极限与连续性

微积分是变化(change)和累积(accumulation)的数学。它回答两个大问题:某物现在变化得多快,以及到目前为止积累了多少?第 1 单元构建两个问题都依赖的那一个工具——极限(limit)。

从一个谜题开始。一辆车的速度表读 $60$ km/h。那在一个单一的瞬间(instant)意味着什么?速度是距离除以时间。但在一个瞬间没有时间流逝而没有距离被覆盖,所以这个分数看起来像 $\tfrac{0}{0}$ ——未定义。

• 平均变化率(average rate of change)使用一整个区间(interval):一个量的变化除以另一个的变化。当输入的变化会是零时,它除以零,因而未定义。
• 瞬时变化率(instantaneous rate of change)是我们想要的在一个点的。它是随着区间朝零长度收缩,平均率所趋近(approaches)的值。

聪明的做法不是代入零(未定义),而是观察随着区间变得越来越小,平均率趋近什么。那个趋近的值是一个极限(limit)。所以微积分让我们描述一个瞬间的变化——作为越来越短区间上平均率的一个极限。这一个思想驱动导数(derivative)(第 2 单元),以及反向运行的积分(integral)(第 6 单元)。这个单元里其他一切都仔细地定义极限并可靠地计算它们。

给定一个函数 $f$,当 $x$ 趋近 $c$ 时 $f(x)$ 的极限是一个实数 $R$,若通过取 $x$ 足够(sufficiently)接近 $c$ ——但不等于 $c$ ——能使 $f(x)$ 任意地(arbitrarily)接近 $R$。我们写

最后的词是一个极限的核心:它描述 $f$ 在 $c$ 附近的行为(behavior),不是在 $c$ 处的值。函数可能在 $c$ 处未定义,或有定义但等于别的东西——极限不在乎。

一个极限能以三种方式展示:用图象(graphically)、用数值(numerically)(一张表),和用解析式(analytically)(代数)。学会在这些表示之间移动是一项核心技能。

(注:一个极限的 epsilon-delta 定义不在 AP 考试上考查,所以本讲义不使用它。)

一个图象常常是读一个极限最快的方式。要求 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$,沿着曲线从每一侧朝 $x = c$ 运行你的手指并问:曲线正朝什么高度前进?

• 从左追踪(小于 $c$ 的输入):这给出左极限(left-hand limit),$\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$。
• 从右追踪(大于 $c$ 的输入):这给出右极限(right-hand limit),$\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$。
• 这些是单侧极限(one-sided limits)。若两者都朝相同的高度 $R$,那么双侧极限存在且 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$。

关键地,忽略点本身。图象标出极限和值之间的差别:

• 一个空心圆(open circle)标出曲线趋近但不到达的一个高度——一个"空洞"(hole)。
• 一个实心圆(closed circle)标出实际的值 $f(c)$。

所以一条曲线可能从两侧都趋近 $R = 3$(极限是 $3$),而一个实心点坐在高度 $5$($f(c) = 5$)。极限是 $3$;两者不必匹配。

一个极限不存在(常写作 DNE),当两侧不一致(一个跳跃(jump))、当函数是无界(unbounded)的(无极限地增长),或当它在 $c$ 附近永远振荡(oscillates)时。例如:

注意一个图象的比例(scale):一张缩小的图片能隐藏一个点附近重要的行为,所以当你能够时用代数确认。

当你有数据或一个公式但没有图片时,一张值的表格(table)在数值上估计一个极限。选择从两侧向 $c$ 逼近的输入并观察输出。

例如,要估计 $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$(它在 $x=2$ 处是 $\tfrac{0}{0}$):

两侧都朝 $4$ 行进,所以我们估计极限是 $4$。一张表只暗示一个值——它是一个数值估计,不是一个证明。

大多数极限用极限定理(limit theorems)解析地求出。若 $\lim_{x\to c} f(x)$ 和 $\lim_{x\to c} g(x)$ 都存在,一个组合的极限是这些极限的相同组合:

• 和 / 差: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• 积: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• 商: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$,只要底部极限不是 $0$。
• 复合函数(composite):若 $g$ 在 $\lim_{x\to c} f(x)$ 处连续,那么 $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$。

实用的规则:对于一个由多项式、根式等构建的函数,先尝试直接代入(direct substitution)——把 $x = c$ 代进去。若你得到一个实数,那就是极限。单侧极限遵循相同的定理,只从一个方向读。

直接代入有时给出未定式(indeterminate form)$\tfrac{0}{0}$。这不意味着极限失败——它意味着你必须把函数重写成一个去除麻烦的等价形式(equivalent form),然后代入。三个标准的做法:

• 因式分解并约分(factor and cancel)一个有理函数(rational function)。例:$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$。
• 乘以共轭(conjugate)以化简一个根式(radical)。例:$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$。
• 使用三角函数的替代形式(恒等式)来化简。

约去的因子是为什么原来的图象有一个空洞:这两个函数除了在 $x=c$ 处都一致,所以它们在那里共享相同的极限。

这是一个技能主题,不是新内容:为你面前的极限选择正确的工具。

1. 先尝试直接代入。 一个实数答案意味着你完成了。
2. 得到 $\tfrac{0}{0}$?重写——因式分解并约分,或用共轭,或一个三角恒等式——然后代入。
3. 一个非零数除以 $0$(像 $\tfrac{5}{0}$)?极限是无穷的或 DNE ——从每一侧检查符号(见下面的垂直渐近线)。
4. 当 $x\to\pm\infty$?比较主导(dominant)项(见无穷远处的极限)。
5. 被困在两个函数之间?夹逼定理(squeeze theorem)可能适用。

