Tài liệu này bao gồm Chủ đề 3: Toán Thuần túy 3. Các chủ đề nhỏ 3.1–3.6 xây dựng dựa trên đại số, logarit, lượng giác, đạo hàm, tích phân và phương pháp số của Toán Thuần túy 2, do đó tài liệu này giải thích những gì là mới trong Toán Thuần 3 và sau đó bao gồm ba lĩnh vực mới lớn: vectơ, phương trình vi phân và số phức.
Toán Cơ bản 3
Toán học A-Level · Chủ đề 3
13:36
Toán Cơ bản 3
Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã chạm phải một bức tường: căn bậc hai của âm một là gì? Không có số thực nào bình phương lại cho kết quả âm. Họ gọi điều đó là không thể, và…
Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
3.1
Đại số
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • hiểu ý nghĩa của $|x|$, vẽ đồ thị của $y = |ax + b|$ và sử dụng các quan hệ như $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ và $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ khi giải phương trình và bất phương trình | Đồ thị của $y = |\text{f}(x)|$ và $y = \text{f}(|x|)$ đối với các hàm phi tuyến $\text{f}$ không được bao gồm. Vd. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • chia một đa thức có bậc không vượt quá 4 cho đa thức bậc nhất hoặc bậc hai, và xác định thương và dư (có thể bằng 0) | |
| • áp dụng định lý thừa số và định lý dư | Vd. để tìm thừa số và dư, giải phương trình đa thức hoặc xác định các hệ số chưa biết. Bao gồm cả các thừa số có dạng $(ax + b)$ mà hệ số của $x$ không phải là đơn vị, cùng với việc tính toán các giá trị dư. |
| nhớ lại dạng thích hợp để biểu diễn hàm phân thức thành phân thức riêng phần, và thực hiện việc phân rã, trong các trường hợp mà mẫu số không phức tạp hơn – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Loại trừ các trường hợp mà bậc của tử số vượt quá bậc của mẫu số |
| • sử dụng khai triển $(1 + x)^n$, trong đó $n$ là một số hữu tỷ và $|x| < 1$. | Việc tìm số hạng tổng quát trong một khai triển không bao gồm. Việc điều chỉnh chuỗi tiêu chuẩn để khai triển, ví dụ như $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$, được bao gồm, và xác định tập giá trị của $x$ để khai triển hợp lệ trong các trường hợp này cũng được bao gồm. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Hai công cụ mới gia nhập cùng với đại số từ Toán Thuần 2.
Phân tích phân thức
Một phân thức đơn với mẫu số đã phân tích nhân tử có thể được tách thành tổng của các phân thức đơn giản hơn. Điều này được gọi là viết nó dưới dạng phân thức riêng phần, và nó làm cho một hàm hữu tỉ (một phân thức của đa thức) dễ dàng để tích phân hoặc khai triển. Match the form to the bottom:
Trước tiên kiểm tra tử số có bậc thấp hơn mẫu số hay không. Nếu không ("tử nặng hơn mẫu"), hãy chia đa thức trước: phép chia sẽ cho ra thương cộng với dư trên mẫu số ban đầu, và bạn chỉ tách phần phân thức chính xác còn lại.
Một phân thức với mẫu số đã phân tích nhân tử tách thành tổng của các phân thức đơn giản hơn.
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Ví dụ minh họa. Biểu diễn $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ dưới dạng phân thức riêng phần.
Viết $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, nên $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Đặt $x = 2$: $6 = 3B$, nên $B = 2$. Đặt $x = -1$: $3 = -3A$, nên $A = -1$. Do đó
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
Khai triển nhị thức cho số mũ hữu tỉ
Khai triển nhị thức cũng hoạt động khi số mũ là phân số hoặc âm, miễn là $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Ví dụ như $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ cho $|x| < 1$.
