力、密度与压强

重心

一个大物体的重力(weight)可以看作作用在一个单独的点上,叫作重心(centre of gravity,在均匀重力场中与质心(centre of mass)相同)。对于均匀、规则的形状——矩形、球、均匀杆——重心在正中间。

当你画受力图(free-body diagram)时,总是把重力箭头画在重心处。

对于不规则的形状,用实验来找重心。把物体自由地挂在一根针上:平衡时它会停在重心正好在针的正下方的位置,因为只有这样重力对针才没有力矩。从同一根针上挂一条铅垂线(plumb line),就标出了这条竖直线。再从第二个点挂起物体,画出第二条线;两条线的交点就是重心。同一个事实也回答了考试中的"解释为什么薄板这样悬挂":它的重心正好在支撑点的正下方,所以重力的作用线通过支点,没有合力矩。

对于非均匀(non-uniform)的杆,重心不在中点。可以把杆架在支点上找到平衡来确定它,或者取力矩:如果杆的重力 $W$ 与一个已知重物平衡,那么重心到支点的距离就是使两边力矩相等的那一个值。

力的力矩

一个力对某点的力矩(moment)是

其中 $F$ 是力(force)的大小,$d$ 是从该点到力的作用线(line of action)的垂直距离(perpendicular distance)。单位:$\text{N m}$。

力臂是从支点到力的作用线的垂直距离$d$。若从支点到力作用点的连线长度为$r$，且与力的夹角为$\theta$，则$d = r\sin\theta$，故$M = F r\sin\theta$。只有垂直于该连线的力分量才产生力矩。

例题。 一个 $50\ \text{N}$ 的力施加在一把 $0.40\ \text{m}$ 长的扳手末端,与扳手成 $30°$ 角。求这个力对螺母的力矩。

一个力矩相对选定的点要么是顺时针(clockwise)的,要么是逆时针(anticlockwise)的。

力偶和力偶矩

力偶(couple)是一对满足下列条件的力:

• 大小相等,
• 方向相反,
• 它们的作用线相隔一段垂直距离。

力偶使物体只转动——它的合力为零,所以不产生直线加速度。

力偶的力偶矩(torque)是它产生的转动效果:

其中 $F$ 是其中一个力的大小,$d$ 是两条作用线之间的垂直距离。单位:$\text{N m}$。力偶矩相对任何点都相同——这是力偶的一个特殊性质。

一个常见的选择题陷阱:两个方向相同的等大的力不是力偶(它们有合力,会引起平动(translation))。力偶需要大小相等并且方向相反。

注意公式里的距离。对于两个大小为 $F$、分别作用在中央支点两侧距离 $d$ 处的力构成的力偶,两条作用线之间的垂直距离是 $2d$,所以力偶矩是 $F \times 2d = 2Fd$。对支点取力矩得到同样的结果,$Fd + Fd$。两分的定义要写全两个部分:其中一个力与两个力作用线之间的垂直距离的乘积。

平衡的条件

一个物体处于平衡(equilibrium)当:

1. 合力(resultant force)为零(无直线加速度),并且
2. 对任何点的合力矩为零(无角加速度(angular acceleration))。

两者都必须成立。一个没有合力的物体仍可能在转动;一个没有合力矩的物体仍可能在做直线运动。

经典的选择题情形:四个力,两对等大反向的力,但不在同一条直线上。合力为零,所以质心不加速,但这两对力构成有合力矩的力偶,于是物体越转越快,而它的质心以恒定速度运动。只有两个条件都成立,物体才处于平衡。

力矩原理

对于处于转动平衡的物体，关于任意点的顺时针总力矩等于关于同一点的逆时针总力矩。这称为力矩原理。

要解一个平衡问题:

1. 选一个支点——通常选在某个未知力的作用处,使那个力被消去(它的距离为零)。
2. 列出每个力及其到支点的垂直距离。
3. 令 $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$。
4. 如果需要第二个方程,就用 $\sum F = 0$。

一把尺子架在支点上、两侧挂着质量,就是这样求解的。对于一根有重量的均匀杆,记得要把它作用在重心处的重力算进去。按给分的表述来说:对于处于平衡的物体,对任何一点的顺时针力矩之和等于对同一点的逆时针力矩之和。

例题。 一根长 $4.0\ \text{m}$ 的均匀横梁在其中心处架起。一个 $40\ \text{N}$ 的重物挂在支点一侧 $1.5\ \text{m}$ 处。在另一侧离支点多远处必须挂一个 $30\ \text{N}$ 的重物才能使横梁平衡?

