Thiên văn học và Vũ trụ học

Độ sáng $L$ của một ngôi sao là tổng công suất bức xạ mà nó phát ra — năng lượng phát ra mỗi giây theo mọi hướng. Đơn vị: watt (W).

Định nghĩa một điểm. Độ sáng của một ngôi sao là tổng công suất bức xạ phát ra bởi ngôi sao đó (hoặc tổng năng lượng phát ra trong mỗi đơn vị thời gian). Đây là tính chất riêng của ngôi sao; độ sáng mà nó trông thấy từ Trái Đất cũng phụ thuộc vào khoảng cách xa gần. Khi được hỏi về hai lý do tại sao một số ngôi sao trông sáng hơn những ngôi sao khác, hãy đưa ra đúng hai lý do: độ sáng lớn hơn, và khoảng cách nhỏ hơn (bật_flux giảm theo $1/d^{2}$).

Tại khoảng cách $d$, công suất này đã lan tỏa trên một mặt cầu có diện tích $4\pi d^{2}$. Cường độ bật_flux $F$ (công suất trên mỗi đơn vị diện tích) tại khoảng cách $d$ là

Ví dụ minh họa. Độ sáng của Mặt Trời là $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Hãy tìm cường độ bật_flux tại Trái Đất, ở khoảng cách $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.

Đơn vị: $\text{W m}^{-2}$. Đây là định luật nghịch đảo bình phương đối với bật_flux: khi khoảng cách tăng gấp đôi thì bật_flux giảm xuống còn một phần tư. Kính thiên văn đo $F$; nếu $L$ đã biết, khoảng cách sẽ suy ra:

Đọc biểu đồ. Một biểu đồ $F$ theo $1/d^{2}$ cho một ngôi sao là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc $L/4\pi$, do đó $L = 4\pi \times \text{gradient}$; một ngôi sao có độ sáng lớn hơn sẽ tạo ra đường thẳng dốc hơn. Một ngôi sao whose galaxy receding vẫn tuân theo định luật nghịch đảo bình phương, nhưng ánh sáng chúng ta nhận được bị dịch chuyển đỏ, nên bật_flux tại mỗi bước sóng bị dịch chuyển dọc theo quang phổ, và một máy dò nhạy cảm với một dải cụ thể có thể nhìn thấy một tỷ lệ khác nhau của nó.

Ví dụ minh họa. Mặt Trời có bán kính $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ và nhiệt độ bề mặt $5780\ \text{K}$. Một tàu vũ trụ mang theo tấm pin năng lượng mặt trời diện tích $2.0\ \text{m}^{2}$ đang ở khoảng cách $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ từ tâm Mặt Trời. Hãy tìm công suất chiếu lên tấm pin khi nó hướng về phía Mặt Trời.

Độ sáng: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Bật_flux tại tàu vũ trụ: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, gấp Drivers lần bật_flux tại Trái Đất. Công suất trên tấm pin: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. Bật_flux là công suất trên mỗi đơn vị diện tích vuông góc với tia bức xạ; một tấm pin nghiêng sẽ nhận được $FA\cos\theta$.

Một nến chuẩn là một vật thể có độ sáng đã biết dựa trên loại của nó. Once bạn tìm thấy một cái trong một thiên hà xa và đo bật_flux $F$ từ nó, bạn có được khoảng cách của nó từ $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

Ví dụ:

• Biến Cepheid (những ngôi sao pulsatting) — chu kỳ pulsation liên kết chặt chẽ với độ sáng, do đó chu kỳ cung cấp $L$.
• Supernova loại Ia — một sao lùn trắng đạt đến khối lượng tới hạn và nổ tung luôn có khoảng cùng một độ sáng đỉnh.

Một nến chuẩn cung cấp $L$ mà không cần biết trước khoảng cách, do đó nó chạm đến các thiên hà xa beyond parallax.

Định nghĩa. Một nến chuẩn là một vật thể (một ngôi sao hoặc một supernova) có độ sáng đã biết. Độ sáng đã biết vì nó được cố định bởi một tính chất có thể đo được từ bất kỳ khoảng cách nào: chu kỳ pulsation của một biến Cepheid, hoặc loại của một supernova.

