积分的应用

一个连续函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值(average value)是积分除以区间长度:

Worked example. $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值是

积分反转第 4 单元的运动联系。对于一个在 $[t_1,t_2]$ 上直线运动的质点:

• 位移(displacement)(位置的净变化)$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$。
• 总路程(total distance travelled)$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ ——积分速率,所以方向变化相加而不是抵消。
• 一个较后时刻的位置(position)$= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$;从加速度求速度(velocity)$= v(t_1)+\int a$。

位移-与-路程的区别(带绝对值)是一个经典的评分点。

一个定义为一个积分的函数累积一个变化率。净变化(net change)定理是日常的工具:一个率在一个区间上的定积分给出量的净变化:

两条曲线 $y=f(x)$(顶部)和 $y=g(x)$(底部)在 $[a,b]$ 上之间的面积是:

Worked example. 求 $y=x$ 和 $y=x^2$ 之间的面积。它们在 $x=0$ 和 $x=1$ 相交,而在 $(0,1)$ 上线 $y=x$ 在顶部,所以

一些区域用水平切片更容易描述——对 $y$ 积分:

若曲线相交超过两次,一个函数在区域的一部分在顶部而另一个在别处在顶部。在每个交点处拆分成一个积分之和,或积分差的绝对值:

若一个立体有一个已知的、垂直于一个轴的横截面(cross section),它的体积是横截面面积的积分:

相同的方法,不同的面积公式:对于边 $s$ 的一个等边三角形(triangle),$A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$;对于直径 $s$ 的一个半圆(semicircle),$A=\tfrac{\pi}{8}s^2$。把形状的关键长度设为等于区域的切片长度 $s(x)$,然后积分 $A(x)$。

把一个区域绕一个轴旋转制造一个旋转体(solid of revolution)。若区域触及轴,每个切片是一个半径 $r$ = 函数值的圆盘(disc):

Worked example. 把 $y=\sqrt{x}$ 从 $x=0$ 到 $x=4$ 下方的区域绕 $x$ 轴旋转。每个圆盘有半径 $r=\sqrt{x}$,所以

绕任何水平或垂直线 $y=k$ 或 $x=k$,半径是从曲线到那条线的距离,例如 $r(x)=|f(x)-k|$。仔细地设置半径,然后用 $V=\pi\int r^2$。

当区域不触及轴时,每个切片是一个带一个外半径 $R$ 和内半径 $r$ 的垫圈(washer)(一个环):

• 曲线之间的面积是 $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ ——为限找到交点并保持顶部减底部。
• 对于一个旋转体,加起面积 $\pi r^2$(或 $\pi(R^2-r^2)$)的圆盘/垫圈横截面。
• $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值是 $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$。
• 累积变化是一个率的 $\int$:总 = 初始值 $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$。
• 积分意味着"加起无穷多个微小的片段"——把被积函数设置为一个薄切片。