A-Level Mathematics · Toán học A-Level · Topic 6 · Chủ đề 6
10:06
Xác suất & Thống kê 2
Cambridge, những năm mười hai. Tại một bữa tiệc sân vườn, một bà lão nói điều đáng ngạc nhiên. Bà ta có thể nếm, bà ta tuyên bố, liệu sữa có được đổ vào cốc trước hay sau trà…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
This handout covers Topic 6: Probability & Statistics 概率统计 2. It adds the Poisson model, combining random variables, continuous distributions, and the ideas of estimation and testing.
Tài liệu này bao gồm Chủ đề 6: Xác suất & Thống kê 2. Nội dung bổ sung mô hình Poisson, tổ hợp biến ngẫu nhiên, phân phối liên tục, và các khái niệm ước lượng và kiểm định.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • use formulae to calculate probabilities for the distribution $\text{Po}(\lambda)$ | |
| • use the fact that if $X \sim \text{Po}(\lambda)$ then the mean and variance of $X$ are each equal to $\lambda$ | Proofs are not required. |
| • understand the relevance of the Poisson distribution to the distribution of random events, and use the Poisson distribution as a model | |
| • use the Poisson distribution as an approximation to the binomial distribution where appropriate | The conditions that $n$ is large and $p$ is small should be known; $n > 50$ and $np < 5$, approximately. |
| • use the normal distribution, with continuity correction, as an approximation to the Poisson distribution where appropriate. | The condition that $\lambda$ is large should be known; $\lambda > 15$, approximately. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • sử dụng các công thức để tính xác suất cho phân bố $\text{Po}(\lambda)$ | |
| • sử dụng事实 rằng nếu $X \sim \text{Po}(\lambda)$ thì trung bình cộng và phương sai của $X$ đều bằng $\lambda$ | Chứng minh không yêu cầu. |
| • hiểu ý nghĩa của phân bố Poisson đối với sự phân bố của các biến cố ngẫu nhiên, và sử dụng phân bố Poisson như một mô hình | |
| • sử dụng phân bố Poisson như một sự xấp xỉ cho phân bố nhị thức khi phù hợp | Các điều kiện rằng $n$ lớn và $p$ nhỏ cần được biết; $n > 50$ và $np < 5$, xấp xỉ. |
| • sử dụng phân bố chuẩn, với sửa chữa liên tục, như một sự xấp xỉ cho phân bố Poisson khi phù hợp. | Điều kiện rằng $\lambda$ lớn cần được biết; $\lambda > 15$, xấp xỉ. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
The Poisson distribution 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ models the number of random events in a fixed interval, when events happen at a steady average rate $\lambda$:
Worked example. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Find $P(X = 2)$.
Phân phối Poisson $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ mô tả số lượng sự kiện ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian cố định, khi các sự kiện xảy ra với tốc độ trung bình ổn định $\lambda$:
Ví dụ minh họa. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Tìm $P(X = 2)$.
Change the mean λ. Poisson models the number of random events in a fixed interval — rare events give a skewed shape. · Thay đổi trung bình λ. Phân phối Poisson mô hình hóa số sự kiện ngẫu nhiên trong một khoảng cố định — các sự kiện hiếm tạo hình dạng lệch.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • use, when solving problems, the results that – $\text{E}(aX + b) = a\text{E}(X) + b$ and $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ – $\text{E}(aX + bY) = a\text{E}(X) + b\text{E}(Y)$ – $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ for independent $X$ and $Y$ – if $X$ has a normal distribution then so does $aX + b$ – if $X$ and $Y$ have independent normal distributions then $aX + bY$ has a normal distribution – if $X$ and $Y$ have independent Poisson distributions then $X + Y$ has a Poisson distribution. | Proofs of these results are not required. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • sử dụng, khi giải quyết bài toán, các kết quả sau – $\text{E}(aX + b) = a\text{E}(X) + b$ và $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$ – $\text{E}(aX + bY) = a\text{E}(X) + b\text{E}(Y)$ – $\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$ cho các $X$ và $Y$ độc lập – nếu $X$ có phân bố chuẩn thì $aX + b$ cũng có phân bố chuẩn – nếu $X$ và $Y$ có phân bố chuẩn độc lập thì $aX + bY$ có phân bố chuẩn – nếu $X$ và $Y$ có phân bố Poisson độc lập thì $X + Y$ có phân bố Poisson. | Chứng minh các kết quả này không yêu cầu. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
When you change a variable by a linear rule, the expectation 期望 (mean) and variance 方差 follow these rules:
Worked example. $X$ has mean $5$ and variance $4$. Find $E(3X - 1)$ and $\mathrm{Var}(3X - 1)$.