"Giải thích làm thế nào một nến chuẩn được sử dụng để xác định khoảng cách của một thiên hà" (ba điểm). (1) Một nến chuẩn trong thiên hà được xác định (một biến Cepheid, whose chu kỳ cung cấp độ sáng của nó, hoặc một supernova loại Ia) sao cho độ sáng $L$ của nó đã biết. (2) Cường độ bật_flux $F$ của ánh sáng đến Trái Đất được đo. (3) Khoảng cách suy ra từ định luật nghịch đảo bình phương, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. Thứ tự quan trọng: độ sáng đến từ loại của nến, không phải từ khoảng cách, đó là thứ đang được tìm kiếm.

Ví dụ minh họa. Một supernova loại Ia, độ sáng $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ tại đỉnh, được quan sát với bật_flux đỉnh là $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. Thiên hà của nó cách chúng ta bao xa?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, khoảng $670$ triệu năm ánh sáng ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). Một biến Cepheid, with a luminosity of order $10^{30}\ \text{W}$, could not be seen at that distance; supernovae are the candles for the far Universe.

Định luật dịch chuyển Wien

Một vật nóng phát ra quang phổ liên tục (vật đen) với đỉnh tại bước sóng $\lambda_{\text{max}}$ được xác định bởi nhiệt độ của nó. Định luật dịch chuyển Wien:

Ví dụ minh họa. Quang phổ vật đen của một ngôi sao có đỉnh tại $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Tìm nhiệt độ bề mặt của nó. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

Những ngôi sao nóng hơn có đỉnh ở bước sóng ngắn hơn: một ngôi sao đỏ mát ($\sim 3000\ \text{K}$) có đỉnh trong vùng hồng ngoại; Mặt Trời ($\sim 5800\ \text{K}$) có đỉnh gần $500\ \text{nm}$; một ngôi sao xanh-trắng nóng ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) có đỉnh trong vùng tử ngoại. Việc đo $\lambda_{\text{max}}$ sẽ cho biết nhiệt độ bề mặt.

"Nêu định luật dịch chuyển Wien" (hai điểm). Bước sóng mà tại đó cường độ bức xạ từ vật đen đạt cực đại tỷ lệ nghịch với nhiệt độ nhiệt động lực học của nó: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, hoặc $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Nói "bước sóng của cực đại cường độ", không chỉ nói "bước sóng", và nhiệt độ phải tính bằng kelvin. Định luật mô tả đỉnh của đường cong vật đen liên tục, không phải các vạch quang phổ.

Định luật Stefan–Boltzmann

Một ngôi sao, xem như một quả cầu vật đen có bán kính $r$ và nhiệt độ bề mặt $T$, có độ sáng là

trong đó $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ là hằng số Stefan–Boltzmann- (định luật Stefan–Boltzmann-). Hai sự phụ thuộc mạnh mẽ:

• $L \propto r^{2}$ — gấp đôi bán kính, bốn lần độ sáng (cùng $T$).
• $L \propto T^{4}$ — gấp đôi nhiệt độ, mười sáu lần độ sáng (cùng $r$).

Ví dụ minh họa. Một ngôi sao có bán kính $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ và nhiệt độ bề mặt $T = 5800\ \text{K}$. Tính độ sáng của nó. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

Ước tính bán kính của một ngôi sao

Kết hợp hai định luật trên:

1. đo $\lambda_{\text{max}}$ → lấy $T$ từ định luật Wien.
2. tìm $L$ (ví dụ: từ thông lượng $F$ và khoảng cách $d$: $L = 4\pi d^{2} F$).
3. giải định luật Stefan–Boltzmann cho $r$: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.

Đây chính là cách các nhà thiên văn học ước tính bán kính của những ngôi sao mà họ không thể nhìn thấy dưới dạng đĩa.

Ví dụ minh họa (bán kính của Mặt Trời). Cường độ thông lượng bức xạ của ánh sáng mặt trời tại Trái Đất là $1370\ \text{W m}^{-2}$ ở khoảng cách $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, và quang phổ của Mặt Trời cực đại tại $500\ \text{nm}$. Ước tính bán kính của Mặt Trời.

