A.2 · พีชคณิตนามธรรมและทฤษฎีจำนวน

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: การคำนวณจำนวนเต็ม เซต ฟังก์ชัน และการพิสูจน์โดยตัวอย่าง反驳

• ใช้กลุ่ม กลุ่มย่อย โฮโมมอร์ฟิซึม และโครงสร้างควอโอเทนต์
• แยกแยะวง, วงอินทิกรัล และฟิลด์
• ประยุกต์การใช้การหาร habis, ความเท่ากันทางเศษส่วน และทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

โฮโมมอร์ฟิซึม: ฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง

ฟิลด์: แหวนคอมมิูเททีฟที่มีอินเวอร์สสำหรับทุกสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์

กลุ่มต้องมีคุณสมบัติปิด การประกอบกัน Identity และอินเวอร์ส ส่วนความคอมมิউแททีฟเป็นเงื่อนไขเพิ่มเติม

โฮโมมอร์ฟิซึมรักษาการดำเนินการ คีเนล (kernel) เป็นNORMAL SUBGROUP และใช้ระบุสมาชิกที่映射ไปยัง Identity

ฟิลด์อนุญาตให้หารด้วยสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัว จำนวนเต็มเป็น Ring แต่ไม่ใช่ Field

ทำงานกับความสมมูลแบบ mod n Residue a มี INVERSE แบบคูณก็ต่อเมื่อ gcd(a,n)=1เท่านั้น

modulo 8, 3 มี inverse คือ 3 เพราะ 3·3=9≡1 แต่ 2 ไม่มี inverse เพราะ gcd(2,8)=2 modulo จำนวน prime, ทุก residual ที่ไม่เป็นศูนย์จะมี inverse; สิ่งนี้ให้ finite field

ห้าม cancel factor ในสมการ modular โดยไม่ตรวจสอบว่ามันมี inverse หรือไม่

เปรียบเทียบกลุ่มการบวกและโครงสร้างการคูณของ $\mathbb Z/5\mathbb Z$ และ $\mathbb Z/6\mathbb Z$ ระบุหน่วยการคูณทั้งหมดในแต่ละกรณี อธิบายว่าทำไมการลบศูนย์ออกจึงไม่ทำให้เหลือกลุ่มการคูณเสมอไป

วิธีทำตัวอย่าง

ทั้งสองชุดเศษส่วนเป็นกลุ่มการบวก: คุณสมบัติปิด การประกอบ และ Identity มาจากการบวกจำนวนเต็ม และ $-a$ เป็นอินเวอร์สการบวก Residue ที่มีการคูณคือ UNIT ก็ต่อเมื่อ GCD กับโมดูลัสเท่ากับหนึ่ง หน่วย modulo ห้าคือ $1,2,3,4$; modulo หกคือ $1,5$ Modulo หก, $2\cdot3=0$ แม้ทั้งสองตัวประกอบจะไม่เป็นศูนย์ เซตที่ไม่ใช่ศูนย์ยังไม่ปิดภายใต้การคูณ Modulo ห้า ทุกเศษส่วนที่ไม่ใช่ศูนย์มีอินเวอร์ซ ดังนั้น Ring นี้ถึงจะเป็นฟิลด์ Ring กลุ่มการบวกและกลุ่มหน่วยเป็นโครงสร้างที่แตกต่างกัน

ฟังก์ชันลดรูป $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ กำหนดโดย $\phi(n)=[n]$ หา Keinel, Image และ Quotient แก้ $2x\equiv2\pmod6$ อย่างสมบูรณ์ และอธิบายว่าทำไมการตัด 2 mod 6 จึงล้มเหลว

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

ฟังก์ชันนี้รักษาการบวกและการคูณ Keinel ของมันคือ $6\mathbb Z$ และ Image คือเศษทั้งหก ตัว Quotient ใช้ระบุจำนวนเต็มที่มีเศษเท่ากัน ดังนั้น $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$ ความสมมูลหมายถึง $6\mid2(x-1)$ หรือเทียบเท่ากับ $3\mid x-1$ ดังนั้น $x\equiv1\pmod3$ ให้เศษ $1$ และ $4$ mod หก แทนค่าได้ถูกต้องทั้งคู่ การตัด 2 โดยยังคงโมดูลัสหกจะทำให้สูญเสีย 4; 2 ไม่มีอินเวอร์สการคูณที่นั่น