สำหรับโดเมน ไอเดียล และตัวอย่างวงเศษเหลือด้านล่าง ให้ใช้วง commutative ที่มีเอกลักษณ์ 1 ต่างจาก 0. ปัญหาแหล่งที่มาอาจระบุวงทั่วไปแทน; อย่าสันนิษฐานว่าการคูณเป็น commutative เว้นแต่จะระบุหรือพิสูจน์ ตัวแปร (unit) มีอินเวอร์สการคูณ ตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์คูณกับองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัวแล้วได้ศูนย์ โดเมนจำนวนเต็มไม่มีตัวหารศูนย์เช่นนี้; การตัดตัวประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยวิธี cancellation จึงใช้ได้ ฟิลด์เป็นโดเมนที่ทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นตัวแปร Z เป็นโดเมนแต่ไม่ใช่ ฟิลด์; Z/6Z neither.
ไอเดียล I เป็นกลุ่มย่อยเชิงบวกที่ดูดซับการคูณด้วยองค์ประกอบวงทุกตัว สิ่งนี้เข้มงวดกว่าการเป็น subring ใน Z, nZ เป็นไอเดียล; องค์ประกอบในวงเศษเหลือคือเศษเหลือจำนวนเต็ม mod n. ในวง commutative, R/I เป็นฟิลด์ก็ต่อเมื่อ I เป็น maximal, และเป็นโดเมนก็ต่อเมื่อ I เป็น prime. ไอเดียลต้องเป็น proper ในทั้งสองกรณี
โมดูลอนุญาตให้สเกลาร์มาจากวงแทนที่จะต้องการ ฟิลด์ ทุกกลุ่ม abelian เป็น Z-module โดยการบวกซ้ำๆ แต่ไม่จำเป็นต้องมี vector space basis ใน Z/6Z ในฐานะ Z-module, 6 คูณกับเศษเหลือที่ไม่ใช่ศูนย์ 1 ได้ศูนย์; นี่คือ torsion. สำหรับ vector space เหนือ ฟิลด์, สเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็น invertible และไม่สามารถทำให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นศูนย์ได้
A submodule is closed under addition and all permitted scalar actions. A linear map of modules preserves both. The kernel and image are submodules, and the quotient by the kernel is isomorphic to the image. Do not apply finite-dimensional rank-nullity to an arbitrary module without establishing an appropriate free-module setting; integer row operations and field row operations permit different divisions. In a general Boolean ring, every a satisfies a²=a. Do not assume commutativity to prove it: idempotence of a+a gives 4a=2a, hence 2a=0. Expanding (a+b)²=a+b gives ab+ba=0, and characteristic two makes −ba=ba; therefore ab=ba. Idempotence does not imply nilpotence: in F2, the nonzero element 1 satisfies 1^n=1 for every positive n.
