振动

当一个粒子的加速度(acceleration)满足下列条件时,它做简谐运动(simple harmonic motion,SHM):

• 与它离一个固定平衡点的位移成正比,并且
• 方向指回那个点——与位移符号相反。

定义方程是

其中 $x$ 是离平衡(equilibrium)点的位移(displacement),$\omega$ 是一个正的常数,即角频率(angular frequency)。负号意味着"方向指回平衡点"。

两分的定义。 简谐运动是加速度与离某固定点的位移成正比、并始终指向该点(与位移方向相反)的运动。 两半都要有。"负号的意义":加速度与位移方向相反——始终指向平衡位置。"说明振动频率的含义":单位时间内完整振动的次数。

许多系统在一个稳定平衡点附近这样运动:弹簧(spring)上的质量、单摆(pendulum,小摆幅)、被压下的漂浮物块、LC 电路中电容器(capacitor)上的电荷、固体中的原子。

关键术语

• 位移 $x$——某一时刻离平衡点的距离(沿运动线的矢量)。
• 振幅(amplitude)$x_{0}$——离平衡点的最大位移。总为正。
• 周期(period)$T$——一次完整振动的时间。
• 频率(frequency)$f$——每秒振动的次数;$f = 1/T$。单位:Hz。
• 角频率 $\omega$——$\omega = 2\pi/T = 2\pi f$。单位:$\text{rad s}^{-1}$。
• 相位差(phase difference)——一个振动比另一个超前或滞后的那一部分周期(以弧度计)。相隔四分之一周期是 $\pi/2$ 的相位差。

所以 $T = 2\pi/\omega$,$f = \omega/(2\pi)$——给定 $\omega$、$f$、$T$ 中任何一个,你就能求出其他的。

例题。 弹簧上的一个质量以振幅 $0.050\ \text{m}$、频率 $2.5\ \text{Hz}$ 做简谐运动。求它的最大加速度。

角频率是 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$。加速度在两端最大,那里 $|a| = \omega^{2}x_{0}$:

证明一个运动是简谐运动

考试最爱的四分推导,套路总是一样:(1)把物体从平衡位置移开 $x$;(2)求出合回复力,它的形式是 $F = -(\text{常数}) \times x$;(3)用牛顿第二定律,$a = F/m = -(\text{常数}/m)\,x$;(4)这具有 $a = -\omega^{2}x$ 的形式,所以运动是简谐的,$\omega^{2} = \text{常数}/m$,而 $T = 2\pi/\omega$。要用文字说出为什么力指回平衡位置、为什么它与 $x$ 成正比——分数在这里,不在代数上。

例题。 质量 $m$ 挂在劲度系数 $k$ 的弹簧上。证明它被拉开释放后做简谐运动,并求周期。

平衡时弹簧张力与重力平衡。把质量向下移开距离 $x$:张力增加 $kx$(胡克定律),所以有一个向上、指向平衡位置的合力 $kx$。牛顿第二定律:$a = -\dfrac{k}{m}x$。这就是 $a = -\omega^{2}x$,$\omega^{2} = k/m$,所以运动是简谐的,$T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$。(夹在两个相同弹簧之间的小车受到两个弹簧的回拉,$F = -2kx$,所以 $\omega^{2} = 2k/m$。)

例题。 横截面积 $A$、质量 $m$ 的长方体木块浮在密度 $\rho$ 的液体中,底面在液面下深度 $h$ 处。把它压下一小段距离 $x$ 后释放。证明它做简谐运动,并用 $h$ 和 $g$ 表示周期。

木块被压下 $x$ 时多浸没体积 $Ax$,所以浮力(upthrust)增加了这部分液体的重量 $\rho g A x$;这个附加力向上,指向平衡位置。因此 $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$:与 $x$ 成正比且方向相反,所以运动是简谐的,$\omega^{2} = \rho g A/m$。平衡时浸没体积 $Ah$ 所受浮力等于重力,$\rho g A h = mg$,所以 $m = \rho A h$,$\omega^{2} = g/h$:$T = 2\pi\sqrt{h/g}$——与长度为 $h$ 的单摆同形。