Khi thay đổi biến theo quy tắc tuyến tính, kỳ vọng (trung bình) và phương sai tuân theo các quy tắc sau:
Ví dụ minh họa. $X$ có kỳ vọng $5$ và phương sai $4$. Tìm $E(3X - 1)$ và $\mathrm{Var}(3X - 1)$.
E(aX + b) = aE(X) + b
Change a scaling factor and see how the expected value scales. · Thay đổi hệ số tỷ lệ để xem kỳ vọng thay đổi như thế nào.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the concept of a continuous random variable, and recall and use properties of a probability density function | For density functions defined over a single interval only; the domain may be infinite, e.g. $\frac{3}{x^4}$ for $x \geqslant 1$. |
| • use a probability density function to solve problems involving probabilities, and to calculate the mean and variance of a distribution. | Including location of the median or other percentiles of a distribution by direct consideration of an area using the density function. Explicit knowledge of the cumulative distribution function is not included. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • hiểu khái niệm về một biến ngẫu nhiên liên tục, và nhớ lại cùng với sử dụng các tính chất của hàm mật độ xác suất | Đối với các hàm mật độ chỉ được định nghĩa trên một khoảng duy nhất; miền xác định có thể vô hạn, ví dụ: $\frac{3}{x^4}$ cho $x \geqslant 1$. |
| • sử dụng hàm mật độ xác suất để giải quyết các bài toán involving xác suất, và để tính trung bình cộng và phương sai của một phân bố. | Bao gồm cả xác định vị trí của trung vị hoặc các phần trăm位 khác của phân bố bằng cách xét trực tiếp diện tích sử dụng hàm mật độ. Kiến thức rõ ràng về hàm phân bố lũy kế không được bao gồm. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A continuous random variable 连续型随机变量 can take any value in a range. Its probabilities come from a probability density function 概率密度函数 $f(x)$, with two key properties:
The cumulative distribution function 累积分布函数 is $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; the median 中位数 solves $F(m) = 0.5$, and other percentiles 百分位数 solve $F(x) = p$.
Worked example. A continuous variable has $f(x) = \tfrac12 x$ for $0 \leqslant x \leqslant 2$ (and $0$ elsewhere). Find $E(X)$.
The variance uses the same idea, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. For the same $f(x)=\tfrac12 x$ on $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, so $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.
Một biến ngẫu nhiên liên tục có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng. Xác suất của nó đến từ hàm mật độ xác suất $f(x)$, với hai tính chất chính:
Hàm phân bố lũy tích là $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; trung vị giải phương trình $F(m) = 0.5$, và các phần trăm khác giải $F(x) = p$.
Ví dụ minh họa. Một biến liên tục có $f(x) = \tfrac12 x$ cho $0 \leqslant x \leqslant 2$ (và $0$ ở nơi khác). Tìm $E(X)$.
