ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- แก้และจำแนกสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่มีพารามิเตอร์
- ตีความสมการเชิงเส้นตัวแปรคู่เป็นเซตของคู่อันดับ
- ตีความความชันและจุดตัดแกนของฟังก์ชันเชิงเส้นในบริบท
- จำแนกระบบสมการเชิงเส้นสองสมการและตรวจสอบจุดตัด
- แสดงอสมการแบบเข้มและอสมการแบบรวมตัวแปรเดียวหรือตัวแปรคู่
ความรู้พื้นฐาน: รวมนพจน์ที่เหมือนกัน; แทนค่าคู่เรียงลำดับ; การคำนวณเลขที่มีเครื่องหมาย
อธิบายและเลือกวิธีการ
เก็บเทอมที่มีตัวแปรและค่าคงที่แยกต่างหาก สมการ ax+b=cx+d จะกลายเป็น (a-c)x=d-b หาก a-c ไม่เป็นศูนย์จะมีคำตอบเดียว; หากทั้งสองข้างลดรูปเป็นศูนย์จะมีคำตอบนับไม่ถ้วน; หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีค่าเป็นศูนย์แต่ค่าคงที่ไม่ใช่ศูนย์จะไม่มีคำตอบ ห้ามหารด้วยพารามิเตอร์ก่อนตรวจสอบว่าสามารถเป็นศูนย์ได้หรือไม่
สมการตัวแปรคู่ให้เซตของคู่อันดับ ใน y=mx+b, m คือการเปลี่ยนแปลงของ y ต่อหน่วย x และ b คือค่า y ที่ x=0 สำหรับโมเดลในบริบท ให้เพิ่มหน่วยให้กับทั้งสอง: ค่าเช่าแท็กซี่ C=3t+5 มีค่าธรรมเนียมเริ่มต้น 5 หน่วย และ 3 หน่วยต่อหน่วยเวลา จุดตัดแกนอาจอยู่นอกขอบเขตการใช้งานจริงแม้ว่าจะมีอยู่ทางพีชคณิตก็ตาม
สำหรับระบบสมการ ให้เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ทั้งสองและค่าคงที่ การคูณสมการใดสมการหนึ่งด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์จะได้เส้นตรงเดียวกัน; สัมประสิทธิ์ตัวแปรจับคู่กันแต่ค่าคงที่ต่างกันจะให้เส้นขนานที่แยกจากกัน มิฉะนั้นจุดตัดจะให้คู่ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสอง แทนค่าคู่ลงในสมการต้นฉบับทั้งสองเพื่อตรวจสอบ
การคูณหรือหารอสมการด้วยจำนวนลบจะเปลี่ยนทิศทางของอสมการ อสมการแบบเข้มไม่รวมขอบเขต ในขณะที่ ≤ หรือ ≥ รวมขอบเขต สำหรับตัวแปรคู่ ให้วาดเส้นตรงที่เกี่ยวข้องและทดสอบจุดหนึ่งนอกเส้นเพื่อบ่งบอกครึ่งระนาบที่อนุญาต แผนภาพคือตัวแทนของคำตอบทั้งหมด ไม่ใช่จุดเดียวที่ชอบที่สุด
เอกลักษณ์เป็นจริงสำหรับทุกอินพุตที่อนุญาต เริ่มต้นด้วย $ax+b=cx+d$ รวมพจน์: $(a-c)x=d-b$. ตรวจสอบ $a-c$ ก่อนทำการหาร ถ้า $a=c$ และ $b=d$, อินพุตจริงทุกค่าใช้ได้ ถ้ามีแต่ $a=c$, ไม่มีอินพุตใดใช้ได้ ในกรณีอื่น $x=(d-b)/(a-c)$ ให้คำตอบหนึ่ง
ตัวอย่างแสดงวิธีทำ. สำหรับ kx+6=2x+6, เมื่อ k=2 จะได้ 0=0 และมีคำตอบไม่จำกัดจำนวน; k≠2 จะได้ x=0. สำหรับ -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. สำหรับ y≤2x+1, (0,0) ใช้ได้และเส้นขอบทึบถูกรวมอยู่ด้วย ระบบ 2x+4y=10 และ x+2y=6 ไม่มีคำตอบเพราะเมื่อคูณสองเท่าพจน์ที่สองจะได้ด้านซ้ายเท่าเดิมเท่ากับ 12 ไม่ใช่ 10.
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
จัดประเภท solutions ของ $(p-1)x+3=2x+p$ สำหรับทุก real $p$.
เหตุผล. Collect terms เพื่อได้ $(p-3)x=p-3$. ที่ $p=3$, สมการคือ $0=0$, ดังนั้น every real $x$ ทำงาน. ที่ $p\ne3$, หารด้วย $p-3$ เพื่อให้ได้ $x=1$. ไม่มีค่าของ $p$ ที่ให้ no solution. Substitution of $x=1$ ให้ $p+2$ บนทั้งสอง side.
ฝึก 2
A hire charge $C$ หยวน มี fixed fee $f$ หยวน และ rate $r$ หยวน ต่อชั่วโมง สามชั่วโมง costing 31 หยวน; เจ็ดชั่วโมง costing 59 หยวน. หา $f,r$ และ greatest affordable whole number of hours with 80 หยวน.
เหตุผล. ใช้ $C=f+rt$. สมการคือ $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ และ $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. ลบ: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. แล้ว $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. Budget: $10+7t\le80$, ดังนั้น $t\le10$ ชั่วโมง. สิบชั่วโมงเต็ม affordable; สี่teen costing 87 หยวน.
ฝึก 3
อธิบายจุดทั้งหมดที่เป็นจริงกับ $y>2x-1$ และ $y\le-x+5$ จุด $(2,3)$ อยู่ในพื้นที่หรือไม่? ระบุช่วงค่าที่เป็นไปได้ของ $x$
เหตุผล. The first boundary is dashed และ the second solid. The common region lies above the first line และ on or below the second. ที่ $(2,3)$ the first condition is $3>3$, ซึ่ง fails. For the vertical interval to exist, $2x-1<-x+5$, ดังนั้น $x<2$. เส้นตรงตัดกันที่ $(2,3)$ แต่ their meeting point ถูก exclude.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
อย่าสับสนระหว่าง x=0 กับสัมประสิทธิ์ตัวแปรที่หายไป, กลับทิศทางเฉพาะเมื่อคูณ/หารด้วยจำนวนลบ, หรือระบายครึ่งระนาบจากความชันของเส้นเพียงอย่างเดียว
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