C.6 · ค่าสุดขีดหลายตัวแปรและการหาจุดสูงสุด/ต่ำสุดภายใต้ข้อจำกัด

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: อนุพันธ์ย่อย, รูปกำลังสอง, ความกะทัดรัดและข้อจำกัด

• จัดประเภทจุดวิกฤตของฟังก์ชันสองตัวแปรด้วยเมทริกซ์เฮสเซียน
• Use Lagrange multipliers with a regular constraint
• เปรียบเทียบค่าสุดและค่าที่บรรลุได้ภายใต้ข้อจำกัดปกติ

เฮสเซียน: เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่ใช้ศึกษาความโค้งในพื้นที่ใกล้จุด

Lagrange multiplier: A scalar relating objective and regular constraint gradients at a constrained extremum.

สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนโดเมนเปิด ค่าสุดสัมพัทธ์ภายในจะมีเกรเดียนต์เป็นศูนย์ เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ สำหรับตัวแปรสองตัวที่จุดวิกฤต ให้ D=f_xx f_yy−(f_xy)². หาก D>0, f_xx>0 จะให้ค่าสุดสัมพัทธ์ต่ำสุด และ f_xx<0 จะให้ค่าสุดสัมพัทธ์สูงสุด; D<0 จะให้จุดอาน การทดสอบเหล่านี้จำเป็นต้องมีความสม่ำเสมอของอนุพันธ์อันดับสองที่เหมาะสมใกล้จุดนั้น

เมื่อ D=0 การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสองไม่สามารถสรุปได้ ไม่ใช่หลักฐานของการเป็นจุดอาน ฟังก์ชัน x⁴+y⁴ และ x⁴−y⁴ มีเมทริกซ์เฮสเซียนเป็นศูนย์ที่จุดกำเนิดเหมือนกัน แต่หนึ่งฟังก์ชันมีค่าสุดสัมพัทธ์ต่ำสุดและอีกฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย ควรประเมินตามทิศทางที่แตกต่างหรือใช้อสมการโดยตรง สำหรับรูปกำลังสอง ความแน่นอนบวกให้ตีความเมทริกซ์เฮสเซียนในเชิงกว้างขึ้น

บนข้อจำกัดแบบเรียบ g(x,y)=c ที่มีเกรเดียนต์ g ไม่เป็นศูนย์ แก้ไขระบบ gradient f=lambda gradient g ร่วมกับ g=c สมการเหล่านี้สร้างผู้เข้าแข่งขันแต่ไม่ได้จัดประเภทหรือรับประกันค่าสุดสัมพัทธ์ทั่วโลก หากเกรเดียนต์ของข้อจำกัดเป็นศูนย์ เงื่อนไขความสม่ำเสมอจะล้มเหลวและสมการตัวคูณอาจพลาดค่าสุดสัมพัทธ์ที่มีข้อจำกัด ต้องจัดการกับจุดดังกล่าวแยกต่างหาก สำหรับ x²+y²=a และ xy=b>0, (x−y)²=a−2b แสดงถึงความจำเป็นที่ a≥2b ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอเช่นกัน: ให้ s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 และ y=(s−d)/2. ค่าจริงเหล่านี้มี xy=b และ x²+y²=a เงื่อนไขค่าสุดสัมพัทธ์ต่ำสุดเพียงอย่างเดียวต้องการการตรวจสอบนี้เพื่อยืนยันความเป็นไปได้ในการแก้สมการ

ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตความเป็นไปได้ที่_compact_ จะบรรลุค่าสุดขั้วโลก การหาค่าเหล่านี้ให้เปรียบเทียบผู้เข้าแข่งขันทั้งหมดภายในและส่วนขอบทุกส่วน รวมถึงมุมและจุดปลาย สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้เพิ่มประสิทธิภาพการจำกัดของแต่ละด้าน สำหรับวงกลม ขอบวงกลมอาจใช้พารามิเตอร์หรือตัวคูณ การแก้เฉพาะ gradienที่ไม่มีข้อจำกัดจะละเลยผู้ชนะที่เป็นไปได้จากขอบ

Minimise x²+y² subject to x+y=6. The constraint gradient is (1,1), so 2x=lambda and 2y=lambda. Thus x=y and the constraint gives x=y=3, with value 18. Completing the square on the line gives x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, proving a global minimum. There is no maximum on this unbounded line, despite the existence of a multiplier candidate.

A Lagrange multiplier solution is a candidate, not automatically a maximum or minimum. Check regularity and the complete feasible set.

จำแนกจุดกำเนิดสำหรับ $f(x,y)=x^2-y^2$ และ $g(x,y)=x^4+y^4$ บอกรูปแบบว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเฮสเซียนเป็นศูนย์อนุญาตให้คุณสรุปอะไรได้

วิธีทำตัวอย่าง

สำหรับ f เฮสเซียนคือ $\operatorname{diag}(2,-2)$ ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ -4; จุดกำเนิดเป็นจุดอาน ตามแกนค่ามีสัญญาณตรงข้ามกัน สำหรับ g เฮสเซียนที่ศูนย์เป็นศูนย์ ดังนั้นการทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจึงไม่ชี้ชัด อย่างไรก็ตาม $x^4+y^4\ge0$ มีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อที่จุดกำเนิดเท่านั้น จึงเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์อย่างเข้มงวด การทดสอบที่ไม่ชี้ชัดไม่ใช่การจำแนกประเภทของจุดนั้น

หาจุดสูงสุด/ต่ำสุดทั้งหมดของ $f(x,y)=xy$ ภายใต้ $x^2+y^2=2$ เปรียบเทียบกับการหาค่าต่ำสุดของ $x^2+y^2$ บนเส้น $x+y=4$ รวมถึงการมีอยู่ของค่าสูงสุดหรือไม่

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

วงกลมเป็น compact และ gradien ของข้อจำกัด $(2x,2y)$ ไม่เคยเป็นศูนย์ที่นั่น ตัวคูณให้ $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$ Neither coordinate can be zero at a stationary point; hence $y=\pm x$. ผู้เข้าแข่งขันทั้งสี่ $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ ให้ค่าสูงสุดโลก 1 และค่าต่ำสุด -1. ขอบเขต $2|xy|\le x^2+y^2=2$ ตรวจสอบความครบถ้วน On the line, $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$, so the minimum is 8 at $(2,2)$. There is no maximum because the expression is unbounded. Multiplier candidates alone do not establish compactness.