例题。 横截面积 $A$ 的 U 形管装有密度 $\rho$ 的液体;每一臂中的液柱长 $L$。液体被移动,使一侧液面高出平衡液面 $x$,另一侧低 $x$。证明液体做简谐运动。

两液面现在相差 $2x$,所以高 $2x$ 的一段液柱失去平衡:液体受到的回复力是这段液柱的重量 $2x\rho g A$,方向使液面趋于齐平。被推动的质量是全部液体 $2L\rho A$。所以 $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$:简谐运动,$\omega^{2} = g/L$,$T = 2\pi\sqrt{L/g}$。注意 $\rho$ 和 $A$ 约掉了——周期既不取决于液体也不取决于管子。

如果粒子在 $t = 0$ 时从 $x = 0$ 沿正方向运动,那么

求一次导给出速度(velocity):

其中 $v_{0} = x_{0} \omega$ 是最大速率(粒子经过平衡点时)。

再求一次导给出加速度:

这又是 SHM 的定义方程。(如果粒子改为在 $t = 0$ 时从极端位置 $x = x_{0}$ 开始,用 $x = x_{0} \cos(\omega t)$。选择符合初始条件的那个。)

用位移表示的速度

一个不用时间的有用关系:

• 在平衡点($x = 0$):$v = \pm \omega x_{0}$(最大速率)。两个符号,因为粒子每周期两次经过平衡点。
• 在两端($x = \pm x_{0}$):$v = 0$(瞬间静止)。

例题。 同一振动的振幅 $x_{0} = 0.050\ \text{m}$、角频率 $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$。求位移为 $x = 0.030\ \text{m}$ 时的速率。

读 $v$–$x$ 图。 它的宽度给出振幅($v = 0$ 处 $x = \pm x_{0}$),高度给出最大速率($x = 0$ 处 $v = \pm\omega x_{0}$),所以 $\omega = v_{0}/x_{0}$,周期随之得出。被要求在同一坐标上画 $a$ 对 $x$ 时,画一条过原点、斜率为负 $-\omega^{2}$ 的直线,在 $x = \pm x_{0}$ 处达到 $\mp\omega^{2}x_{0}$。

例题。 一个振动物块的速度随时间按 $v = 0.56\sin(5.1t)$ 变化,$v$ 以 $\text{m s}^{-1}$ 计,$t$ 以秒计。求振幅、周期和最大加速度。

与 $v = v_{0}\sin\omega t$ 比较:$v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$,$\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$。由于 $v_{0} = \omega x_{0}$,振幅 $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$;$T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$;$a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$。(因为这个 $v$ 是正弦,物块在 $t = 0$ 时位于一端:它的位移是余弦。)

简谐运动是圆周运动的影子。 一个以角速度 $\omega$ 绕半径 $R$ 的圆运动的小球,从侧面照亮时,它的影子来回做振幅为 $R$、$\omega$ 相同的简谐运动:影子的位移是 $x = R\cos\omega t$(若从一端开始),最大速率 $R\omega$,最大加速度 $R\omega^{2}$。对直径 $0.46\ \text{m}$、$\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$ 的圆,影子的振幅为 $0.23\ \text{m}$,$v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$,$a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$——在路径两端大小最大,并始终指回中心。

对时间的图像

对于 $x = x_{0}\sin\omega t$:

• $x$ 对 $t$——一条正弦曲线,振幅 $x_{0}$,周期 $T = 2\pi/\omega$。
• $v$ 对 $t$——一条余弦曲线,比 $x$ 超前 $\pi/2$,振幅 $\omega x_{0}$。
• $a$ 对 $t$——一条负正弦曲线,与 $x$ 相差 $\pi$(180°),振幅 $\omega^{2} x_{0}$。

$a$ 对 $x$ 的图

一条过原点、斜率为负 $-\omega^{2}$ 的直线。所以你可以从图读出 $\omega$:斜率 $= -\omega^{2}$,所以 $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$,然后 $T = 2\pi / \omega$。这是一个常见的考试模式。

例题。 质量 $36\ \text{kg}$ 的物体做竖直简谐运动,其高度 $h$ 的图像显示 $h$ 在 $2\ \text{m}$ 和 $10\ \text{m}$ 之间变化,每 $4.0\ \text{s}$ 完成一次完整振动。求振幅、角频率、最大速率、最大加速度和最大动能。