Khám phá
Đường cong nghịch đảo
y = a/(x − b) + c
Phân tích phân thức riêng biệt tách một phân thức phức tạp thành các phần nghịch đảo đơn giản — mỗi phần có tiếp cận đứng và tiếp cận ngang.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Toán thuần túy |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | phân tích phân thức |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | hữu tỉ |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | Thương |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | Dư |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | nhị thức Newton |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | Thay đổi dấu |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | công thức lặp |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | đảo ngược |
3.2 3.3 3.6
Logarit, lượng giác và phương pháp số (từ Toán Thuần 2)
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu mối liên hệ giữa lôgarit và số mũ, và sử dụng các luật của lôgarit (loại trừ đổi cơ số) | |
| hiểu định nghĩa và tính chất của $e^x$ và $\ln x$, bao gồm mối quan hệ của chúng như các hàm nghịch đảo và đồ thị của chúng | Bao gồm kiến thức về đồ thị của $y = e^{kx}$ cho cả giá trị dương và âm của $k$. |
| sử dụng lôgarit để giải phương trình và bất phương trình trong đó ẩn số xuất hiện ở số mũ | Vd. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| sử dụng lôgarit để biến đổi một quan hệ đã cho về dạng tuyến tính, và từ đó xác định các hằng số chưa biết bằng cách xem xét độ dốc và/hoặc tung độ gốc. | Vd. $y = kx^n$ cho $\ln y = \ln k + n \ln x$ là tuyến tính theo $\ln x$ và $\ln y$. $y = k(a^x)$ cho $\ln y = \ln k + x \ln a$ là tuyến tính theo $x$ và $\ln y$. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu mối liên hệ giữa hàm cosecant, secant và cotangent với cosine, sine và tangent, và sử dụng các tính chất cùng đồ thị của cả sáu hàm lượng giác cho góc có độ lớn bất kỳ | |
| sử dụng các đẳng thức lượng giác để rút gọn và tính giá trị chính xác của biểu thức, cũng như trong quá trình giải phương trình; chọn một hoặc nhiều đẳng thức phù hợp với ngữ cảnh, thể hiện sự thành thạo đặc biệt trong việc sử dụng: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ và $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – các khai triển của $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ và $\tan(A \pm B)$ – các công thức cho $\sin 2A$, $\cos 2A$ và $\tan 2A$ – việc biểu diễn $a \sin \theta + b \cos \theta$ dưới các dạng $R \sin(\theta \pm \alpha)$ và $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | Vd. rút gọn $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. Vd. giải $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • ước lượng xấp xỉ một nghiệm của phương trình, thông qua xét đồ thị và/hoặc tìm kiếm sự đổi dấu | ví dụ: tìm cặp số nguyên liên tiếp mà nghiệm nằm giữa chúng. |
| • hiểu ý tưởng về, và sử dụng ký hiệu cho, một dãy xấp xỉ hội tụ đến nghiệm của một phương trình | |
| • hiểu cách một công thức lặp đơn giản cho trước có dạng $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ liên quan đến phương trình đang giải, và sử dụng một phép lặp cho trước, hoặc một phép lặp dựa trên việc sắp xếp lại phương trình cho trước, để xác định nghiệm với độ chính xác quy định. | Kiến thức về điều kiện hội tụ không bao gồm, nhưng cần hiểu rằng một phép lặp có thể không hội tụ. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Các chủ đề nhỏ 3.2, 3.3 và 3.6 là những kỹ năng tương tự bạn đã gặp trong Toán Thuần 2: các quy luật logarit với $e^x$ và $\ln x$; các đẳng thức $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ và $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, công thức góc kép và góc ba, và dạng $R$ của $a\sin\theta + b\cos\theta$; và giải phương trình bằng số thông qua thay đổi dấu và công thức lặp $x_{n+1} = F(x_n)$. Sử dụng chúng giống như trước đây.
Ba hàm lượng giác mới là nghịch đảo của các hàm quen thuộc: cosecant $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, secant $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, và cotangent $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Mẹo ghi nhớ: khớp chữ cái thứ ba — sec đi với cosine.) Hai đẳng thức Pythagoras ở trên đến trực tiếp từ việc chia $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ cho $\cos^2\theta$ hoặc $\sin^2\theta$. Đối với phương pháp số, một phép lặp $x_{n+1}=F(x_n)$ hội tụ về nghiệm khi các giá trị liên tiếp tiến gần lại với nhau.
Khám phá
Đường tròn đơn vị
(cos θ, sin θ)
Công thức R viết lại a sin θ + b cos θ dưới dạng một sóng duy nhất — và tất cả đều nằm trên vòng tròn này.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | Secant |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | Cosecant |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | cótangent |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | hội tụ |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tang ngược |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | tích phân từng phần |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | tích phân theo phương pháp đổi biến số |
3.4
Đạo hàm
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| sử dụng các đạo hàm của $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, cùng với các hằng số nhân, tổng, hiệu và hàm hợp | Các đạo hàm của $\sin^{-1} x$ và $\cos^{-1} x$ không được yêu cầu. |
| đạo hàm của tích và thương | Vd. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| tìm và sử dụng đạo hàm cấp một của hàm được xác định tham số hoặc ngầm định. | Vd. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. Vd. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Bao gồm cả ứng dụng trong các bài toán tiếp tuyến và pháp tuyến. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Các phương pháp là những phương pháp của Toán Thuần 2 (quy tắc tích, quy tắc thương và quy tắc chuỗi, với đường cong tham số và ẩn). Một đạo hàm được thêm vào — arctangent:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Ví dụ minh họa. Đạo hàm $y = \tan^{-1}(3x)$.