横梁自身的重力作用在中心(支点)处,所以它没有力矩。令顺时针 $=$ 逆时针力矩:

例题。 一根长 $L$、重力 $W = 28\ \text{N}$ 的均匀杆一端铰接在墙上,由一根从另一端拉到墙上的钢丝保持水平。钢丝与杆成 $40°$。求钢丝中的张力 $T$。

对铰链取力矩,这样未知的铰链力就消去了。重力作用在中点,到铰链的距离为 $L/2$:它的力矩是 $W \times L/2$,顺时针。张力作用在末端,但不与杆垂直,所以它的力矩是 $T\sin 40° \times L$,逆时针(只有 $T$ 垂直于杆的分量才使杆转动)。令两者相等:

长度 $L$ 约掉了,这就是题目不必给出它的原因。如果杆上还挂着负载,把它的力矩加到顺时针一侧。这几乎是每一道力矩题的形状:把支点选在未知力作用处,对有角度的力用它的垂直分量,并让未知长度约去。

例题。 一根重力 $200\ \text{N}$、长 $9.0\ \text{m}$ 的均匀横梁架在两个支座上,X 距左端 $1.0\ \text{m}$,Y 距左端 $6.5\ \text{m}$。一个重力 $700\ \text{N}$ 的人站在 Y 之外、距 Y $1.7\ \text{m}$ 处。求每个支座的作用力。

两个未知力 $R_{\text{X}}$ 和 $R_{\text{Y}}$,所以对 X 取力矩以消去 $R_{\text{X}}$。横梁的重力作用在中点,距 X $3.5\ \text{m}$;Y 距 X $5.5\ \text{m}$;人距 X $7.2\ \text{m}$:

然后由合力为零:$R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$,所以 $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$。负的答案意味着横梁会从 X 上翘起:人站到 Y 外这么远时,X 必须把横梁往下压而不是往上托。题目常问一个人最远能站到哪里横梁才不会翻倒;那就是 $R_{\text{X}}$ 变为零的位置。

矢量三角形

同一平面内处于平衡的三个力可以画成一个闭合的矢量三角形(vector triangle)——首尾相接地画,三个箭头回到起点。这是一种画图方法,可以代替分解成分量(components)。

在三角形上用正弦定理(sine rule)或余弦定理(cosine rule)求未知的大小或方向,或者在方格纸上按比例画出三角形。

你也可以把每个力分解成水平(horizontal)和竖直(vertical)分量,并令 $\sum F_{x} = 0$、$\sum F_{y} = 0$。

要画出能得分的三角形:先画重力(竖直,按比例),再把另外两个力按它们真实的方向首尾相接地加上,使第三个箭头把三角形闭合;给每条边标上它的力并标出角度。对于静止在斜面上的物块,三个力是重力(竖直)、支持力(垂直于斜面)和摩擦力(沿斜面),所以三角形是直角三角形,重力是斜边。对于用一根绳挂在钉子上的画,两个相等的张力与重力构成等腰三角形。检验任何答案的标准是三角形闭合;如果不闭合,物体就不处于平衡。

例题。 一个重力可忽略的滑轮由一根弹簧吊着。一根缆绳从滑轮下方绕过,缆绳的两侧各与竖直方向成 $30°$。缆绳中的张力为 $T = 60\ \text{N}$。求弹簧的作用力以及弹簧的伸长量,已知它的劲度系数为 $2000\ \text{N m}^{-1}$。

因为是同一根连续的缆绳,两侧的张力相同。两个张力向下并向外拉;它们的水平分量抵消,竖直分量相加,所以弹簧必须以 $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$ 向上拉。由胡克定律(主题 6),$x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$。如果与竖直方向的夹角增大,$\cos\theta$ 减小,弹簧力和伸长量随之减小:缆绳更多地向两侧拉、更少地向上拉。

密度(density)是单位体积的质量:

单位:$\text{kg m}^{-3}$(或 $\text{g cm}^{-3}$;$1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$)。密度是一个标量(scalar)。

一些有用的、要知道的密度:

• 水:$1000\ \text{kg m}^{-3}$
• 室温条件下的空气:$\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• 铁 / 钢:$\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

测密度是一道伪装起来的实验题。对于长方体,用天平测质量,用直尺或卡尺测三条边长,然后 $\rho = m / (xyz)$。因为密度是乘积和商,$\rho$ 的百分比不确定度是 $m$、$x$、$y$、$z$ 各自百分比不确定度之和(主题 1)。天平的零点误差,或直尺磨损的一端,是系统误差;重复读数不能消除它,但减去零点读数可以。

例题。 一个物块质量为 $(120 \pm 1)\ \text{g}$,边长为 $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$、$(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ 和 $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$。求它的密度和百分比不确定度。

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$。各百分比不确定度为 $0.8\%$、$2.5\%$、$3.3\%$ 和 $5.0\%$,所以密度的不确定度为 $12\%$,约 $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$。最短的那条边贡献最大,这就是题目会问应该先改进哪个测量的原因。

压强(pressure)是单位面积上的力,其中力垂直作用于表面:

单位:$\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$。压强是一个标量。

这里的力是垂直压在表面上的那个力,面积是接触面积。一根重力 $9.0\ \text{kN}$ 的树干立在直径 $0.28\ \text{m}$ 的柱子上,压强为 $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$;同样的重力压在更粗的柱子上,压强更小。平方之前先把直径换成半径、把厘米换成米。

