振动

当一个粒子的加速度(acceleration)满足下列条件时,它做简谐运动(simple harmonic motion,SHM):

• 与它离一个固定平衡点的位移成正比,并且
• 方向指回那个点——与位移符号相反。

定义方程是

其中 $x$ 是离平衡(equilibrium)点的位移(displacement),$\omega$ 是一个正的常数,即角频率(angular frequency)。负号意味着"方向指回平衡点"。

许多系统在一个稳定平衡点附近这样运动:弹簧(spring)上的质量、单摆(pendulum,小摆幅)、被压下的漂浮物块、LC 电路中电容器(capacitor)上的电荷、固体中的原子。

关键术语

• 位移 $x$——某一时刻离平衡点的距离(沿运动线的矢量)。
• 振幅(amplitude)$x_{0}$——离平衡点的最大位移。总为正。
• 周期(period)$T$——一次完整振动的时间。
• 频率(frequency)$f$——每秒振动的次数;$f = 1/T$。单位:Hz。
• 角频率 $\omega$——$\omega = 2\pi/T = 2\pi f$。单位:$\text{rad s}^{-1}$。
• 相位差(phase difference)——一个振动比另一个超前或滞后的那一部分周期(以弧度计)。相隔四分之一周期是 $\pi/2$ 的相位差。

所以 $T = 2\pi/\omega$,$f = \omega/(2\pi)$——给定 $\omega$、$f$、$T$ 中任何一个,你就能求出其他的。

例题。 弹簧上的一个质量以振幅 $0.050\ \text{m}$、频率 $2.5\ \text{Hz}$ 做简谐运动。求它的最大加速度。

角频率是 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$。加速度在两端最大,那里 $|a| = \omega^{2}x_{0}$:

如果粒子在 $t = 0$ 时从 $x = 0$ 沿正方向运动,那么

求一次导给出速度(velocity):

其中 $v_{0} = x_{0} \omega$ 是最大速率(粒子经过平衡点时)。

再求一次导给出加速度:

这又是 SHM 的定义方程。(如果粒子改为在 $t = 0$ 时从极端位置 $x = x_{0}$ 开始,用 $x = x_{0} \cos(\omega t)$。选择符合初始条件的那个。)

用位移表示的速度

一个不用时间的有用关系:

• 在平衡点($x = 0$):$v = \pm \omega x_{0}$(最大速率)。两个符号,因为粒子每周期两次经过平衡点。
• 在两端($x = \pm x_{0}$):$v = 0$(瞬间静止)。

例题。 同一振动的振幅 $x_{0} = 0.050\ \text{m}$、角频率 $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$。求位移为 $x = 0.030\ \text{m}$ 时的速率。

对时间的图像

对于 $x = x_{0}\sin\omega t$:

• $x$ 对 $t$——一条正弦曲线,振幅 $x_{0}$,周期 $T = 2\pi/\omega$。
• $v$ 对 $t$——一条余弦曲线,比 $x$ 超前 $\pi/2$,振幅 $\omega x_{0}$。
• $a$ 对 $t$——一条负正弦曲线,与 $x$ 相差 $\pi$(180°),振幅 $\omega^{2} x_{0}$。

$a$ 对 $x$ 的图

一条过原点、斜率为负 $-\omega^{2}$ 的直线。所以你可以从图读出 $\omega$:斜率 $= -\omega^{2}$,所以 $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$,然后 $T = 2\pi / \omega$。这是一个常见的考试模式。

一个简谐振子在两种形式之间不断交换能量:

• 动能(kinetic energy)$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$。
• 势能(potential energy)$E_{\text{P}}$(弹簧是弹性势能,单摆是重力势能)。

在没有阻尼(damping)时,总能量恒定(这是能量守恒(conservation of energy))。

最大和最小

• 在平衡点($x = 0$):$v$ 最大,所以 $E_{\text{K}}$ 最大、$E_{\text{P}}$ 最小(选取为零)。
• 在两端($x = \pm x_{0}$):$v = 0$,所以 $E_{\text{K}} = 0$、$E_{\text{P}}$ 最大。

总能量

用 $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

两个关键事实:总能量与振幅的平方成正比($x_{0}$ 翻倍给出四倍的能量),并与 $\omega^{2}$ 成正比。

能量对位移

用 $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$:

所以 $E_{\text{K}}$ 是一条向下的抛物线(峰在 $x = 0$,在 $x = \pm x_{0}$ 处为零),$E_{\text{P}}$ 是一条向上的抛物线(在 $x = 0$ 处为零,在 $x = \pm x_{0}$ 处最大)。它们的和恒定。

例题。 一个 $0.20\ \text{kg}$ 的质量以振幅 $x_{0} = 0.050\ \text{m}$、角频率 $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$ 振动。求振动的总能量。

当质量以 $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$ 经过 $x = 0$ 时,总能量等于最大动能:

它保持恒定,每周期两次在动能和势能形式之间交换。

一个阻碍力(摩擦力(friction)、阻力(drag)、空气阻力(air resistance))引起阻尼——随着能量以热的形式损失,振幅随时间缩小。三种有名称的情形:

轻阻尼

振幅在许多周期内缓慢缩小(轻阻尼(light damping)的情形)。系统仍以接近它固有频率振动,但每个周期都比上一个小。汽车的悬挂是轻到中等阻尼,所以颠簸消失但乘坐保持平稳。

临界阻尼

使系统不过冲也不振动地回到平衡点的最小阻尼——临界阻尼(critical damping)的情形。它在最短的时间内返回。检流计(galvanometer)或模拟电压表(voltmeter)是临界阻尼的,所以指针很快稳定。

过阻尼

阻碍力如此之大,使系统缓慢返回、不振动,但比临界情形更慢——过阻尼(heavy damping)的情形。一扇带强力闭门器的门是过阻尼的。

在位移-时间图上:轻阻尼是一个大小平滑消失的波;临界阻尼很快返回、不过冲;过阻尼缓慢返回。

受迫振动(forced oscillation)由一个外部周期力以实验者选定的频率 $f_{\text{d}}$ 驱动。系统于是以这个驱动频率(driving frequency)$f_{\text{d}}$ 振动,而不是以它自己的固有频率。振幅对 $f_{\text{d}}$ 的图是一条带峰的共振曲线(resonance curve)。

共振

当驱动频率等于系统的固有频率(natural frequency)$f_{0}$ 时,发生共振(resonance)。在共振时振幅最大,来自驱动者的能量传递最有效。

例子:

• 以正确的节奏推的秋千建立起很大的振幅。
• 一个酒杯被它固有振鸣频率的声音震碎。
• 一座建筑被频率与某个固有频率相匹配的地震摇晃——工程师设计建筑,使它们的固有频率避开地震的主要范围。

峰的形状取决于阻尼:较轻的阻尼 → 更尖、更高的峰;较重的阻尼 → 更宽、更低的峰,略微移向较低的频率。

• SHM 的条件是 $a = -\omega^2 x$(加速度与位移成正比,方向指回平衡点)。
• 记住 $x = x_0\sin\omega t$(或 cos)、$v_{max} = \omega x_0$、$a_{max} = \omega^2 x_0$;动能和势能交换,总能量恒定。
• 速度在两端为零,在中心最大。
• 当驱动频率等于固有频率时发生共振;阻尼降低并加宽峰。