สมการเชิงอนุพันธ์และเงื่อนไขเริ่มต้น
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | initial condition |
| characteristic root/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ruːt/ | characteristic root |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- สมการเชิงอนุพันธ์เดียวกันนี้อธิบายการเคลื่อนที่ได้ไม่จำกัดจำนวน จนกว่าเงื่อนไขเริ่มต้นจะเลือกมาหนึ่งแบบ
- เป้าหมายของคุณ: แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งแบบแยกตัวแปรได้
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับ y′=ky การแยกตัวแปรและการอินทิเกรตจะได้ y=Ce^(kt); ฟื้นฟูคำตอบเป็นศูนย์หากมีการหารด้วย y ค่าเริ่มต้นจะกำหนดค่า C
- แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่
For y′=2y and y(0)=3, the solution is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The initial condition fixes C=3.
ใช้กฎที่กำหนด
- สมการเชิงเส้นอันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่ใช้พหุนามลักษณะเฉพาะ รากที่แตกต่างให้ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล; รากซ้ำต้องใช้ (C1+C2t)e^(rt)
- ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขความเดียว
For a repeated root r=−1, the general solution includes:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The factor t supplies a second independent solution.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- รากเชิงซ้อน α±iβ ให้ e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt) การเคลื่อนที่จริงประกอบด้วยข้อมูลทั้งแอมพลิจูดและเฟส
- ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขความเดียว
แก้ y″+4y=0 โดยมี y(0)=3 และ y′(0)=4 รากของพหุนามลักษณะเฉพาะคือ ±2i ดังนั้น y=A cos2t+B sin2t เงื่อนไขแรกให้ A=3; การหาอนุพันธ์จะได้ y′(0)=2B=4 ดังนั้น B=2
For y′=3y and y(0)=2, C = ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At t=0 the exponential is 1.
ใช้รูปแบบงาน
- การมีอยู่และความเดียวขึ้นอยู่กับสมมติฐานใกล้จุดเริ่มต้น สัมประสิทธิ์ที่เป็นเอกฐานหรือการขาดพฤติกรรม Lipschitz局部 สามารถทำให้ข้อสรุปความเดียวตามปกติล้มเหลวได้
- ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขความเดียว
รากลักษณะซ้ำต้องการตัวประกอบ t; รากเลขยกกำลังเดียวกันสองตัวไม่ใช่คำตอบที่เป็นอิสระ.
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แก้สมการอันดับหนึ่งแบบแยกตัวแปร
Initial conditions can select a unique solution when the relevant uniqueness hypotheses hold.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Check the hypotheses rather than assuming uniqueness at a singular point.
รักษาระยะห่าง
- เงื่อนไขเริ่มต้น — ค่าของคำตอบหรืออนุพันธ์ที่กำหนดไว้ที่จุดเริ่มต้น
- รากลักษณะเฉพาะ — รากของพหุนามที่กำหนดการตอบแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
- แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งแบบแยกตัวแปรได้
- แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่
- ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขความเดียว
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.