Độ sáng: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Nhiệt độ: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Bán kính: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Ba bước, mỗi bước là một công thức một dòng; hãy giữ nguyên độ chính xác đầy đủ của $L$ và $T$ cho đến cuối cùng, vì $T$ bị lũy thừa bậc tư.

Ví dụ minh họa. Một ngôi sao trong một thiên hà xa có cường độ thông lượng bức xạ là $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ tại Trái Đất, ở khoảng cách $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$, và có nhiệt độ bề mặt là $9500\ \text{K}$. Tìm bán kính của nó.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Khi đó $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, khoảng gấp bốn lần bán kính Mặt Trời. Kiểm tra tính hợp lý: một ngôi sao $140$ lần sáng hơn Mặt Trời nhưng chỉ $1.6$ lần nóng hơn chắc chắn phải lớn hơn nhiều, vì $L \propto r^{2}T^{4}$.

Tại sao $T^{4}$ lại quan trọng đến vậy. Hai ngôi sao có cùng bán kính ở $3000\ \text{K}$ và $6000\ \text{K}$ sẽ chênh lệch độ sáng lên $2^{4} = 16$ lần; một sai số nhỏ trong nhiệt độ sẽ dẫn đến sai số lớn trong độ sáng, đó là lý do tại sao bước sóng đỉnh phải được đọc cẩn thận và, đối với một thiên hà đang rời xa, phải hiệu chỉnh do dịch chuyển đỏ (phần sau).

Dịch chuyển đỏ vũ trụ học

Các vạch quang phổ của ánh sáng từ các thiên hà xa được quan sát thấy ở bước sóng dài hơn so với giá trị phòng thí nghiệm đã biết của chúng — toàn bộ quang phổ bị kéo dãn về phía màu đỏ. Hiện tượng này gọi là dịch chuyển đỏ.

Nếu hiểu theo cơ chế Doppler, thiên hà đang di chuyển ra xa. Đối với $v \ll c$:

trong đó $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ và $v$ là tốc độ tránh xa. Ví dụ: ánh sáng phát ra ở $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ nhưng được quan sát thấy ở $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ sẽ tạo ra $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ và

Tại sao dịch chuyển đỏ chứng minh Vũ trụ đang giãn nở

Hầu hết các thiên hà xa đều bị dịch chuyển đỏ (một vài thiên hà gần bị dịch chuyển xanh do chuyển động cục bộ). Do đó, trung bình các thiên hà đang rời xa nhau — không chỉ rời xa chúng ta mà còn rời xa lẫn nhau. Vũ trụ đang giãn nở, với không gian giữa các thiên hà đang kéo dãn. Các thiên hà càng xa thì mức độ dịch chuyển đỏ càng lớn.

"Nêu ý nghĩa của thuật ngữ dịch chuyển đỏ." Bước sóng quan sát được của bức xạ (các vạch quang phổ) từ một nguồn phát ra dài hơn bước sóng ban đầu phát ra, do nguồn phát đang di chuyển ra xa người quan sát. Đây là hiệu ứng Doppler đối với ánh sáng: độ biến đổi tương đối của bước sóng bằng độ biến đổi tương đối của tần số, và đối với $v \ll c$, là tỷ số $v/c$.

Ví dụ minh họa. Một vạch hydro được đo trong phòng thí nghiệm ở $656.3\ \text{nm}$ được quan sát trong ánh sáng từ một thiên hà ở $660.9\ \text{nm}$. Tìm tốc độ tránh xa của thiên hà và, sử dụng $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, tính khoảng cách của nó.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, nên $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Khoảng cách: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (khoảng $100$ triệu năm ánh sáng). Chia cho bước sóng phát ra (trong phòng thí nghiệm), và giữ đơn vị nanomet nhất quán trong tỷ lệ.

Ví dụ minh họa (ngược lại). Một thiên hà trong chòm sao Corona Borealis đang rời xa với tốc độ $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. Bước sóng quan sát được của đường quang phổ hydro $656.3\ \text{nm}$ là bao nhiêu?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, nên đường quang phổ xuất hiện ở $703\ \text{nm}$, bị dịch chuyển từ màu đỏ gần như vào vùng hồng ngoại. Mọi đường quang phổ và toàn bộ quang phổ liên tục đều bị kéo dãn bởi cùng một hệ số $(1 + v/c) = 1.071$.

