ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- ใช้พื้นที่ ปริมาตร และความคล้ายคลึง similarity
- ใช้อัตราส่วนสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- ใช้สมการวงกลม เส้นโค้งและความสัมพันธ์ของมุม
ความรู้พื้นฐาน: ผลบวกมุมในสามเหลี่ยม; พีทาโกรัส; หน่วยความยาว/พื้นที่/ปริมาตร
อธิบายและเลือกวิธีการ
รูปคล้ายรักษามุมที่ตรงกันและอัตราส่วนความยาว พื้นที่ขยายด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก sin =对面/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cos =ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, tan =对面/ด้านประชิดมุมฉาก
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (h,k) และรัศมี r มีสมการ (x−h)²+(y−k)²=r²
หนึ่งรอบเต็มคือ 360° หรือ 2 radians. ความยาวส่วนโค้ง (Arc length) = rθ ก็ต่อเมื่อ θ อยู่ในหน่วย radians เท่านั้น
scale factor (比例因子) $k$ เปลี่ยนทุก corresponding length $A_2=k^2A_1$ และ $V_2=k^3V_1$ สำหรับรูปคล้ายกัน หาก $k=3/2$ และ $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, จะได้ $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$ การเปลี่ยนเพียงมิติเดียวไม่สามารถใช้กฎรูปคล้ายนี้ได้
ตัวอย่างวิธีทำ. สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก 6 และ 8. c²=6²+8²=100, ดังนั้น c=10. สำหรับมุมตรงข้ามกับ 6, sin θ=6/10=0.6. สามเหลี่ยมคล้ายที่ขยายขนาดด้วยอัตราส่วน 3 จะมีพื้นที่เก้าเท่าของต้นฉบับ
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
บทนำนี้แนะนำทักษะต่างๆ ทักษะแต่ละอย่างมีใบงานและแบบฝึกหัดเฉพาะ: 18 และ 19. ทำตามลำดับนั้น
ฝึก 1
ภาชนะคล้ายกันมีพื้นผิว 96 และ 216 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรเล็กสุดคือ 160 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาปริมาตรใหญ่ที่สุด
เหตุผล. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. ปริมาตรใช้กำลังสาม: ได้ $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. การใช้อัตราส่วนพื้นที่โดยตรงจะทำให้ได้ปริมาตรที่ผิด
ฝึก 2
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 ซม. และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 5 ซม. จงหาความยาวของอีกด้านหนึ่ง พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ และค่าไซน์ของมุมที่ตรงข้ามกับด้านที่ยาว 5 ซม.
เหตุผล. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$
ฝึก 3
มุมภายในของสามเหลี่ยมสองมุมมีขนาด 42° และ 73° จงหามุมที่สามและมุมภายนอกที่อยู่ติดกัน จะใช้เพียงมุมเหล่านี้กำหนดความยาวของด้านทั้งหมดได้หรือไม่
เหตุผล. มุมที่สามมีขนาด $180-42-73=65$ องศา. มุมภายนอกที่ประชิดมุมนี้มีขนาด $180-65=115$ องศา เท่ากับ $42+73$ ด้วยกัน มุมกำหนดรูปร่างของรูปไม่กำหนดขนาด; สามเหลี่ยมคล้ายสามารถมีความยาวด้านที่แตกต่างกันได้
ฝึกฝน 4
เส้นตรงสองขนานถูกตัดด้วยเส้น transversal มุม corresponding หนึ่งมีค่า 68° หามุม corresponding ที่สอดคล้องกัน และมุมที่อยู่ติดกันบนเส้นที่สอง อธิบายเงื่อนไขใดให้เหตุผลแต่ละขั้นตอน
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลางแตกต่างกันด้วยปัจจัยสองเท่า การใช้เส้นผ่านศูนย์กลางใน πr² จะทำให้พื้นที่ใหญ่เกินจริงสี่เท่า
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