力、密度与压强

重心

一个大物体的重力(weight)可以看作作用在一个单独的点上,叫作重心(centre of gravity,在均匀重力场中与质心(centre of mass)相同)。对于均匀、规则的形状——矩形、球、均匀杆——重心在正中间。

当你画受力图(free-body diagram)时,总是把重力箭头画在重心处。

力的力矩

一个力对某点的力矩(moment)是

其中 $F$ 是力(force)的大小,$d$ 是从该点到力的作用线(line of action)的垂直距离(perpendicular distance)。单位:$\text{N m}$。

如果力与从支点(pivot)量起、长度为 $r$ 的力臂(lever arm)成 $\theta$ 角,那么 $d = r\sin\theta$,所以 $M = F r\sin\theta$。只有力中垂直(perpendicular)于力臂的那部分才使它转动。

例题。 一个 $50\ \text{N}$ 的力施加在一把 $0.40\ \text{m}$ 长的扳手末端,与扳手成 $30°$ 角。求这个力对螺母的力矩。

一个力矩相对选定的点要么是顺时针(clockwise)的,要么是逆时针(anticlockwise)的。

力偶和力偶矩

力偶(couple)是一对满足下列条件的力:

• 大小相等,
• 方向相反,
• 它们的作用线相隔一段垂直距离。

力偶使物体只转动——它的合力为零,所以不产生直线加速度。

力偶的力偶矩(torque)是它产生的转动效果:

其中 $F$ 是其中一个力的大小,$d$ 是两条作用线之间的垂直距离。单位:$\text{N m}$。力偶矩相对任何点都相同——这是力偶的一个特殊性质。

一个常见的选择题陷阱:两个方向相同的等大的力不是力偶(它们有合力,会引起平动(translation))。力偶需要大小相等并且方向相反。

平衡的条件

一个物体处于平衡(equilibrium)当:

1. 合力(resultant force)为零(无直线加速度),并且
2. 对任何点的合力矩为零(无角加速度(angular acceleration))。

两者都必须成立。一个没有合力的物体仍可能在转动;一个没有合力矩的物体仍可能在做直线运动。

力矩原理

对于一个不转动的物体,对任何一点的总顺时针力矩等于对同一点的总逆时针力矩。这就是力矩原理(principle of moments)。

要解一个平衡问题:

1. 选一个支点——通常选在某个未知力的作用处,使那个力被消去(它的距离为零)。
2. 列出每个力及其到支点的垂直距离。
3. 令 $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$。
4. 如果需要第二个方程,就用 $\sum F = 0$。

一把尺子架在支点上、两侧挂着质量,就是这样求解的。对于一根有重量的均匀杆,记得要把它作用在重心处的重力算进去。

例题。 一根长 $4.0\ \text{m}$ 的均匀横梁在其中心处架起。一个 $40\ \text{N}$ 的重物挂在支点一侧 $1.5\ \text{m}$ 处。在另一侧离支点多远处必须挂一个 $30\ \text{N}$ 的重物才能使横梁平衡?

横梁自身的重力作用在中心(支点)处,所以它没有力矩。令顺时针 $=$ 逆时针力矩:

矢量三角形

同一平面内处于平衡的三个力可以画成一个闭合的矢量三角形(vector triangle)——首尾相接地画,三个箭头回到起点。这是一种画图方法,可以代替分解成分量(components)。

在三角形上用正弦定理(sine rule)或余弦定理(cosine rule)求未知的大小或方向,或者在方格纸上按比例画出三角形。

你也可以把每个力分解成水平(horizontal)和竖直(vertical)分量,并令 $\sum F_{x} = 0$、$\sum F_{y} = 0$。

密度(density)是单位体积的质量:

单位:$\text{kg m}^{-3}$(或 $\text{g cm}^{-3}$;$1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$)。密度是一个标量(scalar)。

一些有用的、要知道的密度:

• 水:$1000\ \text{kg m}^{-3}$
• 室温条件下的空气:$\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• 铁 / 钢:$\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

压强(pressure)是单位面积上的力,其中力垂直作用于表面:

单位:$\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$。压强是一个标量。

流体静压强

取一段流体(fluid)柱,密度为 $\rho$、横截面积(cross-sectional area)为 $A$、高度为 $\Delta h$。它的重力是

这个重力压在底部面积 $A$ 上,所以底部相对顶部多出的压强是

这就是流体静压强(hydrostatic pressure)方程。它只取决于流体的密度和深度(depth)——容器的形状无关紧要。

例题。 求一个 $2.5\ \text{m}$ 深的游泳池底部由于水而多出的压强。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于水面下深度 $h$ 处的潜艇,来自水的压强是 $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$。要得到总压强,再加上水面处的大气压强(atmospheric pressure,约 $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$)。

浮力和阿基米德原理

当一个物体浸没(submerged)在流体中时,物体底部的压强大于顶部的压强(大 $\rho g \Delta h$,其中 $\Delta h$ 是物体的高度)。这个差给出一个净的向上的力,叫作浮力(upthrust)。

对于体积为 $V$(排开(displaced)的流体的体积)的物体,浮力是

这就是阿基米德原理(Archimedes' principle):流体中物体所受的浮力等于它排开的流体的重力。

例题。 一个体积为 $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^3$ 的金属块完全浸没在水中。求它所受的浮力。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于完全浸没的物体,$V$ 是它的全部体积。对于漂浮(floating)的物体,$V$ 只是水面以下的体积——当水面以下部分所受的浮力等于它的重力时,物体就漂浮。

有浮力时的力平衡

一个用绑在容器底部的绳拴在水下的物块,在三个竖直力的作用下处于平衡:重力(向下)、张力(tension,向下)、浮力(向上)。令 $F_{\text{upthrust}} = W + T$ 来求张力。

一个浸没的物块挂在弹簧测力计(newton meter)上,读数比它在空气中的重力小,这是由于浮力:读数 $= W - F_{\text{upthrust}}$。

浮力取决于流体密度和排开的体积,而不取决于物体的材料或深度(对于不可压缩(incompressible)流体)。在一个 $g$ 较小的行星上,浮力按与重力相同的比例减小,所以一个漂浮的物体仍以相同比例的部分浸在水面以下漂浮。

• 对选定的支点取力矩;对于平衡,总顺时针 $=$ 总逆时针力矩,并且合力为零。
• 一个在三个力作用下平衡的物体给出一个闭合的力三角形。
• 流体压强 $= \rho g h$;浮力 $=$ 排开流体的重力(阿基米德)。
• 区分质量、重力和密度,每次都写出各自的基本单位。