ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
อ้างอิงตามกรอบ Digital SAT งานทดสอบบนกระดาษเหล่านี้ไม่ใช่แบบ adaptive และไม่ทำนายคะแนนที่ปรับระดับแล้ว
- ประยุกต์ใช้การขยายขนาดความยาว พื้นที่ และปริมาตรในรูปที่คล้ายกัน
- ใช้มุมของเส้นขนานและผลรวมมุมของสามเหลี่ยมเพื่อหาค่าที่ไม่ทราบค่า
- แยกแยะ similarity (相似) จาก congruence (全等) และข้อมูลเพียงพอ
ความรู้พื้นฐาน: ผลบวกมุมในสามเหลี่ยม; พีทาโกรัส; หน่วยความยาว/พื้นที่/ปริมาตร
อธิบายและเลือกวิธีการ
สำหรับรูปที่คล้ายกันที่มีอัตราส่วนความยาว k ความยาวที่สอดคล้องกันจะขยายเป็น k, พื้นที่เป็น k² และปริมาตรเป็น k³ กฎเหล่านี้ใช้ได้เมื่อมิติที่สอดคล้องกันทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมกัน กระบอกทรงที่มีเพียงรัศมีเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าแต่ความสูงคงที่ จะมีปริมาตรเป็นสี่เท่า ไม่ใช่แปดเท่า ระบุก่อนว่ามิติใดถูกขยายก่อนจึงจะเลือกเลขชี้กำลังได้ถูกต้อง
ใช้ metric ทางเรขาคณิตที่ถูกต้อง: พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานคูณด้วย perpendicular height (垂直高度); ปริมาตรทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ฐานคูณด้วยความสูง Surface area เพิ่มหน้าสัมผัสที่โผล่出来 ส่วน volume วัดพื้นที่ภายในที่ปิดล้อม Slant length ไม่ได้ automatically เป็น perpendicular height ที่สูตรพื้นที่ต้องการ ต้องเพิ่มหน่วยกำลังสองหรือกำลังสามให้กับผลลัพธ์
มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน. สำหรับเส้นขนานที่ถูกตัดด้วยเส้นประ, มุม correspending และ alternate interior equal, และ same-side interior sum to 180°. มุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันเป็น 180°; มุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในที่อยู่ไกลสองมุม. กฎเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความขนานที่ระบุหรือทำเครื่องหมาย, ไม่ใช่ลักษณะของภาพวาด
สามเหลี่ยมคล้ายมีมุมที่สอดคล้องกันและด้านที่สอดคล้องกันแปรผันตามกัน; สามเหลี่ยมเท่ากันยังมีด้านที่สอดคล้องกันยาวเท่ากัน มุมสองมุม足以กำหนดความคล้ายแต่ไม่พอจะบอกความเท่ากัน ควรรักษาความสอดคล้องกันในการเขียนอัตราส่วน การเรียงลำดับด้าน-ด้าน-มุมไม่ได้รับประกันความเท่ากันเสมอไป ในขณะที่ด้าน-มุม-ด้านมีมุมอยู่ระหว่างด้านทั้งสอง
scale factor (比例因子) $k$ เปลี่ยนทุก corresponding length $A_2=k^2A_1$ และ $V_2=k^3V_1$ สำหรับรูปคล้ายกัน หาก $k=3/2$ และ $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, จะได้ $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$ การเปลี่ยนเพียงมิติเดียวไม่สามารถใช้กฎรูปคล้ายนี้ได้
**ตัวอย่างวิธีทำ.**styled solid ที่คล้ายกันสองรูปมีอัตราส่วนความยาวขอบ 2:3 ดังนั้นอัตราส่วนพื้นที่ผิวคือ 4:9 และอัตราส่วนปริมาตรคือ 8:27. สวนสามเหลี่ยมที่มีฐานยาว 12 เมตร และสูงตั้งฉาก 5 เมตร มีพื้นที่ 30 ตารางเมตร ². หากสามเหลี่ยมมีมุมภายใน 48° และ 67°, มุมที่สามคือ 65° และมุมภายนอกที่ติดกับมุมนั้นคือ 115°=48°+67°.
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
ภาชนะคล้ายกันมีพื้นผิว 96 และ 216 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรเล็กสุดคือ 160 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาปริมาตรใหญ่ที่สุด
เหตุผล. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. ปริมาตรใช้กำลังสาม: ได้ $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. การใช้อัตราส่วนพื้นที่โดยตรงจะทำให้ได้ปริมาตรที่ผิด
ฝึก 2
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 ซม. และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 5 ซม. จงหาความยาวของอีกด้านหนึ่ง พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ และค่าไซน์ของมุมที่ตรงข้ามกับด้านที่ยาว 5 ซม.
เหตุผล. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$
ฝึก 3
มุมภายในของสามเหลี่ยมสองมุมมีขนาด 42° และ 73° จงหามุมที่สามและมุมภายนอกที่อยู่ติดกัน จะใช้เพียงมุมเหล่านี้กำหนดความยาวของด้านทั้งหมดได้หรือไม่
เหตุผล. มุมที่สามมีขนาด $180-42-73=65$ องศา. มุมภายนอกที่ประชิดมุมนี้มีขนาด $180-65=115$ องศา เท่ากับ $42+73$ ด้วยกัน มุมกำหนดรูปร่างของรูปไม่กำหนดขนาด; สามเหลี่ยมคล้ายสามารถมีความยาวด้านที่แตกต่างกันได้
ฝึกฝน 4
เส้นตรงสองขนานถูกตัดด้วยเส้น transversal มุม corresponding หนึ่งมีค่า 68° หามุม corresponding ที่สอดคล้องกัน และมุมที่อยู่ติดกันบนเส้นที่สอง อธิบายเงื่อนไขใดให้เหตุผลแต่ละขั้นตอน
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
ใช้ k² หรือ k³ เฉพาะเมื่อรูปทรงทั้งหมดถูกสเกล; อย่าอนุมานเส้นขนานหรือความสูงตั้งฉากจากรูปวาดที่ไม่มีการทำเครื่องหมาย
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