夹逼定理(squeeze theorem)(也叫三明治定理)通过把函数困在另外两个之间来求一个极限。若在 $c$ 附近 $g(x) \le f(x) \le h(x)$,而

以这种方式证明的两个著名结果,两者都贯穿微积分使用,是:

另一个技能主题:同一个极限存在于一个图象、一张表和一个代数形式里,而你应当能够在它们之间转换。一个图象显示形状和任何空洞或跳跃;一张表给出数值证据;代数给出一个精确的值和一个理由。强的答案用一种表示去确认另一种。

一个函数在 $c$ 处间断(discontinuous),当它的图象在那里"断裂"时。有三种类型:

• 可去间断(removable discontinuity)——一个单一的空洞。双侧极限存在,但点缺失或错位。
• 跳跃间断(jump discontinuity)——两个单侧极限存在但不一致,所以曲线跳跃。
• 无穷间断(infinite discontinuity)——函数在一条垂直渐近线(vertical asymptote)处爆炸到 $\pm\infty$。

连续性由一个三部分测试定义。一个函数 $f$ 在 $x=c$ 处连续(continuous),恰好当所有三个都成立时:

用文字说:点在那里、极限在那里,而两者一致。若任何一个失败,$f$ 在 $c$ 处间断。这个测试是几乎每个连续性问题的支柱,所以把它作为一个检查清单来学。

一个函数在区间上连续(continuous on an interval),若它在那个区间的每个点都连续。你很少逐点检查,因为整个族在它们的定义域上连续:

多项式、有理、幂、指数(exponential)、对数(logarithmic),和三角(trigonometric)函数在它们定义域的每个点都连续。

所以一个有理函数处处连续,除了它的分母是零的地方;$\ln x$ 对 $x>0$ 连续;等等。知道这个让你能快速而正确地声明连续性。

若极限在一个空洞处存在,间断是可去的(removable):在那一个点重新定义函数使它等于极限,而图象就被修复。形式上,把缺失的值设为 $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$。

对于一个分段函数(piecewise-defined function),在一个边界 $x=c$ 处的连续性需要两段相遇:左段的值、右段的值,和 $f(c)$ 必须都相等。这是一个常见的考试设置——你求解一个使两段匹配的参数(parameter)(一个未知常数):

极限的思想延伸到无穷极限(infinite limits)。当一个函数在 $x=c$ 附近无界地增长时,我们写 $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$。这描述在 $x=c$ 处的一条垂直渐近线:图象紧贴垂直线 $x=c$ 并朝 $\pm\infty$ 射出。

这发生在一个非零数被某个趋近 $0$ 的东西除的地方,例如在一个不约去的分母的零点处。总是分别检查每一侧——两侧能射向相反的方向(一个到 $+\infty$,一个到 $-\infty$)。

我们也能让输入增长:无穷远处的极限(limits at infinity)描述一个函数当 $x\to\pm\infty$ 时的末端行为(end behavior)。若输出朝一个有限值 $L$ 稳定,那么 $y=L$ 是一条水平渐近线(horizontal asymptote)。

对于一个有理函数,比较上部和底部的次数(degrees):

• 上部次数 < 底部次数 $\Rightarrow$ 极限是 $0$(渐近线 $y=0$);
• 上部次数 = 底部次数 $\Rightarrow$ 极限是首项系数之比(ratio of the leading coefficients);
• 上部次数 > 底部次数 $\Rightarrow$ 函数是无界的(没有水平渐近线)。

更一般地,我们比较函数的相对大小(relative magnitudes)(相对增长率):在远处,一个指数击败任何多项式,而一个多项式击败任何对数。在考试上,"当 $t\to\infty$ 时,哪个量更大/率在哪里稳定?"用一个无穷远处的极限回答。

介值定理(Intermediate Value Theorem)是一个存在性定理(existence theorem)——它保证一个值存在而不告诉你在哪里:

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,而 $d$ 是 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何数,那么在 $(a,b)$ 里有至少一个数 $c$ 满足 $f(c)=d$。

一条不断裂的曲线不能跳过它端点之间的一个高度——它必须通过每一个。

考试技能——如何用 IVT 论证。 这些问题几乎每年出现(例如,"必然有一个值 $c$ 满足 $R(c)=155$ 吗?"或"有一个时刻 $r'(t)=-6$ 吗?")。一个满分的论证有三个动作:

1. 陈述连续性。 说函数在 $[a,b]$ 上连续(常常因为它可微,或给定连续)。
2. 显示 $d$ 被困住。 计算两个端点值并显示目标 $d$ 位于它们之间,例如 $f(a) < d < f(b)$。
3. 按名称下结论。 "由介值定理,在 $(a,b)$ 里有一个 $c$ 满足 $f(c)=d$。"

跳过连续性陈述,或不显示 $d$ 在端点之间,会失分——定理要求两个条件。

Worked example. 求 $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$。直接代入给 $\tfrac{0}{0}$(不定式),所以因式分解:当 $x\ne 3$ 时 $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$。于是 $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$。图像在 $x=3$ 处有一个可去间断点(一个洞)——尽管函数在那里没有定义,极限仍存在。

• 一个极限描述 $f(x)$ 趋近什么,它不必等于 $f(a)$ ——只有当两侧一致时双侧极限才存在。
• 先尝试直接代入;对于一个 $\tfrac00$ 形式,在代入之前因式分解并约分或有理化。
• 一个函数在 $a$ 处连续,当极限存在、$f(a)$ 有定义,而它们相等时。
• 用介值定理来保证一个根:一个在 $[a,b]$ 上改变符号的连续函数取中间的每个值。
• 从末端行为(在 $\pm\infty$ 处的极限)读水平渐近线,而在分母(不是分子)是零的地方读垂直渐近线。