A.1 · พีชคณิตเชิงเส้น

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: สมการเชิงเส้น การคูณเมทริกซ์ พหุนาม และรากของจำนวนเชิงซ้อน

• เชื่อมโยง Rank, Nullity และคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
• วิเคราะห์ปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น
• คำนวณค่าเฉพาะ ดีเทอร์มิแนนต์ และเงื่อนไขการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

อันดับ (rank): มิติของภาพของฟังก์ชันเชิงเส้น

ค่าเฉพาะ (eigenvalue): สเกลาร์ที่สอดคล้องกับ Av=λv สำหรับเวกเตอร์ v ที่ไม่ใช่ศูนย์

สเปซเวกเตอร์จริงมีคุณสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ที่กำหนดไว้ และสอดคล้องกับ_genre_ของสเปซเวกเตอร์ ระบบฐานคือชุดเวกเตอร์อิสระที่ครอบคลุม: เวกเตอร์ทุกตัวมีการแสดงพิกัดที่เป็นเอกลักษณ์ในชุดนั้น การทดสอบความเป็นอิสระของคอลัมน์เมทริกซ์ ให้แก้ระบบสมการ Ac=0; หากมีเพียงเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ศูนย์เท่านั้นจึงเป็นอิสระ ชุดที่ครอบคลุมอาจมีเวกเตอร์ซ้ำซ้อน ดังนั้นการครอบคลุมเพียงอย่างเดียวไม่ทำให้เป็นระบบฐาน

Row reduction exposes pivots and free variables without changing the solution set of a linear system. Rank is the dimension of the column image, equivalently the number of pivots. Nullity is the kernel dimension: for a map from an n-dimensional domain, rank+nullity=n. In a nonhomogeneous system, a zero coefficient row with nonzero right side means inconsistency; free variables give infinitely many solutions only after consistency has been established. The codomain dimension need not equal rank.

A square matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero, its kernel is zero and its rank equals its size. These statements do not require each entry to be nonzero. Triangular determinants are products of diagonal entries, so a matrix depending on a complex variable can be singular at complex roots absent from a real-only calculation. Row swaps reverse determinant sign; adding a multiple of one row to another leaves it unchanged. Check singularity before applying an inverse formula.

An eigenvector is nonzero and satisfies Av=λv, so eigenvalues are roots of det(A−λI). Diagonalisation requires a full independent eigenvector basis over the chosen field. Distinct eigenvalues give independent eigenvectors, while repeated eigenvalues may have too small an eigenspace. A real symmetric matrix has a real orthonormal eigenbasis. A real odd-dimensional matrix has at least one real eigenvalue because its real characteristic polynomial has odd degree; that alone does not imply diagonalisation or all eigenvalues real.

A=[[1,1],[0,1]] มีพหุนามลักษณะ (1−λ)². เวกเตอร์เฉพาะสอดคล้องกับ y=0, ดังนั้นสเปซเฉพาะมีมิติหนึ่ง ต้องใช้เวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัวในการทำให้ 2×2 เมทริกซ์เป็นทแยงมุม; A ไม่สามารถทำให้เป็นทแยงมุมได้

ความคูณทางพีชคณิตของค่าเฉพาะไม่ได้เท่ากับมิติของสเปซเฉพาะเสมอไป

สำหรับ $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ กับ $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$ หาฐานของเคอร์เนลและภาพ แก้ $T(v)=(3,6)$ และ $T(v)=(3,7)$

วิธีทำตัวอย่าง

แถวที่สองเป็นสองเท่าของแถวแรก ดังนั้นอันดับคือหนึ่ง สมการเอกพันธุ์ให้ $x=-2y-z$

เวกเตอร์ที่แสดงทั้งสองเป็นอิสระ ทุกผลลัพธ์คือ $(s,2s)$ และ $(1,2)$ ปรากฏอยู่; นี่คือฐานของภาพ อันดับบวก nullity เป็น $1+2=3$ ซึ่งเป็นมิติของโดเมน สำหรับ $(3,6)$ คำตอบทั้งหมดคือ $(3-2a-b,a,b)$, พร้อม $a,b\in\mathbb R$ สำหรับ $(3,7)$ ไม่มีคำตอบ เนื่องจาก $7\ne2\cdot3$

ให้ $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ หาค่าเฉพาะ ดีเทอร์มิแนนต์ และการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเหนือ $\mathbb R$ และ $\mathbb C$ หา $A^n$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\ge1$ โดยไม่ใช้การคูณซ้ำ

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

พหุนามลักษณะคือ $(2-\lambda)^2$ และ $\det A=4$ การแก้ $(A-2I)v=0$ ได้ $v_2=0$ ดังนั้นสเปซเฉพาะมีมิติหนึ่งเหนือฟิลด์ใดก็ได้ ต้องมีเวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัว; เมทริกซ์นี้กลับได้แต่ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเหนือฟิลด์ใดก็ได้ เขียน $A=2I+N$ ที่ $N^2=0$. The commuting binomial expansion ทิ้งไว้เพียงสองพจน์:

การคูณนิพจน์นี้ด้วย $A$ จะได้สูตรที่ $n+1$ ตรวจสอบสัมประสิทธิ์ได้อย่างอิสระ