T.1 · การวิเคราะห์จริงและโทโพโลยี

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

สิ่งจำเป็น: ประโยคที่มีตัวบอกปริมาณ อสมการ ลำดับ และฟังก์ชันต่อเนื่อง

• ใช้นิยามลิมิตของลำดับและฟังก์ชัน
• แยกแยะความเป็น /><// connectedness และ completeness
• ใช้เหตุผลเกี่ยวกับ Metric-space และ Topological พื้นฐาน

** /><//**: Every open cover มี finite subcover

** supremum**: Upper bound ต่ำสุดของเซต

ประโยค epsilon–delta ควบคุมอินพุตที่ใกล้กันมากทุกตัวลำดับของ quantifierมีความสำคัญ

ในสเปซยูคลิดจริง เซตที่ปิดและมีขอบเขตเป็นเซตที่_compact_ (กะทัดรัด) อย่าใช้สมนัยนี้กับทุกเมตริกสเปซ

ภาพต่อเนื่องของเซตคอมแพคต์คือเซตคอมแพคต์ ดังนั้นฟังก์ชันต่อเนื่องจริงบนโดเมนที่คอมแพคต์จะถึงจุดสูงสุดและต่ำสุด

การเชื่อมโยงกัน (connectedness) ขัดกับการแยกส่วนประกอบเปิดที่ไม่ว่างและไม่ตัดกัน ความต่อเนื่องรักษาการเชื่อมโยงกัน ส่วนความสมบูรณ์ (completeness) เป็นคุณสมบัติที่แยกต่างหาก

f(x)=x บน (0,1) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีขอบเขตแต่ไม่เคยเท่ากับ supremum 1. บน [0,1] ฟังก์ชันเดียวกันนี้จะถึงค่าสูงสุดที่ 1. จุดปลายที่หายไปอธิบายว่าทำไมทฤษฎีบทสำหรับโดเมนกะทัดรัดจึงใช้กับกรณีแรกไม่ได้

ข้อสรุปของทฤษฎีบทไม่สามารถนำไปใช้ก่อนตรวจสอบเงื่อนไขตั้งต้นให้ครบถ้วน

พิสูจน์ความต่อเนื่องของ $f(x)=x^2$ ที่ 2 โดยใช้การเลือก epsilon–delta แบบเจาะจง อธิบายแยกกันว่าทำไมมันจึงมีค่าต่ำสุดบน $[1,3]$

วิธีทำตัวอย่าง

กำหนด $\epsilon>0$ แล้วเลือก $\delta=\min(1,\epsilon/5)$ หาก $|x-2|<\delta$ แล้ว $1<x<3$ ดังนั้น $|x+2|<5$

การเลือกนั้นขึ้นอยู่กับ epsilon ไม่ใช่ค่า x ที่รับเข้ามาในภายหลัง ช่วง $[1,3]$ ไม่ว่างและเป็น /></s_ ในเมตริกจำนวนจริงปกติ ความต่อเนื่องทำให้ได้ค่าสุดขั้วที่นี่ $x^2\ge1$ โดยมีสมการที่ 1 ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ 1

ใน metric space $X=(0,1)$ ด้วยระยะทางปกติ X มีขอบเขตหรือไม่? เป็น closed ในตัวเองหรือไม่? เป็น compact หรือ complete หรือไม่? อธิบายว่าทำไม Heine–Borel จึงใช้ที่นี่ไม่ได้

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

X is bounded, and closed relative to itself (its complement in X is empty). The Cauchy sequence $1/(n+2)$ has no limit in X, so X is not complete, hence not compact. Directly, the relative open cover $\{(1/n,1):n\ge2\}$ covers X but has no finite subcover. Heine–Borel ต้องการ closed และ bounded ในฐานะ subset ของ Euclidean space; X ไม่ closed ใน $\mathbb R$. สมมติฐานของทฤษฎีบทไม่สามารถเปลี่ยน ambient space ระหว่างการพิสูจน์ได้