Sử dụng quy tắc chuỗi với kết quả ở trên: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
Khám phá
Độ dốc tại một điểm
gradient = dy/dx
Dù ẩn hay rõ, đạo hàm vẫn là độ dốc của tiếp tuyến — trượt điểm để quan sát.
3.5
Tích phân
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| mở rộng khái niệm 'đảo ngược đạo hàm' để bao gồm tích phân của $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ và $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Bao gồm các ví dụ như $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| sử dụng các quan hệ lượng giác trong việc thực hiện tích phân | Vd. sử dụng công thức nhân đôi để tích phân $\sin^2 x$ hoặc $\cos^2(2x)$. |
| tích phân các hàm hữu tỉ bằng cách phân tích thành phân số đơn | Giới hạn ở các loại phân số đơn như đã nêu trong chủ đề 3.1 ở trên. |
| nhận diện một hàm dưới dấu tích phân có dạng $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, và tính tích phân của các hàm như vậy | ví dụ: tích phân của $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| nhận biết khi nào một hàm dưới dấu tích phân có thể được coi là một tích có ích, và sử dụng tích phân từng phần | ví dụ: tích phân của $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| sử dụng phép đặt ẩn phụ cho trước để rút gọn và tính toán cả tích phân xác định hay bất định. | ví dụ: để tính tích phân $\sin^2 2x \cos x$ bằng phép đặt ẩn phụ $u = \sin x$. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Toán Thuần 3 bổ sung nhiều phương pháp mạnh mẽ.
- Một tích phân chuẩn mới: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Phân tích phân thức: tách một hàm hữu tỉ trước, sau đó tích phân từng phần như một logarit.
- Mẫu $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: điều này tích phân thành $k\ln|f(x)| + C$. Ví dụ như $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Tích phân từng phần, dùng cho một tích phân: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Tích phân theo phương pháp thế: một sự thay đổi biến số cho trước biến một tích phân khó thành một tích phân dễ.
Ví dụ minh họa. Tìm $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Sử dụng tích phân từng phần với $u = x$ và $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, nên $\dfrac{du}{dx} = 1$ và $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
Khám phá
Diện tích dưới đường cong
area = ∫ f(x) dx
Mọi phương pháp tích phân đều đo diện tích — kéo giới hạn để tính tổng.
3.7
Véc-tơ
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • sử dụng các ký hiệu chuẩn cho vectơ, tức là $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • thực hiện phép cộng và trừ vectơ và nhân một vectơ với một thực số, và giải thích các phép toán này theo nghĩa hình học | ví dụ: ‘$OABC$ là hình bình hành’ tương đương với $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. Dạng tổng quát của định lý tỷ lệ không bao gồm, nhưng hiểu rằng trung điểm của $AB$ có vectơ vị trí là $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ là yêu cầu. |
| • tính độ lớn của một vectơ, và sử dụng vectơ đơn vị, vectơ dịch chuyển và vectơ vị trí | Trong 2 hoặc 3 chiều. |
| • hiểu ý nghĩa của tất cả các ký hiệu được sử dụng khi phương trình đường thẳng được biểu diễn dưới dạng $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, và tìm phương trình đường thẳng, khi có đủ thông tin | ví dụ: tìm phương trình đường thẳng khi biết vectơ vị trí của một điểm trên đường thẳng và một vectơ chỉ phương, hoặc vectơ vị trí của hai điểm trên đường thẳng. |
| • xác định xem hai đường thẳng có song song, cắt nhau hay là chéo nhau, và tìm điểm giao cut của hai đường thẳng khi nó tồn tại | Không yêu cầu tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng chéo nhau. Không yêu cầu tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. |
| • sử dụng công thức để tính tích vô hướng của hai vectơ, và sử dụng tích vô hướng trong các bài toán liên quan đến đường thẳng và điểm. | ví dụ: tìm góc giữa hai đường thẳng, và tìm chân đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng; các câu hỏi có thể liên quan đến các vật thể 3D như khối hộp chữ nhật, tứ diện (lăng trụ), v.v. Không yêu cầu kiến thức về tích có hướng. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Một vector có cả độ lớn và hướng. Viết nó dưới dạng cột, hoặc $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, hoặc $\overrightarrow{AB}$.
