| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-3 | FUN-3.C |
|
微分：复合、隐式与反函数
AP 微积分 AB · 第 3 主题
3.1
链式法则
大纲
来源:美国大学理事会 AP 课程与考试说明
第 2 单元求导单个函数。第 3 单元求导构建在其他函数里面的函数。链式法则(chain rule)求导一个复合函数(composite function)$f\big(g(x)\big)$:
$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$
"外函数的导数(保持里面不动),乘里面的导数。"内部导数 $g'(x)$ 是学生忘记的那一块,所以总是问"里面是什么,而它的导数是什么?"例:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
在莱布尼茨记号里,以 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$,规则读作 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ ——中间的 $du$ 看起来"约去"。考试问题常常给出 $f$、$g$、$f'$、$g'$ 的一张表并要求 $h'(a)$,其中 $h(x)=f\big(g(x)\big)$;通过读值求 $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$。
Worked example. 求导 $h(x)=(2x^2+1)^5$。外函数是"(某物)$^5$",里面是 $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot\frac{d}{dx}(2x^2+1)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| chain rule | 链式法则 | liàn shì fǎ zé |
| composite function | 复合函数 | fù hé hán shù |
3.2
隐函数求导
大纲
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-3 | FUN-3.D |
|
来源:美国大学理事会 AP 课程与考试说明
一些曲线被隐式地定义——由一个 $x$ 和 $y$ 的、没有解出 $y$ 的方程,例如 $x^2+y^2=25$。隐函数求导(implicit differentiation)在不先解出 $y$ 的情况下求 $\dfrac{dy}{dx}$。它就是链式法则,把 $y$ 当作 $x$ 的一个函数。
方法:对 $x$ 求导两侧;每次你求导一个 $y$ 项时,乘以 $\dfrac{dy}{dx}$(链式法则);然后代数地解 $\dfrac{dy}{dx}$。对于 $x^2+y^2=25$:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$
Worked example. 求圆 $x^2+y^2=25$ 在点 $(3,4)$ 处的切线。由上面,那里 $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$,所以切线是
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
注意切线垂直于半径,正如几何所承诺——一个好的合理性检查。
考试技能——"证明 $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$"。 这个确切的提示大多数年份出现(例如"证明 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$")。因为目标被给出,你必须干净地显示每个代数步骤:求导两侧、对混合的 $xy$ 项用乘积/链式法则、把所有 $\dfrac{dy}{dx}$ 项收集到一侧、因式分解,并相除。一个跳过代数的正确最终行赢得很少。后续部分然后要求一条切线,或切线在哪里水平($\tfrac{dy}{dx}=0$,所以分子是 $0$)或垂直(分母是 $0$)。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| Implicit differentiation | 隐函数求导 | yǐn hán shù qiú dǎo |
3.3
反函数求导
大纲
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-3 | FUN-3.E |
|
来源:美国大学理事会 AP 课程与考试说明
若 $g$ 是 $f$ 的反函数(inverse function)(所以 $f(g(x))=x$),链式法则联系它们的导数:
$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$
用文字说:反函数在一个点的导数是原函数在匹配点的导数的倒数(reciprocal)。一个常见的考试设置给出一张表和 $f$ 上的一个点 $(a,b)$(所以 $(b,a)$ 在 $g$ 上),然后要求 $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$。
Worked example. 假设 $f(2)=5$ 而 $f'(2)=3$,且 $g$ 是 $f$ 的反函数。因为 $(2,5)$ 位于 $f$ 上,点 $(5,2)$ 位于 $g$ 上,而
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
$f$ 和 $g$ 的图象是跨 $y=x$ 的镜像,所以它们在匹配点的斜率是倒数。
探索
An exponential and its inverse the logarithm
y = a·e^(bx) + c
Inverse functions are mirror images across $y=x$, and their slopes are reciprocals: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Where one is steep, its inverse is shallow.
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| inverse function | 反函数 | fǎn hán shù |
| reciprocal | 倒数 | dào shǔ |
3.4
反三角函数求导
大纲
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-3 | FUN-3.E |
|
来源:美国大学理事会 AP 课程与考试说明
相同的思想给出反三角函数(inverse trigonometric functions)的导数。你应当知道的三个:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
当输入本身是一个函数时把这些与链式法则结合,例如 $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$。
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| inverse trigonometric functions | 反三角函数 | fǎn sān jiǎo hán shù |
3.5
选择求导数的方法
大纲
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
来源:美国大学理事会 AP 课程与考试说明
一个技能主题:真实的导数混合几个规则,所以先从外向内读表达式的结构。
- 它是一个和吗?逐项求导。
- 一个积或商?应用那个规则,并预期在里面用链式法则。
- 一个复合(某物在某物里面)?链式法则。
- 隐式地给出?隐函数求导。
命名最外层的运算、应用它的规则,并向内递归。整洁防止那些花费分数的符号和记账错误。
3.6
计算高阶导数
大纲
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-3 | FUN-3.F |
|
来源:美国大学理事会 AP 课程与考试说明
求导 $f'$ 产生二阶导数(second derivative)$f''$;重复给出高阶导数。这些记号:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
二阶导数衡量斜率如何变化;它在后面的单元里驱动凹凸性(concavity)和加速度。要隐式地求 $f''$,再次求导 $\dfrac{dy}{dx}$ 的表达式(用商和链式法则),然后代回 $\dfrac{dy}{dx}$。
探索
Slope of the slope: the second derivative
y = ax³ + bx² + cx + d
Differentiating again gives the second derivative — the rate at which the slope changes. Where the tangent's slope is itself increasing, the curve bends upward (concave up).
词汇表
训练
| 英文 | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| second derivative | 二阶导数 | èr jiē dǎo shù |
| concavity | 凹凸性 | āo tū xìng |
3.6
考试技巧
- 对复合函数用链式法则——求导外面,然后乘里面的导数(最被遗忘的因子)。
- 对于隐式求导,对 $x$ 求导两侧并在每次 $y$ 被求导时附上 $\tfrac{dy}{dx}$,然后求解。
- 通过求导两次得到二阶导数(速度 → 加速度)。
- 在分层的表达式里仔细组合规则(积里面的链式,等等)。
- 反函数的图象是在 $y=x$ 里的反射;它的斜率是原函数在匹配点斜率的倒数。
本主题的互动课程
逐步学习,并即时检测练习。