化处拆分以求总面积。
• 用 u-换元并记得相应地改变限(或反代)。

一个微分方程(differential equation)是把一个函数与它自己的导数关联的一个方程。它用一个情况的变化率来描述它。例如,"一个量的变化率与它的大小成比例"变成

一个微分方程的一个解(solution)是使它成立的一个函数。你能通过求导一个提出的解并代入方程来验证它:若两侧匹配,它是一个解。注意一个微分方程通常有无穷多个解——一整个族——相差一个常数。

一个斜率场(slope field)把微分方程画成一个短线段的网格:在每个点 $(x,y)$ 处线段有在那里求出的斜率 $\dfrac{dy}{dx}$。要草绘一个,把几个点代入右侧并在每个处画一个带那个斜率的小线段。这幅图片显示解曲线的形状而不求解。

考试技能。 一个常见的部分给出一个斜率场的一部分并要求你草绘通过一个给定点的特解——从那个点开始并跟随这些线段,保持与它们相切。

一个微分方程的解是函数或函数族。读一个斜率场以推理行为:在线段平坦($\tfrac{dy}{dx}=0$)的地方解暂时是水平的;在它们变陡的地方解上升或下降得更快;相等斜率的水平行暗示率只取决于 $y$(或只取决于 $x$)。

许多考试微分方程用分离变量法(separation of variables)求解。若 $\dfrac{dy}{dx}$ 分解成一个 $x$ 的函数乘一个 $y$ 的函数,把所有 $y$ 移到一侧而所有 $x$ 移到另一侧,然后积分两侧:

Worked example. 用初始条件 $y(0)=2$ 解 $\dfrac{dy}{dx}=xy$。分离并积分:

一个初始条件(initial condition)——一个已知点 $(x_0,y_0)$——从这个族中确定一条曲线。代入它以解常数 $C$;结果是特解(particular solution)。通过一个给定点恰好有一个解。注意定义域限制(domain restrictions):保持包含初始点的分支(例如,一个平方根的正确符号)。

最重要的模型是指数增长与衰减(exponential growth and decay)。方程 $\dfrac{dy}{dt}=ky$(率与大小成比例)有解:

Worked example. 一个样本以 $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$(以年计)从 $y_0=50\ \text{g}$ 衰减。解是 $y=50e^{-0.10t}$,所以 $10$ 年后 $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$。它的半衰期(half-life)解 $25=50e^{-0.10t}$,即 $e^{-0.10t}=\tfrac12$,给出 $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ ——与起始数量无关。

• 通过把所有 $y$ 移到一侧而所有 $x$ 移到另一侧、然后积分两侧(加一次 $+C$)来解一个可分离方程。
• 用初始条件求 $C$(一个特解)。
• 草绘或读一个斜率场:小线段在每个点显示 $\tfrac{dy}{dx}$,而一条解曲线跟随它们。
• 辨认指数模型 $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$(增长/衰减)。
• 一个微分方程给出斜率——你必须积分以恢复函数。

一个连续函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值(average value)是积分除以区间长度:

Worked example. $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值是

积分反转第 4 单元的运动联系。对于一个在 $[t_1,t_2]$ 上直线运动的质点:

• 位移(displacement)(位置的净变化)$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$。
• 总路程(total distance travelled)$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ ——积分速率,所以方向变化相加而不是抵消。
• 一个较后时刻的位置(position)$= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$;从加速度求速度(velocity)$= v(t_1)+\int a$。

位移-与-路程的区别(带绝对值)是一个经典的评分点。

一个定义为一个积分的函数累积一个变化率。净变化(net change)定理是日常的工具:一个率在一个区间上的定积分给出量的净变化:

两条曲线 $y=f(x)$(顶部)和 $y=g(x)$(底部)在 $[a,b]$ 上之间的面积是:

Worked example. 求 $y=x$ 和 $y=x^2$ 之间的面积。它们在 $x=0$ 和 $x=1$ 相交,而在 $(0,1)$ 上线 $y=x$ 在顶部,所以

一些区域用水平切片更容易描述——对 $y$ 积分:

若曲线相交超过两次,一个函数在区域的一部分在顶部而另一个在别处在顶部。在每个交点处拆分成一个积分之和,或积分差的绝对值: