การวิเคราะห์เชิงซ้อนและเศษเหลือ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| residue/ˈresɪdjuː/ | residue |
| analytic/ˌænəˈlɪtɪk/ | analytic |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- ฟังก์ชันที่เรียบในพิกัดจริงสองมิติอาจล้มเหลวในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อน
- วัตถุประสงค์ของคุณ: ทดสอบการหาอนุพันธ์เชิงซ้อน
อ่านความสัมพันธ์
- เขียน f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。Complex differentiability imposes u_x=v_y และ u_y=−v_x; With continuous first partials locally, Cauchy–Riemann equations establish analyticity there。They differ from real differentiability of a two-coordinate map。The conjugate function x−iy fails these equations on every open neighbourhood, although real partial derivatives exist。State the region being checked, not only a convenient point。
- ใช้อินทิกรัลตามเส้นโค้งและเศษเหลือ
The residue of 3/(z−1) at z=1 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient of the simple-pole term is 3.
ใช้กฎที่กำหนด
- ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ตลอดทั้งบริเวณใกล้เคียง และมีอนุกรมกำลังที่ลู่เข้าในท้องถิ่น ความ singularity ที่สามารถกำจัดได้ (removable singularity) สามารถเติมด้วยวิธีการวิเคราะห์ได้เมื่อฟังก์ชันมีค่าจำกัดใกล้จุดที่หายไป ขั้ว (pole) มีส่วนหลักจำกัดในอนุกรมลอเรนซ์ ส่วนความ singularity ที่จำเป็น (essential singularity) มีพจน์ที่มีกำลังลบจำนวนไม่จำกัด残数 (residue) คือสัมประสิทธิ์ของ (z−a)⁻¹ ไม่ใช่พจน์ที่มีกำลังลบสูงสุดหรือพจน์แรก
- คำนวณอินทิกรัลตามเส้นโค้งโดยใช้อะนุกรม residual ของขั้วอันดับง่ายและขั้วอันดับสูง
A positively oriented circle enclosing only that pole gives integral:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply residue 3 by 2πi.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สำหรับขั้วแยกชนิดอันดับ m เขียน f(z)=g(z)/(z−a)^m โดยที่ g เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ a残数 คือ g^(m−1)(a)/(m−1)! ขั้วอันดับง่ายใช้ g(a); ขั้วอันดับสองใช้ g′(a) สิ่งนี้เกิดจากการขยาย g ในรูปอนุกรมเทย์เลอร์ ดังนั้น e^z/(z−a)² จึงมี残数เท่ากับ e^a ในขณะที่ตัวเศษเป็นค่าคงที่หารด้วยขั้วอันดับสองบริสุทธิ์จะมี残数为 0 อันดับของขั้วเพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนดค่าของอินทิกรัลตามเส้นโค้ง
- คำนวณอินทิกรัลตามเส้นโค้งโดยใช้อะนุกรม residual ของขั้วอันดับง่ายและขั้วอันดับสูง
สำหรับ f(z)=conjugate(z), u=x และ v=−y. ดังนั้น u_x=1 แต่ v_y=−1, ดังนั้น f จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ สำหรับ 1/(z−2), วงกลมที่มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา |z−2|=1 ล้อมรอบขั้วง่ายที่มีเศษเหลือ 1, ดังนั้นอินทิกรัลจึงมีค่าเท่ากับ 2πi
The residue of 5/z at zero is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Laurent coefficient of z^-1 is 5.
ใช้รูปแบบงาน
- สำหรับเส้นโค้งที่มีทิศทางบวกซึ่งล้อมรอบความ singularities แบบแยกชนิด theorem of残数 ให้ ∮f(z)dz=2πi คูณด้วยผลรวมของ残数ที่ถูกห่อหุ้มไว้ ตราบใดที่ฟังก์ชันวิเคราะห์บนเส้นโค้งและในพื้นที่ภายในที่ต้องการอื่นๆ การกลับทิศทางจะเปลี่ยนเครื่องหมาย สูตรอนุพันธ์ของคuchy คือ ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! ภายใต้เงื่อนไขโดเมนวิเคราะห์ของมัน ความ singularity บนเส้นโค้งขัดขวางการใช้โดยตรง; ความ singularity ที่อยู่นอกเส้นโค้งไม่มีผลต่ออินทิกรัลตามเส้นโค้งนี้
- คำนวณอินทิกรัลตามเส้นโค้งโดยใช้อะนุกรม residual ของขั้วอันดับง่ายและขั้วอันดับสูง
ความต่อเนื่องหรือความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบจริงเพียงอย่างเดียวไม่บ่งชี้ถึงความวิเคราะห์เชิงซ้อน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ทดสอบความต่างABLE之可微分性
Every continuous complex function is analytic.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Complex differentiability imposes Cauchy–Riemann conditions.
What is the residue of e^(2z)/(z−1)³ at z=1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
For a triple pole use g″(1)/2! with g(z)=e^(2z). Its second derivative is 4e^(2z), so the residue is 2e².
รักษาระยะห่าง
- analytic (วิเคราะห์) — หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทั่วทั้งบริเวณรอบข้าง
- residue (เศษเหลือ) — สัมประสิทธิ์ของ (z−a)^−1 ในซีรีส์ลอแรนต์
- ทดสอบความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อน
- ใช้อินทิกรัลตามเส้นโค้งและเศษเหลือ
- คำนวณอินทิกรัลตามเส้นโค้งโดยใช้อะนุกรม residual ของขั้วอันดับง่ายและขั้วอันดับสูง
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.