Phương sai sử dụng ý tưởng tương tự, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Với cùng $f(x)=\tfrac12 x$ trên $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, do đó $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability is the area under the density curve between two values. · Đối với biến liên tục, xác suất chính là diện tích dưới đường cong mật độ giữa hai giá trị.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the distinction between a sample and a population, and appreciate the necessity for randomness in choosing samples | |
| • explain in simple terms why a given sampling method may be unsatisfactory | Including an elementary understanding of the use of random numbers in producing random samples. Knowledge of particular sampling methods, such as quota or stratified sampling, is not required. |
| • recognise that a sample mean can be regarded as a random variable, and use the facts that $\text{E}(\overline{X}) = \mu$ and that $\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ | |
| • use the fact that $\overline{X}$ has a normal distribution if $X$ has a normal distribution | |
| • use the Central Limit Theorem where appropriate | Only an informal understanding of the Central Limit Theorem (CLT) is required; for large sample sizes, the distribution of a sample mean is approximately normal. |
| • calculate unbiased estimates of the population mean and variance from a sample, using either raw or summarised data | Only a simple understanding of the term 'unbiased' is required, e.g. that although individual estimates will vary the process gives an accurate result 'on average'. |
| • determine and interpret a confidence interval for a population mean in cases where the population is normally distributed with known variance or where a large sample is used | |
| • determine, from a large sample, an approximate confidence interval for a population proportion. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • hiểu sự phân biệt giữa mẫu và tổng thể, và nhận thức được sự cần thiết của tính ngẫu nhiên khi chọn mẫu | |
| • giải thích bằng ngôn ngữ đơn giản tại sao một phương pháp lấy mẫu cụ thể có thể không thỏa đáng | Bao gồm sự hiểu biết sơ cấp về việc sử dụng số ngẫu nhiên để tạo ra mẫu ngẫu nhiên. Không yêu cầu kiến thức về các phương pháp lấy mẫu cụ thể như lấy mẫu theo quota hoặc lấy mẫu phân tầng. |
| • nhận thấy rằng trung bình mẫu có thể được coi là một biến ngẫu nhiên, và sử dụng các事实 rằng $\text{E}(\overline{X}) = \mu$ và rằng $\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ | |
| • sử dụng thực tế rằng $\overline{X}$ có phân phối chuẩn nếu $X$ có phân phối chuẩn | |
| • áp dụng Định lý Giới hạn Trung tâm khi phù hợp | Chỉ yêu cầu sự hiểu biết phi chính thức về Định lý Giới hạn Trung tâm (CLT); với kích thước mẫu lớn, phân phối của trung bình mẫu xấp xỉ chuẩn. |
| • tính toán các ước lượng không thiên lệch của trung bình tổng thể và phương sai từ một mẫu, sử dụng dữ liệu thô hoặc dữ liệu đã tóm tắt | Chỉ yêu cầu sự hiểu biết đơn giản về thuật ngữ 'không thiên lệch', ví dụ: mặc dù các ước lượng cá nhân sẽ thay đổi nhưng quy trình này cho kết quả chính xác 'trung bình'. |
| • xác định và diễn giải khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể trong các trường hợp mà tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai đã biết hoặc khi sử dụng mẫu lớn | |
| • xác định, từ một mẫu lớn, một khoảng tin cậy xấp xỉ cho tỷ lệ tổng thể. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A sample 样本 is a small group chosen from the whole population 总体. A random sample needs randomness 随机性, so that every member has a fair chance of being chosen.
Some methods are unsatisfactory because they are biased 有偏: sampling only volunteers, or the first 20 people to arrive, over-represents certain kinds of people. A genuinely random sample uses random numbers – number every member of the population, then draw numbers (from a table or a generator) to decide who is in the sample.
The sample mean $\bar{X}$ is itself a random variable, with
From a sample you can find unbiased estimates 无偏估计 of the population mean and variance. A confidence interval 置信区间 gives a range that probably contains the true mean. When the population is normal with known $\sigma$ (or the sample is large), a $95\%$ interval is
You can also find a confidence interval for a population proportion 总体比例 from a large sample.
Worked example. A sample of $n = 64$ has mean $\bar{x} = 50$, from a population with $\sigma = 8$. Find a $95\%$ confidence interval for the population mean.
Một mẫu là một nhóm nhỏ được chọn từ quần thể. Một mẫu ngẫu nhiên cần có tính ngẫu nhiên, sao cho mỗi thành viên đều có cơ hội công bằng để được chọn.
Một số phương pháp không thỏa đáng vì chúng thiên lệch: chỉ lấy mẫu những người tình nguyện, hoặc 20 người đầu tiên đến, sẽ làm đại diện quá mức cho một loại người cụ thể. Một mẫu ngẫu nhiên thực sự sử dụng số ngẫu nhiên – đánh số mọi thành viên của quần thể, sau đó rút số (từ bảng số hoặc máy phát số) để quyết định ai nằm trong mẫu.
Trung bình mẫu $\bar{X}$ bản thân nó là một biến ngẫu nhiên, với
Từ một mẫu, bạn có thể tìm được ước lượng không thiên lệch của trung bình và phương sai quần thể. Khoảng tin cậy cung cấp một phạm vi có khả năng chứa trung bình thực tế. Khi quần thể có phân phối chuẩn với $\sigma$ đã biết (hoặc mẫu lớn), một khoảng tin cậy $95\%$ là
Bạn cũng có thể tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ quần thể từ một mẫu lớn.