- Độ lớn (chiều dài) của $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ là $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Một vector đơn vị có độ lớn $1$; chia một vector cho độ lớn của nó để tạo ra một vector đơn vị.
- Một vector vị trí chỉ ra vị trí của một điểm so với gốc tọa độ; một vector dịch chuyển $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ đi từ một điểm này đến điểm khác. Nhân với một thực số (số thuần túy) sẽ kéo dãn vector.
Đường thẳng và tích vô hướng
Đường thẳng đi qua điểm $\mathbf{a}$ theo hướng $\mathbf{b}$ có phương trình vector là $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Hai đường thẳng có thể song song, có thể cắt nhau tại một điểm, hoặc có thể là đường chéo nhau (không song song và không bao giờ gặp nhau).
Tích vô hướng (tích điểm) của $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ là
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
trong đó $\theta$ là góc giữa chúng. Do đó $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ có nghĩa là hai vector vuông góc với nhau.
Ví dụ minh họa. Tìm góc giữa $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ và $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Do đó $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, cho kết quả $\theta = 27.3^\circ$.
Khám phá
Cộng véc-tơ và tích vô hướng
Kéo hai véc-tơ. Xem véc-tơ hợp (đuôi nối đầu) và tích vô hướng, bằng không khi chúng vuông góc với nhau.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vector |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | độ lớn |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vector đơn vị |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | vị trí vectơ |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | vectơ dịch chuyển |
| scalar/ˈskeɪlə/ | thanh vô hướng |
| parallel/ˈpærəlel/ | song song |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | cắt nhau |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | đường thẳng chéo nhau |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | tích vô hướng |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | Phương trình vi phân |
| separable/ˈsepərəbl/ | biến số có thể tách rời |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | nghiệm tổng quát |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | điều kiện ban đầu |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | nghiệm riêng |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | số phức |
| real part/rɪəl pɑːt/ | phần thực |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | phần ảo |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | dạng tọa độ Descartes |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | số liên hợp |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | mô-đun |
3.8
Phương trình vi phân
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| thiết lập một phát biểu đơn giản liên quan đến tốc độ biến thiên dưới dạng phương trình vi phân | Việc giới thiệu và đánh giá hằng số tỷ lệ, nếu cần, được bao gồm. |
| tìm bằng phương pháp tích phân dạng giải tổng quát cho một phương trình vi phân bậc nhất mà trong đó các biến số tách rời | Bao gồm bất kỳ kỹ thuật tích phân nào từ chủ đề 3.5 ở trên. |
| sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giải riêng | |
| giải thích ý nghĩa của giải phương trình vi phân trong bối cảnh của bài toán được mô hình hóa bởi phương trình đó. | Khi phương trình vi phân được dùng để mô hình hóa một tình huống 'thực tế', không yêu cầu kiến thức chuyên sâu về bối cảnh đó. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Một phương trình vi phân liên hệ một đại lượng với tốc độ thay đổi của nó. Để giải phương trình bậc nhất có các biến tách rời, đưa tất cả các số hạng $y$ về một vế và tất cả các số hạng $x$ về vế kia, sau đó lấy tích phân hai vế. Điều này cho ta nghiệm tổng quát, chứa một hằng số. Một điều kiện ban đầu (giá trị đã biết) xác định hằng số này và cho ta nghiệm riêng.
Ví dụ minh họa. Giải $\dfrac{dy}{dx} = xy$, biết rằng $y = 1$ khi $x = 0$.
Tách biến và lấy tích phân:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Sử dụng $y = 1$ tại $x = 0$ cho ta $A = 1$, do đó $y = e^{x^2/2}$.
Khám phá
Trường độ dốc
Mỗi đoạn thẳng nhỏ biểu thị độ dốc $\frac{dy}{dx}$ tại đó. Một đường nghiệm đi theo các mũi tên — thay đổi điểm bắt đầu để xem một đường khác.