流体静压强

取一段流体(fluid)柱,密度为 $\rho$、横截面积(cross-sectional area)为 $A$、高度为 $\Delta h$。它的重力是

这个重力压在底部面积 $A$ 上,所以底部相对顶部多出的压强是

这就是流体静压强(hydrostatic pressure)方程。它只取决于流体的密度和深度(depth)——容器的形状无关紧要。

例题。 求一个 $2.5\ \text{m}$ 深的游泳池底部由于水而多出的压强。(水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$,$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。)

对于水面下深度 $h$ 处的潜艇,来自水的压强是 $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$。要得到总压强,再加上水面处的大气压强(atmospheric pressure,约 $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$)。

浮力和阿基米德原理

当一个物体浸没(submerged)在流体中时,物体底部的压强大于顶部的压强(大 $\rho g \Delta h$,其中 $\Delta h$ 是物体的高度)。这个差给出一个净的向上的力,叫作浮力(upthrust)。

对于体积为 $V$(排开(displaced)的流体的体积)的物体,浮力是

这就是阿基米德原理(Archimedes' principle):流体中物体所受的浮力等于它排开的流体的重力。

例题。 一个体积为 $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ 的金属块完全浸没在水中。求它受到的浮力。（水的密度 $1000\ \text{kg m}^{-3}$，$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$。）

对于完全浸没的物体,$V$ 是它的全部体积。对于漂浮(floating)的物体,$V$ 只是水面以下的体积——当水面以下部分所受的浮力等于它的重力时,物体就漂浮。

一个物体到底会不会漂浮取决于密度:对于完全浸没的物体,浮力与重力之比是 $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$,所以密度比流体小它就漂浮,比流体大就下沉。把物体的密度减半,这个比值就加倍;改变它的体积或深度则什么都不改变。

例题。 一个质量 $11\ \text{kg}$、直径 $0.78\ \text{m}$ 的圆柱体竖直漂浮在密度 $990\ \text{kg m}^{-3}$ 的水中。求它的底面在水面以下的深度 $y$。

漂浮意味着浮力 $=$ 重力。浸没的体积是底面积乘以深度,$A y$,其中 $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

圆柱体上每增加一牛顿的负载,就需要增加 $1 / (\rho g A)$ 的深度,所以无论负载放在圆柱体的哪个位置,深度都随所加重力沿直线上升。

有浮力时的力平衡

一个用绑在容器底部的绳拴在水下的物块,在三个竖直力的作用下处于平衡:重力(向下)、张力(tension,向下)、浮力(向上)。令 $F_{\text{upthrust}} = W + T$ 来求张力。

一个浸没的物块挂在弹簧测力计(newton meter)上,读数比它在空气中的重力小,这是由于浮力:读数 $= W - F_{\text{upthrust}}$。

例题。 一个重力 $25.0\ \text{N}$ 的圆柱体挂在弹簧测力计上完全浸没在水中,测力计读数为 $10.0\ \text{N}$。求圆柱体的体积。

浮力就是少掉的那 $15.0\ \text{N}$,而浮力 $= \rho g V$,所以 $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$。用同样的方法可以求圆柱体的密度:$25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$。

浮力取决于流体密度和排开的体积,而不取决于物体的材料或深度(对于不可压缩(incompressible)流体)。在一个 $g$ 较小的行星上,浮力按与重力相同的比例减小,所以一个漂浮的物体仍以相同比例的部分浸在水面以下漂浮。

连通液体

在静止连通液体中，同种液体同一水平面上 的压强相等。从自由液面开始，向下移动时加上 $\rho gh$，向上移动时减去它。两个开口表面均承受大气压，相互抵消。

例题。 密度为 800 kg/m³ 的油在开口U形管中位于油-水分界线上方 0.10 m 处。水面在该水平线上方 $h_w$ 处。$p_{\text{atm}}+\rho_o gh_o=p_{\text{atm}}+\rho_w gh_w$，因此 $h_w=\rho_o h_o/\rho_w=800\times0.10/1000=0.080\ \text{m}$。比较高度时应从同一水平面起算，而非从管底起算。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 对选定的支点取力矩;对于平衡,总顺时针 $=$ 总逆时针力矩,并且合力为零。
• 一个在三个力作用下平衡的物体给出一个闭合的力三角形。
• 流体压强 $= \rho g h$;浮力 $=$ 排开流体的重力(阿基米德)。
• 区分质量、重力和密度,每次都写出各自的基本单位。

常见错误

• 使用 $\cos\theta$ 进行分解，当几何关系需要 $\sin\theta$ 时。画出三角形并在选择之前检查角旁边的边。
• 题目问的是浮力,却代入物体的重力。浮力是排开流体的重力,$\rho_{\text{fluid}} V g$。
• 漏掉均匀横梁的重力。它作用在中点,对任何不在中点的支点都有力矩。
• 对有角度的力用沿杆的距离。力矩需要的是垂直距离,或者力的垂直分量。
• 把力偶的力偶矩写成 $Fd$、其中 $d$ 从支点量起。距离是两条作用线之间的,所以对称的力偶给出 $2Fd$。