振幅 $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$(峰峰范围的一半;平衡高度是 $6\ \text{m}$)。$\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$。$v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$;$a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$;$E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$。这里最常见的失误是把振幅读成整个高度范围而不是它的一半。

例题。 一个小物体放在一个以振幅 $6.0\ \text{mm}$ 做竖直简谐运动的水平平台上。求物体能全程与平台保持接触的最高频率,并说明在运动的哪个位置首先失去接触。

当平台向下的加速度超过 $g$ 时物体离开平台——在振动的顶点,那里加速度最大且向下:平台下落得比物体快。极限是 $\omega^{2}x_{0} = g$:$\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$,所以 $f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$。低于此值时顶点处的支持力很小但为正;高于此值时为零。

一个简谐振子在两种形式之间不断交换能量:

• 动能(kinetic energy)$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。
• 势能(potential energy)$E_{\text{P}}$(弹簧是弹性势能,单摆是重力势能)。

在没有阻尼(damping)时,总能量恒定(这是能量守恒(conservation of energy))。

最大和最小

• 在平衡点($x = 0$):$v$ 最大,所以 $E_{\text{K}}$ 最大、$E_{\text{P}}$ 最小(选取为零)。
• 在两端($x = \pm x_{0}$):$v = 0$,所以 $E_{\text{K}} = 0$、$E_{\text{P}}$ 最大。

总能量

用 $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

两个关键事实:总能量与振幅的平方成正比($x_{0}$ 翻倍给出四倍的能量),并与 $\omega^{2}$ 成正比。

能量对位移

用 $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$:

所以 $E_{\text{K}}$ 是一条向下的抛物线(峰在 $x = 0$,在 $x = \pm x_{0}$ 处为零),$E_{\text{P}}$ 是一条向上的抛物线(在 $x = 0$ 处为零,在 $x = \pm x_{0}$ 处最大)。它们的和恒定。

例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的质量以振幅 $x_{0} = 0.050\ \text{m}$、角频率 $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$ 振动。求振动的总能量。

当质量以 $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$ 经过 $x = 0$ 时,总能量等于最大动能:

它保持恒定,每周期两次在动能和势能形式之间交换。

不计算地描述能量交换。 在运动的一端,振子瞬时静止:动能为零,势能最大。它向平衡位置运动时,回复力对它做功,势能转化为动能;在平衡位置动能最大、势能最小。越过平衡位置后,动能又转化为势能,直到另一端。总量保持恒定,交换每次振动发生两次,所以能量对时间的图像频率是位移图像的两倍。

例题。 质量 $0.81\ \text{kg}$ 的摆球以振幅 $32\ \text{mm}$、周期 $1.9\ \text{s}$ 做小幅摆动。求振动的总能量,并说明若振幅降到 $16\ \text{mm}$ 它会怎样。

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$;$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$。振幅减半使能量变为四分之一($E \propto x_{0}^{2}$),即 $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$;差额已被空气阻力耗散为热能。

一个阻碍力(摩擦力(friction)、阻力(drag)、空气阻力(air resistance))引起阻尼——随着能量以热的形式损失,振幅随时间缩小。三种有名称的情形:

轻阻尼

振幅在许多周期内缓慢缩小(轻阻尼(light damping)的情形)。系统仍以接近它固有频率振动,但每个周期都比上一个小。汽车的悬挂是轻到中等阻尼,所以颠簸消失但乘坐保持平稳。

临界阻尼

使系统不过冲也不振动地回到平衡点的最小阻尼——临界阻尼(critical damping)的情形。它在最短的时间内返回。检流计(galvanometer)或模拟电压表(voltmeter)是临界阻尼的,所以指针很快稳定。

过阻尼

阻碍力如此之大,使系统缓慢返回、不振动,但比临界情形更慢——过阻尼(heavy damping)的情形。一扇带强力闭门器的门是过阻尼的。

在位移-时间图上:轻阻尼是一个大小平滑消失的波;临界阻尼很快返回、不过冲;过阻尼缓慢返回。

按考试的问法。 阻尼是由耗散振子能量的阻碍力引起的振幅减小。轻阻尼中系统振动,振幅随时间逐渐(指数地)减小;周期几乎不变。临界阻尼中系统在最短时间内不振动地回到平衡位置。过阻尼中它缓慢地、不振动地回到平衡位置。画图:轻阻尼曲线是包络不断缩小的正弦波;临界和过阻尼曲线都不穿越坐标轴地降到零,过阻尼更慢。