3.9
Số phức
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu khái niệm về số phức, ghi nhớ ý nghĩa của các thuật ngữ phần thực, phần ảo, mô-đun, argument (góc), số phức liên hợp, và sử dụng fact rằng hai số phức bằng nhau nếu và chỉ nếu cả phần thực và phần ảo đều bằng nhau | Các ký hiệu $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ cần được biết. Argument của một số phức thường đề cập đến góc $\theta$ sao cho $-\pi < \theta \leqslant \pi$, nhưng trong một số trường hợp khoảng $0 \leqslant \theta < 2\pi$ có thể thuận tiện hơn. Đáp án có thể sử dụng khoảng bất kỳ trừ khi câu hỏi quy định ngược lại. |
| thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và chia hai số phức được biểu diễn dưới dạng tọa độ Descartes $x + \text{i}y$ | Đối với các phép tính liên quan đến nhân hoặc chia, cần trình bày đầy đủ các bước tính toán. |
| sử dụng kết quả rằng, đối với phương trình đa thức có hệ số thực, bất kỳ nghiệm không thực nào xuất hiện theo cặp liên hợp | ví dụ: trong việc giải phương trình bậc ba hoặc bậc bốn nơi một nghiệm phức đã được cho. |
| biểu diễn số phức theo nghĩa hình học bằng cách sử dụng biểu đồ Argand | |
| thực hiện các phép toán nhân và chia hai số phức được biểu diễn dưới dạng cực $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Bao gồm các kết quả $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ và $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, và các kết quả tương ứng cho phép chia. |
| tìm hai căn bậc hai của một số phức | ví dụ: căn bậc hai của $5 + 12\text{i}$ dưới dạng tọa độ Descartes chính xác. Cần trình bày đầy đủ các bước tính toán. |
| hiểu một cách đơn giản các hiệu ứng hình học của việc liên hợp hóa một số phức và việc cộng, trừ, nhân và chia hai số phức | |
| minh họa các phương trình và bất phương trình đơn giản liên quan đến số phức bằng cách sử dụng vũ tuyến trong biểu đồ Argand | ví dụ: $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Một số phức có dạng $z = x + iy$, nơi $i^2 = -1$. Ở đây $x$ là phần thực và $y$ là phần ảo. Dạng $x + iy$ này là dạng tọa độ Descartes. Hai số phức chỉ bằng nhau khi phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằng nhau.
- Số liên hợp của $z = x + iy$ là $z^* = x - iy$. Đối với đa thức có hệ số thực, các nghiệm phi thực luôn xuất hiện thành cặp liên hợp.
- Mô-đun là $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (khoảng cách từ gốc tọa độ) và argument (biện chứng) là góc tạo bởi điểm đó, đo từ trục thực dương.
- Bạn có thể biểu diễn $z$ dưới dạng một điểm trên mặt phẳng Argand (mặt phẳng phức).
- Dạng cực là $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, trong đó $r = |z|$ và $\theta$ là argument. Phép nhân làm nhân các mô-đun và cộng các argument.
- Các vị trí hình học (loci) của các điểm thỏa mãn một điều kiện trên $z$ được vẽ trên mặt phẳng Argand — ví dụ: $|z - a| = r$ là một đường tròn, $|z - a| = |z - b|$ là đường trung trực, và $\arg(z - a) = \theta$ là nửa tia. Căn bậc hai của một số phức tìm được bằng cách giải $w^2 = z$.
Để thực hiện phép chia, nhân cả tử và mẫu với số liên hợp của mẫu.
Ví dụ minh họa. Viết $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ dưới dạng $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Một phương trình hoặc bất phương trình trong $z$ mô tả một vị trí hình học (đường đi hoặc vùng) trên mặt phẳng Argand. Ví dụ, $|z - a| = r$ là một đường tròn bán kính $r$ tâm tại $a$.
Khám phá
Sơ đồ Argand
Kéo điểm. Một số phức $a + bi$ là một điểm trên mặt phẳng; mô-đun của nó là khoảng cách từ gốc tọa độ và argument là góc.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | phương angle |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | biểu đồ Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | dạng cực |
| locus/ˈləʊkəs/ | tập hợp điểm |
3.9
Mẹo làm bài thi
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức nguyên tố trước khi lấy tích phân hoặc khai triển.
- Chọn kỹ thuật tích phân phù hợp (thay biến,分部积分, hay phân thức nguyên tố) dựa trên dạng của hàm dưới dấu tích phân.
- Sử dụng tích vô hướng (dot product) để tìm góc giữa các vector và kiểm tra tính vuông góc; viết phương trình đường thẳng dưới dạng $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Trình bày số phức ở dạng yêu cầu (Cartesian hoặc mô-đun-biện chứng) và biểu diễn chúng trên mặt phẳng Argand.
Bài học tương tác về chủ đề này
Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.