พีชคณิตเชิงเส้น
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rank/ræŋk/ | อันดับ |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | ค่าเฉพาะ |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- เมทริกซ์สี่เหลี่ยมอาจไม่มีอินเวอร์สได้แม้ว่าทุกองค์ประกอบจะมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ก็ตาม
- เป้าหมายของคุณ: เชื่อมโยงอันดับ (rank) ความว่าง (nullity) และคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
อ่านความสัมพันธ์
- พื้นที่เวกเตอร์จริงปิดภายใต้การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ตามกำหนดของตน และเป็นไปตาม axioms ของพื้นที่เวกเตอร์ Basis คือรายการที่อิสระต่อกันและครอบคลุม (spanning): ทุกเวกเตอร์มี coordinate representation ที่เฉพาะเจาะจงในรายการนั้น เพื่อทดสอบความเป็นอิสระของคอลัมน์เมทริกซ์ ให้แก้ homogeneous system Ac=0; เฉพาะ zero coefficient vector เท่านั้นที่หมายถึงความเป็นอิสระ Set ที่ span สามารถมีเวกเตอร์ซ้ำซ้อนได้ ดังนั้นการมี capability ในการ span เพียงอย่างเดียวจึงไม่ได้ทำให้เป็น basis
- วิเคราะห์พื้นที่เวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น
A 3-column matrix has rank 2. Its nullity is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rank-nullity gives 3−2=1.
ใช้กฎที่กำหนด
- การลดรูปแถว (row reduction) แสดง pivot และตัวแปรอิสระโดยไม่เปลี่ยนชุดคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น Rank คือมิติของ image ของคอลัมน์ หรือเทียบเท่าจำนวน pivot Nullity คือมิติของ kernel: สำหรับ map จากโดเมนที่มี n มิติ rank+nullity=n ในระบบ nonhomogeneous คอลัมน์สัมประสิทธิ์ที่เป็นศูนย์พร้อมด้านขวาที่ไม่เป็นศูนย์หมายความว่าไม่มีคำตอบ; ตัวแปรอิสระจะให้คำตอบนับไม่ถ้วนก็ต่อเมื่อความสอดคล้อง (consistency) ถูกยืนยันแล้ว มิติของ codomain อาจไม่เท่ากับ rank
- คำนวณค่าเฉพาะ (eigenvalues), ดีเทอร์มิแนนต์ และเงื่อนไขการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม
det A=0 implies:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A zero determinant means the square matrix is singular. It can have many nonzero entries; a single dependence is enough.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- เมทริกซ์จัตุรัสจะหา inverse ได้ก็ต่อเมื่อ determinant ไม่เป็นศูนย์, kernel เป็นศูนย์ และ rank เท่ากับขนาดเมทริกซ์ คำกล่าวเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องให้แต่ละ entry ไม่เป็นศูนย์ Determinant ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมคือผลคูณของ entries บนเส้นทแยงมุม ดังนั้นเมทริกซ์ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงซ้อนอาจเป็น singular ที่รากเชิงซ้อนที่ไม่มีอยู่ในคำนวณเฉพาะจำนวนจริง การสลับแถวเปลี่ยนสัญญาณของ determinant; การเพิ่ม multiple ของแถวหนึ่งไปยังอีกแถวหนึ่งทำให้ค่าคงที่ ตรวจสอบความ singular ก่อนใช้สูตร inverse
- คำนวณค่าเฉพาะ (eigenvalues), ดีเทอร์มิแนนต์ และเงื่อนไขการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม
A=[[1,1],[0,1]] มีพหุนามลักษณะ (1−λ)². เวกเตอร์เฉพาะสอดคล้องกับ y=0, ดังนั้นสเปซเฉพาะมีมิติหนึ่ง ต้องใช้เวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัวในการทำให้ 2×2 เมทริกซ์เป็นทแยงมุม; A ไม่สามารถทำให้เป็นทแยงมุมได้
The identity matrix has every eigenvalue equal to ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Iv=v for every vector.
ใช้รูปแบบงาน
- Eigenvector ต้องไม่เป็นศูนย์และเป็นไปตาม Av=λv ดังนั้น eigenvalues จึงเป็นรากของ det(A−λI) การทำ diagonalization ต้องการ eigenvector basis ที่อิสระต่อกันครบถ้วนเหนือ field ที่เลือก Eigenvalues ที่แตกต่างกันให้ eigenvectors ที่อิสระต่อกัน ส่วน eigenvalues ที่ซ้ำอาจมี eigenspace เล็กเกินไป เมทริกซ์สมมาตรจริงมี eigenspace แบบ orthonormal จริง เมทริกซ์มิติอสมมาตรจริงมีอย่างน้อย one real eigenvalue เพราะ characteristic polynomial จริง它有奇次 degree; สิ่งนี้เพียงอย่างเดียวไม่ได้ imply การ diagonalize หรือ eigenvalues ทั้งหมดเป็นจริง
- คำนวณค่าเฉพาะ (eigenvalues), ดีเทอร์มิแนนต์ และเงื่อนไขการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม
ความคูณทางพีชคณิตของค่าเฉพาะไม่ได้เท่ากับมิติของสเปซเฉพาะเสมอไป
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
เชื่อมโยงอันดับ (rank) ค่าความว่างเปล่า (nullity) และคำตอบของระบบเชิงเส้น
A repeated eigenvalue guarantees a full eigenvector basis.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A defective matrix is a counterexample.
รักษาระยะห่าง
- rank — มิติของภาพ (image) ของการแปลงเชิงเส้น
- eigenvalue — สเกลาร์ที่สอดคล้องกับ Av=λv สำหรับ v ที่ไม่เป็นศูนย์
- เชื่อมโยง rank, nullity และคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
- วิเคราะห์พื้นที่เวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้น
- คำนวณค่าเฉพาะ (eigenvalues), ดีเทอร์มิแนนต์ และเงื่อนไขการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.