กลุ่ม, เซ็ตผลคูณ และฟังก์ชันควอเทียนต์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| coset/ˈkɒset/ | coset |
| normal subgroup/ˈnɔːml ˈsʌbɡruːp/ | normal subgroup |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- ตำแหน่งนาฬิกา 12 ตำแหน่งสามารถจัดกลุ่มออกเป็นสามชั้นโดยไม่สูญเสียกฎของการบวกชั่วโมง ตำแหน่งใดต้องกลายเป็นสิ่งเทียบเท่า?
- เป้าหมายของคุณ: ตรวจสอบโครงสร้างกลุ่มและคำนวณลำดับขององค์ประกอบและดัชนีของกลุ่มย่อย
อ่านความสัมพันธ์
- ก่อนที่จะคำนวณลำดับ ตรวจสอบการปิด (closure), การรวมกลุ่ม (associativity), Identity และ Inverse สำหรับทุกองค์ประกอบภายใต้การดำเนินการที่กำหนด กลุ่มย่อยสามารถสืบทอดการรวมกลุ่มได้แต่อาจล้มเหลวในการปิดหรือละเลย identity ในกลุ่มที่มีจำนวน有限的，ลำดับขององค์ประกอบคือกำลังบวกน้อยที่สุดที่ให้ identity ในกลุ่มเชิงบวก Z/nZ คือตัวคูณบวกน้อยที่สุดที่ให้ศูนย์; ลำดับของ residue a คือ n/gcd(a,n) ทฤษฎีบทของ Lagrange บอกว่าลำดับของกลุ่มย่อยหารลำดับของกลุ่มได้ การย้อนกลับไม่ใช่ทฤษฎีบทการมีอยู่ทั่วไป และลำดับของกลุ่มไม่เท่ากับลำดับของแต่ละองค์ประกอบ
- ใช้ kernel และ image เพื่อระบุกลุ่มquotient
What is the order of 8 in the additive group Z/20Z?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The least positive k with 8k divisible by 20 is 5; equivalently 20/gcd(8,20)=5.
ใช้กฎที่กำหนด
- Coset ทางซ้าย gH คือการเลื่อนของกลุ่มย่อย H cosets มีขนาดเท่ากันและแบ่งกลุ่มออก ดังนั้นดัชนีคือ |G|/|H| ในกลุ่มที่มีจำนวน有限的 ในกลุ่มเชิงบวกเขียน g+H การอยู่ใน coset เดียวกันหมายความว่าผลต่างอยู่ใน H coset โดยทั่วไปไม่เป็นกลุ่มย่อยเองเพราะอาจละเลย identity
- แยกแยะ normal subgroups ออกจากกลุ่มย่อยทั่วไป
A homomorphism from a finite group of order 30 has kernel of order 5. How many elements are in its image?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Fibres are kernel cosets of size 5, so the image has 30/5=6 elements regardless of the codomain size.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- Homomorphism รักษาการดำเนินการ Kernel ของมันประกอบด้วยองค์ประกอบที่ถูกส่งไปยัง identity และ image ของมันประกอบด้วยค่าที่เข้าถึงได้จริง ทุก kernel เป็น normal First isomorphism theorem ระบุ G/ker(phi) กับ im(phi); อย่าแทน image ด้วย codomain ทั้งหมดยกเว้นว่าแผนที่นั้นจะเป็น onto
- จำแนกการ conjugate ของการเรียงสับเปลี่ยนตามประเภท cycle
กำหนด phi จาก Z/12Z ไปยัง Z/3Z โดยการลด residues modulo 3 มันเป็น onto และรักษาการบวก Kernel H ของมันคือ {0,3,6,9} ดังนั้น |H|=4 และดัชนีคือ 12/4=3 Cosets อื่นๆ คือ {1,4,7,10} และ {2,5,8,11} ดังนั้น (Z/12Z)/H จึง isomorphic กับ Z/3Z องค์ประกอบ 3 ในกลุ่มดั้งเดิมมีลำดับ 12/gcd(3,12)=4 ไม่ใช่ 3
The permutation (1 2 3)(4 5) has order ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Disjoint cycles require a multiple of both 3 and 2 steps; lcm(3,2)=6.
ใช้รูปแบบงาน
- การคูณ quotient ถูกกำหนดอย่างชัดเจนก็ต่อเมื่อ H เป็น normal กลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่ม abelian เป็น normal ในกลุ่ม nonabelian ทดสอบ gHg^−1=H; กลุ่มย่อยที่มีดัชนีสองเป็น normal สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน compose ตามข้อบังคับที่กำหนดที่นี่เริ่มจากขวาสุด ความยาว cycle ที่ไม่ทับซ้อนกันให้ลำดับของการเรียงสับเปลี่ยนโดย least common multiple ของพวกมัน Conjugation hσh⁻¹ เปลี่ยนชื่อองค์ประกอบใน cycles ของ σ ดังนั้นจึงรักษาความยาว cycle; ในทางกลับกัน การเรียงสับเปลี่ยนที่มีความยาว cycle เดียวกันสามารถเชื่อมโยงกันได้โดยการเปลี่ยนชื่อ ดังนั้นคลาส conjugacy ใน S_n สอดคล้องกับการ partition ของ n รวมถึง cycle ของจุดคงที่ ใน S4 ประเภทคือ 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 และ 4: ห้าคลาส ไม่ใช่หนึ่งคลาสสำหรับแต่ละลำดับขององค์ประกอบที่เป็นไปได้ ประเภท 2+1+1 และ 2+2 ทั้งสองมีลำดับสองแต่ไม่ conjugate กัน
- จำแนกการ conjugate ของการเรียงสับเปลี่ยนตามประเภท cycle
Quotient มีหนึ่งองค์ประกอบต่อหนึ่ง coset ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่งองค์ประกอบของ kernel Homomorphism อาจไม่จำเป็นต้องเป็น onto ต่อ codomain ที่ระบุของมัน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ตรวจสอบโครงสร้างกลุ่มและคำนวณลำดับขององค์ประกอบและดรรชนีของกลุ่มย่อย
Every subgroup of a nonabelian group is normal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
In S3, conjugating the subgroup {identity,(1 2)} by (1 2 3) gives {identity,(2 3)}, a different subgroup.
รักษาระยะห่าง
- coset — การเลื่อนของกลุ่มย่อยที่สร้างเป็นหนึ่งของส่วนแบ่ง coset
- normal subgroup — กลุ่มย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การ conjugate โดยสมาชิกทุกตัวในกลุ่ม
- ตรวจสอบโครงสร้างกลุ่มและคำนวณลำดับของสมาชิกและดัชนีของกลุ่มย่อย
- ใช้ kernel และ image เพื่อระบุกลุ่มquotient
- แยกแยะ normal subgroups ออกจากกลุ่มย่อยทั่วไป
- จำแนกการ conjugate ของการเรียงสับเปลี่ยนตามประเภท cycle
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.