C.1 · คำนวณเชิงตัวแปรเดียวและการประยุกต์ใช้

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: พีชคณิตที่แม่นยำ Trigonometry ในหน่วยเรเดียน ฟังก์ชันและความไม่เท่ากัน

• ใช้ limits, continuity และ differentiability
• ใช้ derivatives, integrals และ fundamental theorem
• จำแนกผลบวกของรีมันน์และแยกแยะจากอนุกรมอนันต์

ความต่อเนื่อง: ค่าของฟังก์ชันตรงกับค่าลิมิต

การลู่เข้า: ลู่เข้าสู่ค่าลิมิตที่มีค่าจำกัด

A limit describes values near a point, without requiring the function to be defined there. Continuity adds the requirement that the function value exists and agrees with the limit. Algebraic cancellation is valid only away from the cancelled zero, but can reveal a removable limit. One-sided limits must agree for a two-sided limit. For quotient limits, check the denominator and hypotheses before applying a rule; 0/0 is an indeterminate form, not an answer.

อนุพันธ์คือลิมิตของอัตราส่วนผลต่าง และบ่งบอกถึงความต่อเนื่อง แต่ข้อกลับเป็นเท็จ เช่น f(x) = |x| ที่ x=0 กฎคูณ กฎหาร และกฎลูกโซ่บรรยายโครงสร้างที่แตกต่างกัน: อนุพันธ์ของ f(g(x)) คือ f′(g(x))g′(x) ไม่ใช่ผลคูณของค่าที่ไม่เกี่ยวข้องกัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบเป็นครั้งที่สองโดยทั่วไปจะเกิดพจน์ใหม่สองพจน์ ตรวจสอบโดเมน ตัวส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ และสมมติฐานความเป็นอนุพันธ์ได้ก่อนนำนิพจน์เชิงสัญลักษณ์มาใช้แทนอนุพันธ์

The fundamental theorem says that the derivative of ∫ from a to x of a continuous integrand f(t) is f(x). With a variable upper bound h(x), multiply by h′(x); with two variable bounds, subtract the corresponding lower-bound contribution. A definite integral also arises as a limit of Riemann sums. Rewrite the sum as (1/n)Σf(k/n) before identifying the integral on [0,1], rather than treating n-dependent terms as constants.

เช่น Σ จาก k=1 ถึง n ของ n/(n²+k²) เท่ากับ (1/n)Σ1/(1+(k/n)²) ซึ่งมีแนวโน้มไปยัง ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4 ลิมิตนี้ใช้ความต่อเนื่องและความกว้างของ partition 1/n-series เหนือจำนวนพจน์ที่ไม่จำกัดเป็นลิมิตต่างออกไป: พจน์ที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ไม่ได้รับประกันการลู่เข้าเพียงอย่างเดียว สำหรับ Σ1/k ผลรวมย่อยลู่ออก; เปรียบเทียบ ประมาณ หรือใช้การทดสอบอนุกรมที่ถูกต้องแทนการใช้เงื่อนไขจำเป็นของพจน์เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอ

สำหรับ F(x)=อินทิกรัลจาก 0 ถึง x² ของ e^t dt ทฤษฎีบทพื้นฐานและกฎลูกโซ่ให้ F′(x)=e^(x²)·2x ที่ x=1, F′(1)=2e ขอบเขตบนคือ x² ดังนั้นหากข้าม 2x จะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน

Calculus ระดับ A-level เป็นความรู้เบื้องต้นที่มีประโยชน์แต่ไม่ได้ครอบคลุมการวิเคราะห์และการประยุกต์ใช้ระดับปริญญาตรีที่ทดสอบในที่นี้

ให้ $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. หา $F'(x)$ และ $F'(2)$. อธิบายเหตุผลที่ทฤษฎีบทใช้ได้นั้น

วิธีทำตัวอย่าง

ฟังก์ชันอินทิเกรตมีความต่อเนื่องบนเส้นจำนวนจริง ทฤษฎีบทพื้นฐานและกฎลูกโซ่ใช้ได้ที่ขอบเขตทั้งสอง:

โดยอิสระ ฟังก์ชันต้นฉบับคือ $t+t^3/3$. ดังนั้น $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, ซึ่งมีอนุพันธ์เหมือนกัน

หา $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. อธิบายทำไมนี่ถึงเป็นลิมิตของผลบวกของรีมันส์. แล้วตัดสินใจว่า $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ ลู่เข้าหรือไม่

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

จัดรูปแต่ละพจน์เป็น $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. ฟังก์ชันต่อเนื่อง $f(t)=t/(1+t^2)$ บน $[0,1]$ และความละเอียด $1/n$ ให้

The harmonic series diverges: the block from $2^{j-1}+1$ through $2^j$ contains $2^{j-1}$ terms at least $1/2^j$, so each block adds at least $1/2$. Terms tending to zero is necessary but insufficient. The finite-sum integrand here depends on the scaled index; it is not the harmonic series.