ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- แยกตัวประกอบและกระจายพจน์โดยไม่เปลี่ยนค่าของนิพจน์
- ลดรูปนิพจน์เศษส่วนและรากบนโดเมนเดิม
- ใช้โครงสร้างของนิพจน์เพื่อระบุค่าศูนย์และสัมประสิทธิ์
ความรู้พื้นฐาน: กฎการกระจาย; ผลต่างของกำลังสอง; รากที่สองของจำนวนจริง
อธิบายและเลือกวิธีการ
การกระจายพจน์จะคูณแต่ละตัวประกอบเข้ากับตัวประกอบอื่น; การแยกตัวประกอบเป็นการย้อนกลับกระบวนการนั้น x²-5x+6=(x-2)(x-3), ดังนั้นรูปแบบผลคูณเปิดเผยค่าศูนย์ในขณะที่รูปแบบกระจายพจน์เปิดเผยสัมประสิทธิ์ เลือกรูปแบบที่ช่วยในการตอบคำถามแทนที่จะมองว่าการแสดงรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดีเสมอไป
ตัดตัวประกอบออก อย่าตัดเทอมในผลบวก (x²-4)/(x-2) จะกลายเป็น x+2 เฉพาะเมื่อ x≠2 เนื่องจากนิพจน์เดิมไม่มีความหมายที่ 2 ข้อจำกัดอาจเหลืออยู่หลังจากตัวส่วนหายไปทั้งหมดจากรูปแบบที่ลดรูปแล้ว ระบุข้อจำกัดก่อนตัดตัวประกอบ แล้วนำมันไปใช้กับการเปรียบเทียบหรือการแก้สมการต่อไป
กฎเลขชี้กำลังขึ้นอยู่กับบริบท: a^m a^n=a^(m+n) และ (a^m)^n=a^(mn) เป็นจริงในเซตจำนวนจริงที่อนุญาตให้ใช้ เลขชี้กำลังลบสร้างค่าผกผันและต้องฐานไม่เป็นศูนย์ สำหรับรากที่สองของจำนวนจริง √(x²)=|x| เนื่องจากรากที่สองหลักมีค่าไม่ติดลบ จึงไม่ใช่ x สำหรับทุกจำนวนจริง
การตรวจสอบความเทียบเท่าด้วยการแทนค่าตัวเลขอาจช่วยพบข้อผิดพลาดได้ แต่การมีค่าตรงกันเพียงค่าเดียวไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสองนิพจน์เท่ากัน นิพจน์ทางพีชคณิตที่ถูกต้องพร้อมโดเมนที่ตรงกันจึงจะยืนยันความเท่ากันได้ เมื่อโจทย์ต้องการหาสัมประสิทธิ์ ให้กระจายเทอมเท่าที่จำเป็นและพิจารณาทุกส่วนที่มีผลต่อเลขชี้กำลังนั้น
Equivalent expressions ต้อง agree on the stated domain . $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ ใช้ได้เฉพาะกับ $x\ne5$ เท่านั้น การตัดทอนจะลบตัวประกอบออก แต่ไม่สามารถคืนค่าเข้าที่ห้ามไว้ได้ และ $\sqrt{x^2}=|x|$ ด้วย เพราะรากที่สองหลักไม่สามารถเป็นจำนวนลบได้
ตัวอย่างแสดงวิธีทำ. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 สำหรับ x≠3. ที่ x=3 ค่าเริ่มต้นจะหาค่าไม่ได้. สำหรับ x=-5, √(x²)=5=|x|. ใน (2x+1)(x-4), สัมประสิทธิ์ของ x คือ -8+1=-7 และนิพจน์ทั้งหมดคือ 2x²-7x-4.
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
จัดรูป $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. ระบุข้อจำกัดเดิมทั้งหมดและอธิบายว่าทำไม $F$ จึงไม่เท่ากับ $x/(x+4)$ บนโดเมนทั้งหมดของสูตรหลังนั้น.
การให้เหตุผล. แยกตัวประกอบเศษ $x(x-4)$ และส่วน $(x-4)(x+4)$.โดเมนดั้งเดิมยกเว้น $x=4,-4$. การตัดทอนให้ $F(x)=x/(x+4)$ สำหรับ $x\ne4,-4$. สูตรหลังนี้โดยเพียงอย่างเดียวอนุญาตให้ $4$, ซึ่งให้ $1/2$, ในขณะที่ $F(4)$ ไม่กำหนดค่าได้
ฝึก 2
หาสัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $(3x-2)(x+5)$ และหาค่า $\sqrt{(x-5)^2}$ เมื่อ $x=1$
เหตุผล. การกระจายให้ผลเป็น $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, ดังนั้นสัมประสิทธิ์คือ 13. รากของสมการคือ $|x-5|$; ที่จุด $x=1$, ค่าที่ได้คือ $|-4|=4$, ไม่ใช่ $-4$ หรือ 16
ฝึก 3
นักเรียนทดสอบ $x=2$ และสรุปว่า $x^2$ และ $2x$ เทียบเท่ากัน ยืนยันว่าสรุปผิด และแก้เมื่อใดที่พวกมันสอดคล้องกันจริงๆ
เหตุผล. ที่ค่า $x=3$, ผลลัพธ์ที่ได้คือ 9 และ 6, ดังนั้นการทดสอบที่ตรงกันเพียงครั้งเดียวไม่ใช่หลักฐานที่ยืนยันได้. แก้ $x^2=2x$ โดยเขียนในรูป $x(x-2)=0$, ซึ่งให้คำตอบที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ $x=0,2$
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
สูตรที่จัดรูปแล้วไม่ใช่ฟังก์ชันที่เทียบเท่ากันบนโดเมนที่ใหญ่กว่าโดยอัตโนมัติ; การตัดพจน์ข้ามเครื่องหมายบวกเป็นเรื่องที่ผิด
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