A.3 · กลุ่ม เซตผลคูณและฟังก์ชันผลquotient

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: สัจพจน์กลุ่ม ฟังก์ชัน ความหารลงตัวของจำนวนเต็ม และการสลับที่

• ตรวจสอบโครงสร้างกลุ่ม คำนวณลำดับขององค์ประกอบและดรรชนีของกลุ่มย่อย
• ใช้เคอร์เนลและภาพเพื่อระบุกลุ่มผลคูณ
• แยกแยะกลุ่มปกติออกจากกลุ่มย่อยทั่วไป
• จำแนกการสลับที่แบบคอนจูเกทตามชนิดของรอบ

** coset **: การเลื่อนตำแหน่งของกลุ่มย่อยที่เป็นส่วนหนึ่งของพาร์ติชัน coset

** normal subgroup **: กลุ่มย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การคอนจูเกทโดยองค์ประกอบทุกตัวในกลุ่ม

ก่อนคำนวณอันดับ ให้ตรวจสอบการปิด, การประกอบ, element Identity และ element Inverse สำหรับทุก element ภายใต้ operation ที่กำหนด Subset อาจสืบทอดการประกอบแต่ล้มเหลวในการปิดหรือขาด element Identity ในกลุ่มจำกัด อันดับของ element คือเลขชี้กำลังบวกน้อยที่สุดที่ให้ค่าเป็น identity ในกลุ่มเชิงบวก Z/nZ เป็นพหุคูณบวกน้อยที่สุดที่ให้ค่าเป็นศูนย์; อันดับของเศษเหลือ a คือ n/gcd(a,n) ทฤษฎีบทของลากรองว่าอันดับของ subgroup หารอันดับของกลุ่มได้ ผลกลับไม่ใช่ทฤษฎีบทการมีอยู่ทั่วไป และอันดับของกลุ่มไม่เท่ากับอันดับของแต่ละ element

Left coset gH คือการเลื่อนของ subgroup H Cosets มีขนาดเท่ากันและแบ่งกลุ่มออก ดังนั้น index คือ |G|/|H| ในกลุ่มจำกัด ในกลุ่มเชิงบวกเขียน g+H การอยู่ใน coset เดียวกันหมายความว่าผลต่างอยู่ใน H โดยปกติ coset ไม่ใช่ subgroup เพราะอาจขาด element Identity

Homomorphism รักษาการดำเนินการ Its kernel ประกอบด้วยองค์ประกอบที่ถูกส่งไปยังเอกลักษณ์ และ image ประกอบด้วยค่าที่เข้าถึงได้จริง Every kernel เป็นปกติ Theorem Isomorphism แรกระบุ G/ker(phi) กับ im(phi); อย่าแทน image ด้วย codomain ทั้งหมดเว้นแต่ map นั้นจะ onto

Quotient multiplication is well defined only when H is normal. All subgroups of an abelian group are normal. In a nonabelian group test gHg^−1=H; a subgroup of index two is normal. For permutations compose in the stated convention, here rightmost first. Disjoint cycle lengths give the permutation order by their least common multiple. Conjugation hσh⁻¹ relabels the elements in σ’s cycles, so it preserves cycle lengths; conversely permutations with the same cycle lengths can be related by a relabelling. Thus conjugacy classes in S_n correspond to partitions of n, including fixed-point cycles. In S4 the types are 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 and 4: five classes, not one class for each possible element order. The types 2+1+1 and 2+2 both have order two but are not conjugate.

กำหนด phi จาก Z/12Z ไปยัง Z/3Z โดยการลด residues modulo 3 มันเป็น onto และรักษาการบวก Kernel H ของมันคือ {0,3,6,9} ดังนั้น |H|=4 และดัชนีคือ 12/4=3 Cosets อื่นๆ คือ {1,4,7,10} และ {2,5,8,11} ดังนั้น (Z/12Z)/H จึง isomorphic กับ Z/3Z องค์ประกอบ 3 ในกลุ่มดั้งเดิมมีลำดับ 12/gcd(3,12)=4 ไม่ใช่ 3

Quotient มีหนึ่งองค์ประกอบต่อหนึ่ง coset ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่งองค์ประกอบของ kernel Homomorphism อาจไม่จำเป็นต้องเป็น onto ต่อ codomain ที่ระบุของมัน

ในกลุ่มเพิ่ม $\mathbb Z/18\mathbb Z$, ให้ $H=\langle6\rangle$. รายการ H และ cosets ของมัน. กำหนดลำดับของ 6 และระบุกลุ่มผลคูณ

วิธีทำตัวอย่าง

$H=\{0,6,12\}$ มีขนาดสาม. Six cosets are $r+H=\{r,r+6,r+12\}$ for $r=0,1,2,3,4,5$. They partition all 18 residues. The element 6 has order three, while the quotient has order six. Reduction modulo หก is onto with kernel H, so $(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. Normality holds because the original group is abelian.

ใน $S_3$, ให้ $H=\{e,(12)\}$. ตรวจสอบว่า $H$ เป็นปกติหรือไม่, และตัดสินใจว่าการคูณ coset นิยามกลุ่มผลคูณหรือไม่. แยกกันค้นหาลำดับของ $(123)(45)$ ใน $S_5$

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

การ-queryate โดย $(123)$ ส่ง $(12)$ ไปยัง $(23)$ ซึ่งอยู่นอก H ดังนั้น H จึงไม่เป็นปกติ กลุ่มคอกทางซ้ายยังคงแบ่ง $S_3$ ออกเป็นส่วนที่ไม่ซ้อนทับกัน แต่การคูณของกลุ่มคอกเหล่านี้ไม่ได้กำหนดได้อย่างถูกต้องโดยไม่ขึ้นอยู่กับตัวแทน วงแยกใน $(123)(45)$ มีความยาวสามและสอง ดังนั้นอันดับของมันคือ $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. อันดับขององค์ประกอบและดรรชนีของกลุ่มย่อยเป็นปริมาณที่แตกต่างกัน