T.3 · การวิเคราะห์เชิงซ้อนและเศษส่วน

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: การคำนวณเชิงซ้อน, อนุพันธ์ย่อย, ซีรีส์ และเส้นโค้งที่มีทิศทาง

• ทดสอบความสามารถในการดิฟเชิงซ้อน
• ใช้อินทิกรัลตามเส้นโค้งและเศษเหลือ
• ประเมินค่าอินทิกรัลตามเส้นโค้งโดยอาศัยเศษเหลือของขั้วอันดับง่ายและขั้วอันดับสูง

analytic: สามารถดิฟเชิงซ้อนได้ทั่วทั้งบริเวณรอบข้าง

residue: สัมประสิทธิ์ของ (z−a)^−1 ในซีเรียลลาอองเรต์

Write f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Complex differentiability imposes u_x=v_y and u_y=−v_x; with continuous first partials locally, the Cauchy–Riemann equations establish analyticity there. They differ from real differentiability of a two-coordinate map. The conjugate function x−iy fails these equations on every open neighbourhood, although real partial derivatives exist. State the region being checked, not only a convenient point.

ฟังก์ชัน analytic สามารถดิฟเชิงซ้อนได้ทั่วทั้งบริเวณรอบข้างและมีซีรีส์กำลังที่ลู่เข้าในท้องถิ่น จุดเอกฐานที่ตัดออกได้สามารถเติมเต็มให้เป็น analytic ได้เมื่อฟังก์ชันมีค่าจำกัดใกล้จุดที่หายไป ขั้วจะมีส่วนหลักจำกัดในซีเรียลลาอองเรต์ ส่วนจุดเอกฐานสำคัญจะมีพจน์กำลังลบจำนวนมากไม่จำกัด เศษเหลือคือสัมประสิทธิ์ของ (z−a)⁻¹ ไม่จำเป็นต้องเป็นพจน์กำลังลบแรกหรือพจน์ที่มีค่ามากที่สุด

สำหรับขั้วแยกชนิดอันดับ m เขียน f(z)=g(z)/(z−a)^m โดยที่ g เป็นฟังก์ชัน analytic ที่ a เศษเหลือคือ g^(m−1)(a)/(m−1)! ขั้วอันดับง่ายใช้ g(a); ขั้วอันดับสองใช้ g′(a) สิ่งนี้มาจากการขยาย g เป็นซีรีส์เทย์เลอร์ ดังนั้น e^z/(z−a)² จะมีเศษเหลือเป็น e^a ในขณะที่ตัวเศษเป็นค่าคงที่และตัวส่วนเป็นขั้วอันดับสองบริสุทธิ์จะมีเศษเหลือเป็นศูนย์ อันดับของขั้วเพียงอย่างเดียวไม่กำหนดค่าอินทิกรัลตามเส้นโค้ง

For a positively oriented contour enclosing isolated singularities, the residue theorem gives ∮f(z)dz=2πi times the sum of enclosed residues, provided the function is analytic on the contour and elsewhere in the required interior. Reversing orientation changes the sign. Cauchy’s derivative formula is ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! under its analytic-domain hypotheses. A singularity on the contour prevents direct application; a singularity outside contributes nothing to this contour.

สำหรับ f(z)=conjugate(z), u=x และ v=−y. ดังนั้น u_x=1 แต่ v_y=−1, ดังนั้น f จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ สำหรับ 1/(z−2), วงกลมที่มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา |z−2|=1 ล้อมรอบขั้วง่ายที่มีเศษเหลือ 1, ดังนั้นอินทิกรัลจึงมีค่าเท่ากับ 2πi

ความต่อเนื่องหรือความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบจริงเพียงอย่างเดียวไม่บ่งชี้ถึงความวิเคราะห์เชิงซ้อน

ใช้สมการคuchy–Riemann เพื่อเปรียบเทียบ $z^2$ และ $\overline z$ หาเศษเหลือของ $e^z/z^2$ ที่จุดศูนย์และค่าอินทิกรัลรอบวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกา

วิธีทำตัวอย่าง

สำหรับ $z^2$, $u=x^2-y^2$ และ $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ และ $u_y=-2y=-v_x$. ส่วนย่อยมีความต่อเนื่องทุกที่ ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนทุกที่ สำหรับ $\overline z$, $u=x,v=-y$ และ $u_x=1\ne-1=v_y$; ไม่มีการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนที่จุดใดเลย เนื่องจาก $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, สัมประสิทธิ์ของ $z^{-1}$ ใน $e^z/z^2$ คือ 1 ดังนั้นค่าคงเหลือคือ 1 และอินทิกรัลคือ $2\pi i$. ขั้วคู่ไม่ได้บังคับให้ค่าคงเหลือเป็นศูนย์

อินทิเกรต $1/[z(z-2)]$ รอบ $|z|=1$ โดยเริ่มจากทวนเข็มนาฬิกาแล้วตามเข็มนาฬิกา สามารถใช้ข้อสรุปทฤษฎีบทค่าคงเหลือเดียวกันกับ $|z|=2$ ได้หรือไม่?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

มีเพียงเลขศูนย์อยู่ภายในวงกลมหน่วย ค่าคงเหลือของมันคือ $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$ ดังนั้นอินทิกรัลทวนเข็มนาฬิกาจึงเป็น $-\pi i$ และอินทิกรัลตามเข็มนาฬิกาคือ $\pi i$ ขั้วที่ 2 อยู่ภายนอกและไม่มีส่วนร่วม วงกลม $|z|=2$ ตัดผ่านขั้ว อินทิกรัลตามเส้นโค้งทั่วไปไม่ได้กำหนดโดยสูตรนี้; ทฤษฎีบทต้องการความวิเคราะห์บนเส้นโค้ง การตัดมุมหรือการกำหนดค่าหลักจะเป็นปัญหาอื่นที่ระบุไว้อย่างชัดเจน