例题。 一根条形磁铁挂在弹簧上,一个磁极位于线圈内,线圈通过开关接到一个电阻。磁铁被置于振动。解释为什么闭合开关时振动衰减得更快。

运动的磁铁改变穿过线圈的磁通量,所以感应出电动势(法拉第定律);开关闭合时电流流过电阻,把能量耗散为热。由楞次定律,感应电流反抗磁铁的运动——一个额外的阻碍力。这些能量来自振动,所以振幅减小得更快:电路增加了阻尼。开关断开时有电动势但没有电流,所以没有额外的能量损失。

受迫振动(forced oscillation)由一个外部周期力以实验者选定的频率 $f_{\text{d}}$ 驱动。系统于是以这个驱动频率(driving frequency)$f_{\text{d}}$ 振动,而不是以它自己的固有频率。振幅对 $f_{\text{d}}$ 的图是一条带峰的共振曲线(resonance curve)。

共振

当驱动频率等于系统的固有频率(natural frequency)$f_{0}$ 时,发生共振(resonance)。在共振时振幅最大,来自驱动者的能量传递最有效。

例子:

• 以正确的节奏推的秋千建立起很大的振幅。
• 一个酒杯被它固有振鸣频率的声音震碎。
• 一座建筑被频率与某个固有频率相匹配的地震摇晃——工程师设计建筑,使它们的固有频率避开地震的主要范围。

峰的形状取决于阻尼:较轻的阻尼 → 更尖、更高的峰;较重的阻尼 → 更宽、更低的峰,略微移向较低的频率。

两分的定义。 共振是系统被迫以其固有频率振动、振幅达到最大的状态(驱动者传递的能量最多)。两部分——驱动频率等于固有频率,以及振幅最大——都要有。

例题。 拉紧的弦上的一个球固有频率为 $4.0\ \text{Hz}$。弦由振动发生器驱动,其频率从 $0$ 缓慢增加到 $10\ \text{Hz}$。画出球的振幅随驱动频率的变化,并说明增加阻尼的效果。

曲线在低频时从一个小的、非零的振幅开始,在 $4.0\ \text{Hz}$ 处升到一个尖峰,然后在高频时向零衰减;峰在固有频率处,只有在那里振幅才最大。更多的阻尼使峰更低更宽,并把它略微移向更低的频率;远离共振处的振幅几乎不变。

定义题按固定措辞给分。把这些记准,并且只给一个答案。

• SHM 的条件是 $a = -\omega^2 x$(加速度与位移成正比,方向指回平衡位置);要证明一个运动是 SHM,求出回复力,证明它与 $x$ 成正比且指回平衡位置,再读出 $\omega^{2}$。
• 记住 $x = x_0\sin\omega t$(或 cos)、$v_{max} = \omega x_0$、$a_{max} = \omega^2 x_0$ 和 $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$;动能和势能交换而总能量恒定,$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$。
• 速度在两端为零、在中心最大;加速度在两端最大、在中心为零。
• 振幅是位移图峰峰范围的一半;$\omega$ 来自周期、$a$–$x$ 的斜率,或 $v_{0}/x_{0}$。
• 当驱动频率等于固有频率时发生共振;阻尼降低并加宽峰。

常见错误

• 把 SHM 定义为"绕平衡位置的振动"。标准答案要的是加速度与位移成正比并且指向固定点。
• 说负号表示加速度为负。它表示加速度与位移方向相反。
• 把 $v$ 对 $x$ 画成直线。它是椭圆;$a$ 对 $x$ 才是直线。
• 把位移的整个范围当作振幅。振幅是范围的一半。
• 把共振定义为"振幅很大"。它是以固有频率的受迫振动,振幅最大。
• 把临界阻尼叫作"无阻尼",或把过阻尼当作"最快返回"。临界阻尼是不振动的最快返回;过阻尼更慢。