Ví dụ minh họa. Một mẫu $n = 64$ có trung bình $\bar{x} = 50$, từ một quần thể có $\sigma = 8$. Tìm khoảng tin cậy $95\%$ cho trung bình quần thể.
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
By the Central Limit Theorem, sample means follow a normal curve — narrower for bigger samples. · Theo Định lý Giới hạn Trung tâm, trung bình mẫu tuân theo đường cong chuẩn — hẹp hơn với mẫu lớn hơn.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | phân phối Poisson |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | xấp xỉ |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | kỳ vọng |
| variance/ˈveərɪəns/ | độ phân tán |
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | phân phối chuẩn |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | biến ngẫu nhiên liên tục |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | hàm mật độ xác suất |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | hàm phân bố lũy tích |
| median/ˈmiːdiːən/ | trung vị |
| percentiles/pəˈsentaɪlz/ | percentiles |
| sample/ˈsæmpl/ | mẫu |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | dân số |
| randomness/ˈrændəmnəs/ | tính ngẫu nhiên |
| biased/ˈbaɪəst/ | thiên lệch |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | Định lý Giới hạn Trung tâm |
| unbiased estimates/ʌnˈbaɪəst ˈestɪməts/ | ước lượng không thiên lệch |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | khoảng tin cậy |
| population proportion/ˌpɒpjʊˈleɪʃn prəˈpɔːʃn/ | tỷ lệ tổng thể |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • understand the nature of a hypothesis test, the difference between one-tailed and two-tailed tests, and the terms null hypothesis, alternative hypothesis, significance level, rejection region (or critical region), acceptance region and test statistic | Outcomes of hypothesis tests are expected to be interpreted in terms of the contexts in which questions are set. |
| • formulate hypotheses and carry out a hypothesis test in the context of a single observation from a population which has a binomial or Poisson distribution, using – direct evaluation of probabilities – a normal approximation to the binomial or the Poisson distribution, where appropriate | |
| • formulate hypotheses and carry out a hypothesis test concerning the population mean in cases where the population is normally distributed with known variance or where a large sample is used | |
| • understand the terms Type I error and Type II error in relation to hypothesis tests | |
| • calculate the probabilities of making Type I and Type II errors in specific situations involving tests based on a normal distribution or direct evaluation of binomial or Poisson probabilities. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • hiểu bản chất của kiểm định giả thuyết, sự khác biệt giữa kiểm định một phía và hai phía, và các thuật ngữ giả thuyết không, giả thuyết đối, mức ý nghĩa, vùng bác bỏ (hoặc vùng tới hạn), vùng chấp nhận và thống kê kiểm định | Kết quả của kiểm định giả thuyết dự kiến sẽ được diễn giải dựa trên bối cảnh mà câu hỏi được đặt ra. |
| • xây dựng giả thuyết và thực hiện kiểm định giả thuyết trong bối cảnh một quan sát duy nhất từ một tổng thể có phân phối nhị thức hoặc phân phối Poisson, sử dụng – đánh giá trực tiếp xác suất – phép xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức hoặc phân phối Poisson, khi phù hợp | |
| • xây dựng giả thuyết và thực hiện kiểm định giả thuyết liên quan đến trung bình tổng thể trong các trường hợp mà tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai đã biết hoặc khi sử dụng mẫu lớn | |
| • hiểu các thuật ngữ Lỗi loại I và Lỗi loại II liên quan đến kiểm định giả thuyết | |
| • tính toán xác suất mắc Lỗi loại I và Lỗi loại II trong các tình huống cụ thể liên quan đến các kiểm định dựa trên phân phối chuẩn hoặc đánh giá trực tiếp xác suất nhị thức hoặc Poisson. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A hypothesis test 假设检验 uses sample data to judge a claim. You set up two statements: the null hypothesis 原假设 $H_0$ (the claim being tested, usually "no change") and the alternative hypothesis 备择假设 $H_1$ (what you suspect instead). The test is one-tailed 单尾 if $H_1$ points one way (e.g. $\mu > 50$) and two-tailed 双尾 if it allows both ways ($\mu \neq 50$).