Mẹo bẫy trong đề thi. Nếu đưa trực tiếp bước sóng đỉnh của quang phổ thiên hà đang rời xa vào định luật Wien, kết quả nhiệt độ sẽ quá thấp, vì bước sóng quan sát $\lambda_{\text{max}}$ dài hơn bước sóng phát ra. Cần hiệu chỉnh lại đỉnh trước: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. Khi yêu cầu vẽ quang phổ quan sát trên cùng trục tọa độ với quang phổ phát ra, hãy vẽ cùng hình dạng nhưng dịch chuyển sang phía bước sóng dài hơn, bao gồm cả đỉnh.

"Giải thích làm thế nào sự dịch chuyển đỏ dẫn đến giả thuyết Vũ trụ đang giãn nở" (ba điểm). (1) Các đường quang phổ từ (gần như) tất cả các thiên hà xa đều bị dịch chuyển về phía bước sóng dài hơn, do đó (2) theo hiệu ứng Doppler, các thiên hà đang di chuyển ra xa chúng ta, và (3) thiên hà càng xa thì sự dịch chuyển đỏ càng lớn và do đó tốc độ càng cao: đây là điều mà bất kỳ thiên hà nào cũng sẽ quan sát được nếu không gian giữa tất cả các thiên hà đang giãn nở, nên Vũ trụ nói chung đang giãn nở, chứ không chỉ riêng di chuyển ra xa Trái Đất.

*Trường ultra sâu Hubble — hầu hết mọi điểm sáng đều là một thiên hà trọn vẹn, phần lớn trong số chúng bị dịch chuyển đỏ và đang rời xa

Định luật Hubble

Mối liên hệ giữa tốc độ rời xa $v$ và khoảng cách $d$ là định luật Hubble:

trong đó $H_{0}$ là hằng số Hubble ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Luôn sử dụng đơn vị SI. Ví dụ: một thiên hà rời xa với tốc độ $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ nằm ở khoảng cách $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.

"Nêu định luật Hubble" (hai điểm). Tốc độ rời xa của một thiên hà tỷ lệ thuận (trực tiếp) với khoảng cách của nó từ Trái Đất (người quan sát): $v = H_{0}d$, trong đó $v$ là tốc độ rời xa, $d$ là khoảng cách và $H_{0}$ là hằng số Hubble. Xác định ý nghĩa của từng ký hiệu khi được yêu cầu. Giá trị của $H_{0}$ được cung cấp trong đề thi dưới đơn vị SI ($\text{s}^{-1}$), do đó $v$ phải tính bằng $\text{m s}^{-1}$ và $d$ phải tính bằng mét, tuyệt đối không dùng km/s/Mpc.

Ví dụ minh họa. Một ngôi sao trong một thiên hà xa phát ra bức xạ có cường độ cực đại tại $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; cực đại trong ánh sáng nhận được ở Trái Đất nằm ở $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Tìm nhiệt độ bề mặt của ngôi sao, tốc độ rời xa của thiên hà và khoảng cách của nó ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).

Nhiệt độ từ đỉnh phát ra: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Tốc độ: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, khoảng $6\%$ của $c$. Khoảng cách: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (khoảng $870$ triệu năm ánh sáng). Sử dụng đỉnh quan sát được để tính nhiệt độ sẽ cho kết quả $5900\ \text{K}$, $400\ \text{K}$ quá thấp.

Từ định luật Hubble đến Big Bang

Định luật Hubble có nghĩa là các thiên hà từng ở gần nhau. Chạy ngược quá trình giãn nở, tất cả các khoảng cách co về zero tại $t = -1/H_{0}$ — Vũ trụ từng là một điểm nhỏ bé, cực kỳ đậm đặc và nóng. Đây chính là Big Bang. Tuổi của Vũ trụ (với giả thuyết giãn nở ổn định) xấp xỉ

Sự giãn nở, sự dịch chuyển đỏ của các thiên hà, bức xạ nền vi sóng vũ trụ, và độ phong phú của hydro/helium là những bằng chứng chính cho lý thuyết Big Bang.

