C.3 · สมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น

GRE · GRE Subject Test · GRE Mathematics · หัวข้อ 8

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้ก่อนหน้า: การหาอนุพันธ์, การอินทิเกรต, ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล และสมการกำลังสอง

แก้สมการอันดับหนึ่งแบบแยกตัวแปรได้
แก้สมการอันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่
ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขความไม่ซ้ำกัน

เงื่อนไขเริ่มต้น: ค่าของคำตอบหรืออนุพันธ์ที่กำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้น

รากเฉพาะ: รากของพหุนามที่กำหนดรูปแบบคำตอบเอ็กซ์โพเนนเชียล

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	initial condition
characteristic root/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ruːt/	characteristic root

เลือกใช้วิธีและให้เหตุผลประกอบ

สำหรับ y′=ky การแยกตัวแปรและการอินทิเกรตจะได้ y=Ce^(kt); ฟื้นฟูคำตอบศูนย์หากมีการหารด้วย y ค่าเริ่มต้นจะกำหนด C

สมการอันดับสองเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่ใช้พหุนามเฉพาะ รากที่แตกต่างกันให้ผลลัพธ์เป็นเอ็กซ์โพเนนเชียล; รากซ้ำต้องใช้ (C1+C2t)e^(rt)

รากเชิงซ้อน α±iβ ให้ e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). การเคลื่อนที่จริงประกอบด้วยข้อมูลทั้งแอมพลิจูดและเฟส

การมีอยู่และความไม่ซ้ำกันขึ้นอยู่กับสมมติฐานใกล้จุดเริ่มต้น สัมประสิทธิ์เอกฐานหรือความล้มเหลวของพฤติกรรม Lipschitz局部สามารถทำให้ข้อสรุปความไม่ซ้ำกันที่เป็นที่รู้จักล้มเหลวได้

ตัวอย่างเหตุผลประกอบ

แก้ y″+4y=0 โดยมี y(0)=3 และ y′(0)=4 รากของพหุนามลักษณะเฉพาะคือ ±2i ดังนั้น y=A cos2t+B sin2t เงื่อนไขแรกให้ A=3; การหาอนุพันธ์จะได้ y′(0)=2B=4 ดังนั้น B=2

สมการต่างและเงื่อนไขเริ่มต้น: ตัวอย่างหลักสูตร — ภาพประกอบจากรายวิชาเดิม; ค่าต่างๆ เป็นของตัวอย่างที่หาคำตอบแล้ว ไม่ใช่แบบฝึกหัดในภายหลัง

เงื่อนไขและตัวอย่าง反驳

รากลักษณะซ้ำต้องการตัวประกอบ t; รากเลขยกกำลังเดียวกันสองตัวไม่ใช่คำตอบที่เป็นอิสระ.

การประยุกต์ใช้แบบมีคำแนะนำ

แก้ $y''-4y'+4y=0$ ด้วย $y(0)=1$, $y'(0)=0$. ตรวจสอบทั้งสองเงื่อนไขเริ่มต้นและสมการ

วิธีทำตัวอย่าง

พหุนามเฉพาะคือ $(r-2)^2$. คำตอบอิสระคือ $e^{2t}$ และ $te^{2t}$, ดังนั้น $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. ค่าเริ่มต้นให้ $C_1=1$; อนุพันธ์ที่ศูนย์ให้ $2C_1+C_2=0$, ดังนั้น $C_2=-2$

$$y(t)=(1-2t)e^{2t},\quad y'(t)=-4te^{2t},\quad y''(t)=(-4-8t)e^{2t}.$$

การแทนค่าจะได้ $y''-4y'+4y=0$, และค่าเริ่มต้นทั้งสองเป็นจริง. สองสำเนาของ $e^{2t}$ จะไม่ครอบคลุมพื้นที่คำตอบ

การถ่ายโอนแบบอิสระ

แสดงว่าปัญหาค่าเริ่มต้น $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ มีคำตอบมากกว่าหนึ่งสำหรับ $t\ge0$. ระบุสมมติฐานความไม่ซ้ำกันมาตรฐานที่หายไป

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

คำตอบหนึ่งคือศูนย์โดยนัย สำหรับ $a\ge0$ ใด ๆ ตั้งค่า $y_a(t)=0$ สำหรับ $0\le t\le a$ และ $y_a(t)=(t-a)^2$ สำหรับ $t>a$. ลาดับของฟังก์ชันเป็นศูนย์บนช่วงแรกและ $2(t-a)$ บนช่วงที่สอง; ทั้งสองฝั่งมีลาดับเป็นศูนย์ที่ a ดังนั้น $y_a$ จึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ และเป็นไปตามสมการและเงื่อนไขเริ่มต้น ฝั่งขวาต่อเนื่องแต่ไม่เป็น Lipschitz ท้องถิ่นใน y ที่จุดศูนย์: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ มีค่าไม่จำกัดจำนวน การมีอยู่ไม่บ่งบอกถึงความเดียว และหารด้วย $\sqrt y$ จะทำให้สูญเสียคำตอบที่เกี่ยวข้องกับเวลา