C.2 · คำนวณหลายตัวแปรและการวิเคราะห์เวกเตอร์

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: อนุพันธ์ตัวแปรเดียว, ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ และการอินทิเกรตซ้ำ

• คำนวณอนุพันธ์ย่อย เกรเดียนต์ และอนุพันธ์ตามทิศทาง
• ใช้การอินทิเกรตหลายตัวแปรและการเปลี่ยนพิกัด
• ใช้เงื่อนไขของอนุพันธ์เพื่อแยกแยะระนาบออกจากพื้นผิวโค้ง

gradient: เวกเตอร์ที่ประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยทั้งหมด

Jacobian: อัตราส่วนการขยายหรือหดตัวของพื้นที่หรือปริมาตรในพิกัดใหม่

อนุพันธ์ย่อยจะเปลี่ยนแปลงค่าพิกัดหนึ่งโดยคงค่าพิกัดอื่นไว้ สำหรับ f=x²+3xy จะได้ f_x=2x+3y และ f_y=3x เกรเดียนต์จะรวบรวมอนุพันธ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน หาก f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ตามทิศทางตามเวกเตอร์หน่วย v คือ grad f·v ต้องทำให้เวกเตอร์ทิศทางเป็นเวกเตอร์หน่วยก่อนทำการคูณสเกลาร์ หากใช้เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสองโดยไม่ทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วย ค่าที่ได้จะเป็นสองเท่า

ความสามารถในการหาอนุพันธ์ (Differentiability) หมายความว่าสามารถประมาณด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นได้อย่างถูกต้อง ไม่ใช่แค่การมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยบางจุดเท่านั้น การที่มีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งต่อเนื่องในบริเวณรอบจุดหนึ่งเป็นเงื่อนไขเพียงพอ สำหรับฟังก์ชันประกอบ f(x(t),y(t)) กฎลูกโซ่ให้ผลคือ f_x x′+f_y y′ อนุพันธ์อันดับสองอาจมีทั้งพจน์โดยตรงและพจน์ผสม อนุพันธ์ผสมที่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่จำกัดค่าอนุพันธ์อันดับสองแบบตรง

การอินทิเกรตหลายตัวแปรคือการรวมค่า contributions ในพื้นที่ที่กำหนด ควรกำหนดขอบเขตของพื้นที่ก่อนเลือกขอบเขตของการอินทิเกรตซ้ำ ขอบเขตที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาจเปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนลำดับการอินทิเกรต ในพิกัดขั้ว พื้นที่คือ r dr dtheta ไม่ใช่แค่ dr dtheta การเปลี่ยนพิกัดทั่วไปต้องใช้ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของ Jacobian สัญญาณเป็นคุณสมบัติของปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทาง ในขณะที่การขยายหรือหดตัวของพื้นที่และปริมาตรใช้ค่าที่ไม่เป็นลบ

If both first partials of a globally defined function on R² are constant, f_x=a and f_y=b, integrating successively gives f=ax+by+c, a plane. This cannot be inferred from parallel straight level sets alone: e^x has vertical parallel level lines but a curved graph. Nor do f_xy=f_yx=0 force a plane: x²+y² is a counterexample. Distinguish first-derivative constancy from absent mixed dependence and from the shape of selected level sets.

สำหรับ f(x,y)=x²+3y², เกรเดียนต์ f=(2x,6y) ที่ (1,1) จะมีค่าเป็น (2,6) ในทิศทาง (3,4), เวกเตอร์หน่วยคือ (3/5,4/5), ซึ่งให้อนุพันธ์ตามทิศทาง 2·3/5+6·4/5=6

เวกเตอร์ทิศทางที่ไม่ใช่เวกเตอร์หน่วยจะให้ค่าอัตราการขยายตัวscaled ไม่ใช่อนุพันธ์ต่อหน่วยระยะทาง

สำหรับ $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$ จงหาอนุพันธ์ตามทิศทางที่ $(1,-1)$ ไปยัง $(3,4)$. หาค่า $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ สำหรับดิสก์หน่วย $D$.

วิธีทำตัวอย่าง

พหุนามนี้หาอนุพันธ์ได้ ทำให้เวกเตอร์ทิศทางเป็นเวกเตอร์หน่วย: $u=(3/5,4/5)$ เกรเดียนต์คือ $(2x+y,x+4y)$ ดังนั้น $(1,-3)$ ที่จุดนั้น

พิกัดขั้วให้ $x^2+y^2=r^2$ และ $dA=r\,dr\,d\theta$:

นิยาม $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$ ห่างจากจุดกำเนิดและ $g(0,0)=0$. อนุพันธ์ย่อยทั้งสองที่จุดกำเนิดเป็นศูนย์ $g$ ความเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้หรือไม่? เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

ตามแต่ละแกน $g=0$, ดังนั้น both partials are zero. Continuity advent dari $|xy|\le(x^2+y^2)/2$, which gives $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$. หากหาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์เชิงเส้นของมันจะเป็นศูนย์ ตาม $x=y=t\ne0$,

อัตราส่วนของเศษเหลือที่ต้องการไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ ดังนั้นความต่อเนื่องและการมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยจึงไม่พิสูจน์ได้ว่าหาอนุพันธ์ได้