"Giải thích làm thế nào định luật Hubble dẫn đến thuyết Big Bang" (ba điểm). (1) Các thiên hà đang rời xa với tốc độ tỷ lệ thuận với khoảng cách của chúng, do đó (2) nếu quay ngược thời gian, mỗi thiên hà, dù ở khoảng cách nào, cũng hội tụ về cùng một điểm tại cùng một thời điểm, $t = d/v = 1/H_{0}$ trước; (3) nên Vũ trụ bắt đầu từ một điểm đơn lẻ có mật độ và nhiệt độ khổng lồ và đã giãn nở kể từ đó. Ước tính tuổi: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, và chia cho $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ mỗi năm sẽ thu được $1.4 \times 10^{10}$ năm. Điều này giả định tốc độ giãn nở không thay đổi; đây là ước tính, không phải phép đo lường.

Thang đo khoảng cách

Các nhà thiên văn học kết hợp nhiều phương pháp, trong đó mỗi phương pháp đều được hiệu chuẩn dựa trên phương pháp bên dưới:

1. tham hiệu (parallax) — cho các ngôi sao gần.
2. nến chuẩn (Cepheids, siêu tân tinh loại Ia) — cho các thiên hà.
3. định luật Hubble ($d = v/H_{0}$, với $v$ từ dịch chuyển đỏ) — cho các thiên hà rất xa.

*Thang đo khoảng cách: mỗi phương pháp được hiệu chuẩn bởi phương pháp bên dưới và đạt đến khoảng cách xa hơn

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• Hai công thức: khoảng cách = $L$ của nến, đo $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; bán kính = $T$ từ $\lambda_{\text{max}}$, $L$ từ $F$ và $d$, $r$ từ $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Viết mỗi bước dưới dạng công thức riêng biệt.
• $F$ là thông lượng (trên mét vuông), $L$ là công suất; $L = 4\pi d^{2}F$ liên kết chúng và $4\pi$ là một phần của cả hai định luật.
• Wien: $\lambda_{\text{max}}$ tính bằng mét, $T$ tính bằng kelvin. Stefan–Boltzmann: $r^{2}$ và $T^{4}$; sai số $10\%$ trong $T$ dẫn đến sai số $46\%$ trong $L$.
• Dịch chuyển đỏ: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; sau đó $d = v/H_{0}$ tính bằng đơn vị SI. Hiệu chỉnh bước sóng đỉnh của thiên hà đang rời xa trước khi áp dụng định luật Wien.
• Ba câu trả lời giải thích "standard candle to distance, redshift to expansion, Hubble's law to the Big Bang" được chấm điểm từng phần: ba phát biểu mỗi loại, theo thứ tự.
• Tuổi của Vũ trụ là $1/H_{0}$, khoảng $14$ tỷ năm; nêu giả thuyết về tốc độ giãn nở không đổi.

Lỗi thường gặp

• Định nghĩa độ sáng là độ sáng hay là công suất trên một đơn vị diện tích; tức là thông lượng.
• Tìm độ sáng của standard candle từ khoảng cách của nó, điều này là vòng tròn; độ sáng thực tế đến từ loại của nó.
• Sử dụng độ Celsius trong định luật Wien hoặc Stefan-Boltzmann, hoặc quên số mũ bốn.
• Chia $\Delta\lambda$ cho bước sóng quan sát được thay vì bước sóng phát ra, hoặc trộn nanomet và mét trong cùng một tỷ lệ.
• Sử dụng $H_{0}$ với $v$ trong $\text{km s}^{-1}$; hãy chuyển đổi sang $\text{m s}^{-1}$.
• Đưa bước sóng đỉnh bị dịch chuyển đỏ vào định luật Wien và báo cáo nhiệt độ quá thấp.
• Phát biểu định luật Hubble mà không dùng từ "tỷ lệ thuận" hoặc không nói rõ $v$ và $d$ là gì.
• Giải thích Big Bang mà không có lập luận ngược thời gian rằng tất cả các thiên hà đã tập hợp lại tại $t = 1/H_{0}$ trước đây.