微分方程

一个微分方程(differential equation)是把一个函数与它自己的导数关联的一个方程。它用一个情况的变化率来描述它。例如,"一个量的变化率与它的大小成比例"变成

学会把一个关于率的句子翻译成一个微分方程是这个单元的第一个技能。

一个微分方程的一个解(solution)是使它成立的一个函数。你能通过求导一个提出的解并代入方程来验证它:若两侧匹配,它是一个解。注意一个微分方程通常有无穷多个解——一整个族——相差一个常数。

一个斜率场(slope field)把微分方程画成一个短线段的网格:在每个点 $(x,y)$ 处线段有在那里求出的斜率 $\dfrac{dy}{dx}$。要草绘一个,把几个点代入右侧并在每个处画一个带那个斜率的小线段。这幅图片显示解曲线的形状而不求解。

考试技能。 一个常见的部分给出一个斜率场的一部分并要求你草绘通过一个给定点的特解——从那个点开始并跟随这些线段,保持与它们相切。

一个微分方程的解是函数或函数族。读一个斜率场以推理行为:在线段平坦($\tfrac{dy}{dx}=0$)的地方解暂时是水平的;在它们变陡的地方解上升或下降得更快;相等斜率的水平行暗示率只取决于 $y$(或只取决于 $x$)。

许多考试微分方程用分离变量法(separation of variables)求解。若 $\dfrac{dy}{dx}$ 分解成一个 $x$ 的函数乘一个 $y$ 的函数,把所有 $y$ 移到一侧而所有 $x$ 移到另一侧,然后积分两侧:

加一次积分常数(在 $x$ 侧)。这给出通解(general solution)。

Worked example. 用初始条件 $y(0)=2$ 解 $\dfrac{dy}{dx}=xy$。分离并积分:

应用 $y(0)=2$ 给出 $A=2$,所以特解是 $y=2e^{x^2/2}$。

一个初始条件(initial condition)——一个已知点 $(x_0,y_0)$——从这个族中确定一条曲线。代入它以解常数 $C$;结果是特解(particular solution)。通过一个给定点恰好有一个解。注意定义域限制(domain restrictions):保持包含初始点的分支(例如,一个平方根的正确符号)。

最重要的模型是指数增长与衰减(exponential growth and decay)。方程 $\dfrac{dy}{dt}=ky$(率与大小成比例)有解:

其中 $y_0$ 是在 $t=0$ 处的值。这里 $k>0$ 给出增长而 $k<0$ 给出衰减。你能通过分离变量($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$)推导它,而它为人口增长、放射性衰变和牛顿冷却定律这样的过程建模。一个后续部分可能要求 $\dfrac{d^2y}{dt^2}$:再次求导 $\dfrac{dy}{dt}=ky$(用 $\dfrac{dy}{dt}=ky$)以用 $y$ 表示它。

Worked example. 一个样本以 $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$(以年计)从 $y_0=50\ \text{g}$ 衰减。解是 $y=50e^{-0.10t}$,所以 $10$ 年后 $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$。它的半衰期(half-life)解 $25=50e^{-0.10t}$,即 $e^{-0.10t}=\tfrac12$,给出 $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ ——与起始数量无关。

• 通过把所有 $y$ 移到一侧而所有 $x$ 移到另一侧、然后积分两侧(加一次 $+C$)来解一个可分离方程。
• 用初始条件求 $C$(一个特解)。
• 草绘或读一个斜率场:小线段在每个点显示 $\tfrac{dy}{dx}$,而一条解曲线跟随它们。
• 辨认指数模型 $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$(增长/衰减)。
• 一个微分方程给出斜率——你必须积分以恢复函数。