แคลคูลัสหลายตัวแปรและการวิเคราะห์เวกเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | เกรเดียนต์ |
| Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/ | ดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- บนเนินเขามีหลายความชันที่จุดหนึ่ง ทิศทางการเคลื่อนที่จะกำหนดความชันที่คุณสัมผัสได้
- เป้าหมายของคุณ: คำนวณอนุพันธ์ย่อย เกรเดียนต์ และอนุพันธ์ตามทิศทาง
อ่านความสัมพันธ์
- อนุพันธ์ย่อยเปลี่ยนพิกัดหนึ่งตัวโดยคงพิกัดอื่นไว้ สำหรับ f=x²+3xy, f_x=2x+3y และ f_y=3x เกรเดียนรวมอนุพันธ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน; หาก f ลูกลื่น (differentiable) อนุพันธ์ตามทิศทางตามเวกเตอร์หน่วย v คือ grad f·v ต้องทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยก่อนทำการคูณสเกลาร์ หากใช้เวกเตอร์ที่มีขนาดสองโดยไม่ทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วย คำตอบจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า
- ใช้อินทิเกรตหลายตัวแปรและการเปลี่ยนพิกัด
Partial derivative with respect to x of x²y is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Treat y as constant.
ใช้กฎที่กำหนด
- ความลูกลื่นหมายถึงการประมาณเชิงเส้นที่ถูกต้อง ไม่ใช่แค่การมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยบางตัว在某จุด การมีอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งต่อเนื่องในเพื่อนบ้าน某จุด เป็นเงื่อนไขเพียงพอ สำหรับฟังก์ชันประกอบ f(x(t),y(t)) กฎลูกโซ่ให้ f_x x′+f_y y′ อนุพันธ์อันดับสองสามารถสร้างทั้งเทอมตรงและเทอมผสมได้; อนุพันธ์ผสมเป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนดข้อจำกัดต่ออนุพันธ์อันดับสองแบบบริสุทธิ์
- ใช้เงื่อนไขของอนุพันธ์เพื่อแยกแยะระนาบจากพื้นผิวโค้ง
The polar area element is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Jacobian of the polar transformation is r.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- อินทิกรัลหลายตัวแปรจะรวมค่า contributions เหนือพื้นที่ที่กำหนดให้ อธิบายขอบเขตของพื้นที่ก่อนเลือกขีดจำกัดแบบซ้ำ; ขอบเขตที่ไม่เป็นสี่เหลี่ยมอาจเปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนลำดับการอินทิเกรต ในพิกัดเชิงขั้ว พื้นที่คือ r dr dtheta ไม่ใช่แค่ dr dtheta การแปลงพิกัดทั่วไปใช้ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ Jacobi สัญญาณเกี่ยวข้องกับปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทาง ในขณะที่การขยายพื้นที่และปริมาตรใช้ปัจจัยที่ไม่เป็นลบ
- ใช้เงื่อนไขของอนุพันธ์เพื่อแยกแยะระนาบจากพื้นผิวโค้ง
สำหรับ f(x,y)=x²+3y², เกรเดียนต์ f=(2x,6y) ที่ (1,1) จะมีค่าเป็น (2,6) ในทิศทาง (3,4), เวกเตอร์หน่วยคือ (3/5,4/5), ซึ่งให้อนุพันธ์ตามทิศทาง 2·3/5+6·4/5=6
The magnitude of vector (3,4) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use sqrt(3²+4²)=5.
ใช้รูปแบบงาน
- หากอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดบน R² ทั้งหมดเป็นค่าคงที่ f_x=a และ f_y=b การอินทิเกรตทีละขั้นตอนจะได้ f=ax+by+c ซึ่งเป็นระนาบ สิ่งนี้ไม่สามารถสรุปได้จากเซ็ลเวลล์ (level sets) ที่ขนานกันเพียงอย่างเดียว: e^x มีเส้นเซ็ลเวลล์แนวตั้งขนานกันแต่กราฟโค้ง ไม่อย่างนั้น f_xy=f_yx=0 ก็ไม่บังคับให้เป็นระนาบ: x²+y² เป็นตัวอย่าง反驳 แยกแยะความคงตัวของอนุพันธ์อันดับหนึ่งจากการขาดความสัมพันธ์แบบผสม และการรูปทรงของเซ็ลเวลล์ที่เลือกมา
- ใช้เงื่อนไขของอนุพันธ์เพื่อแยกแยะระนาบจากพื้นผิวโค้ง
เวกเตอร์ทิศทางที่ไม่ใช่เวกเตอร์หน่วยจะให้ค่าอัตราการขยายตัวscaled ไม่ใช่อนุพันธ์ต่อหน่วยระยะทาง
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
คำนวณอนุพันธ์ย่อย เกรเดียนต์ และอนุพันธ์ตามทิศทาง
Orientation never affects a line integral around a boundary.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Reversing orientation changes a directed line integral’s sign.
รักษาระยะห่าง
- เกรเดียนต์ — เวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย
- จาคอบียน — อัตราการขยายตัวของพื้นที่หรือปริมาตรในพิกัดท้องถิ่นเมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด
- คำนวณอนุพันธ์ย่อย เกรเดียนต์ และอนุพันธ์ตามทิศทาง
- ใช้อินทิเกรตหลายตัวแปรและการเปลี่ยนพิกัด
- ใช้เงื่อนไขของอนุพันธ์เพื่อแยกแยะระนาบจากพื้นผิวโค้ง
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.