You fix a significance level 显著性水平 (often $5\%$), work out a test statistic 检验统计量 from the data, and see whether it lands in the rejection region 拒绝域 (also called the critical region); if it does you reject $H_0$, otherwise the statistic is in the acceptance region.
Two mistakes are possible: a Type I error 第一类错误 is rejecting $H_0$ when it is actually true; a Type II error 第二类错误 is accepting $H_0$ when it is actually false. You can find their probabilities from the rejection region: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – this equals the significance level – and $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ true for a stated value$)$, computed from the binomial, Poisson, or normal distribution.
Worked example. A population is claimed to have mean $50$, with $\sigma = 8$. A sample of $n = 64$ gives $\bar{x} = 52$. Test at the $5\%$ level whether the mean has changed.
$H_0\!: \mu = 50$ and $H_1\!: \mu \neq 50$ (two-tailed). The test statistic is
Worked example (a binomial test). A coin is claimed fair but suspected of landing heads too rarely: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. In $n=30$ tosses you see $X=9$ heads. Under $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, so the one-tailed tail probability is
Một kiểm định giả thuyết sử dụng dữ liệu mẫu để đánh giá một tuyên bố. Bạn thiết lập hai phát biểu: giả thuyết không $H_0$ (tuyên bố đang được kiểm tra, thường là "không có thay đổi") và giả thuyết đối $H_1$ (điều bạn nghi ngờ thay thế). Kiểm định là một phía nếu $H_1$ chỉ hướng về một phía (ví dụ: $\mu > 50$) và hai phía nếu nó cho phép cả hai hướng ($\mu \neq 50$).
Bạn cố định một mức ý nghĩa (thường là $5\%$), tính toán thống kê kiểm định từ dữ liệu, và xem liệu nó có rơi vào vùng bác bỏ (còn gọi là vùng tới hạn) hay không; nếu có, bạn bác bỏ $H_0$, ngược lại thống kê nằm trong vùng chấp nhận.
Hai lỗi có thể xảy ra: Lỗi loại I là bác bỏ $H_0$ khi nó thực sự đúng; Lỗi loại II là chấp nhận $H_0$ khi nó thực sự sai. Bạn có thể tìm xác suất của chúng từ vùng bác bỏ: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – bằng mức ý nghĩa – và $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ đúng cho một giá trị đã cho$)$, tính toán từ phân phối nhị thức, Poisson hoặc chuẩn.
Ví dụ đã giải. Một quần thể được cho là có trung bình $50$, với $\sigma = 8$. Một mẫu $n = 64$ cho kết quả $\bar{x} = 52$. Kiểm tra ở mức ý nghĩa $5\%$ xem trung bình có thay đổi hay không.
$H_0\!: \mu = 50$ và $H_1\!: \mu \neq 50$ (hai phía). Thống kê kiểm định là
Ví dụ minh họa (kiểm định nhị thức). Một đồng xu được cho là cân bằng nhưng bị nghi ngờ xuất hiện mặt sải quá ít: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. Trong $n=30$ lần tung, bạn thấy $X=9$ mặt sải. Dưới $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, nên xác suất đuôi một phía là
reject H₀ if z < −z* · bác bỏ H₀ nếu z < −z*
The shaded tail is the rejection region — if the test statistic lands there, reject H₀. · Phần đuôi được tô màu là vùng bác bỏ — nếu thống kê kiểm định rơi vào đó, bác bỏ H₀.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | kiểm định giả thuyết |
| null hypothesis/nʌl haɪˈpɒθəsɪs/ | giả thuyết không |
| alternative hypothesis/ɔːlˈtɜːnətɪv haɪˈpɒθəsɪs/ | giả thuyết thay thế |
| one-tailed/wʌn teɪld/ | một phía |
| two-tailed/tuː teɪld/ | hai phía |
| significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/ | mức ý nghĩa |
| test statistic/test stəˈtɪstɪk/ | thống kê kiểm định |
| rejection region/rɪˈdʒekʃn ˈriːdʒn/ | vùng bác bỏ |
| Type I error/taɪp aɪ ˈerə/ | lỗi loại I |
| Type II error/taɪp ˈtuː ˈerə/ | lỗi loại II |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | Xác suất & Thống kê |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…