ค่าสูงสุด-ต่ำสุดหลายตัวแปร และการเพิ่มประสิทธิภาพภายใต้ข้อจำกัด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Hessian/ˈheʃn/ | เมทริกซ์เฮสเซียน |
| Lagrange multiplier/ˈlæɡreɪndʒ ˌmʌltɪˈplaɪə/ | ตัวคูณของลากรังจ์ |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- เกรเดียนต์เป็นศูนย์สามารถบ่งชี้ถึงค่าต่ำสุด ค่าสูงสุด หรือจุดอานได้ แต่อาจไม่สามารถจำแนกกรณีของค่าต่ำสุดธรรมดาอย่างสมบูรณ์ได้
- เป้าหมายของคุณ: จำแนกจุดวิกฤตสองตัวแปรด้วยเมทริกซ์เฮสเซียน
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับฟังก์ชันที่หาค่าดิฟเฟอเรนเชียลได้บนโดเมนเปิด ค่าสัมพัทธ์ภายในจะมีเกรเดียนต์เป็นศูนย์ เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ สำหรับสองตัวแปรที่จุดวิกฤต ให้ให้ D=f_xx f_yy−(f_xy)² หาก D>0 และ f_xx>0 จะได้นิพจน์ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์อย่างเข้มงวด และ f_xx<0 จะได้นิพจน์ค่าสูงสุดสัมพัทธ์อย่างเข้มงวด; D<0 จะได้ว่ามีจุดอาน การทดสอบเหล่านี้ต้องการความสม่ำเสมอของอนุพันธ์อันดับสองที่เหมาะสมใกล้จุดนั้น
- ใช้ตัวคูณลาگرانจ์กับข้อจำกัดที่เป็นปกติ
At a critical point f_xx=2, f_yy=−2 and f_xy=0. What does the second-derivative test give?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D=2(−2)−0²=−4, so the point is a saddle.
ใช้กฎที่กำหนด
- เมื่อ D=0 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจะตัดสินไม่ได้ ไม่ใช่หลักฐานของการมีจุดอาน ฟังก์ชัน x⁴+y⁴ และ x⁴−y⁴ มีเฮสเซียนเป็นศูนย์ที่จุดกำเนิดเหมือนกัน แต่หนึ่งมีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์อย่างเข้มงวดและอีกฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย ตรวจสอบตามทิศทางที่ต่างกันหรือใช้อสมการโดยตรง สำหรับรูปกำลังสอง ความแน่นอนเป็นบวกให้คำอธิบายเฮสเซียนที่กว้างกว่า
- เปรียบเทียบค่าสัมพัทธ์และค่าที่สามารถบรรลุได้ภายใต้ข้อจำกัดที่เป็นปกติ
What is the maximum of xy subject to x²+y²=2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x−y)²≥0 implies 2xy≤x²+y²=2. Equality occurs at (1,1) and (−1,−1).
ตรวจสอบเงื่อนไข
- บนข้อจำกัดสมการเรียบ g(x,y)=c ที่มีเกรเดียนต์ g ไม่เป็นศูนย์ แก้เกรเดียนต์ f=lambda เกรเดียนต์ g พร้อมกันกับ g=c สมการเหล่านี้สร้างผู้สมัคร但它们 Classification or guarantee a global extremum. หากเกรเดียนต์ข้อจำกัดเป็นศูนย์ เงื่อนไขความเป็นปกติจะล้มเหลวและสมการตัวคูณอาจพลาดค่าสัมพัทธ์ที่มีข้อจำกัด ให้จัดการจุดดังกล่าวแยกต่างหาก สำหรับ x²+y²=a และ xy=b>0, (x−y)²=a−2b แสดงถึงความจำเป็นที่ a≥2b มันยังเพียงพอ: ให้ s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 และ y=(s−d)/2 ค่าจริงเหล่านี้มี xy=b และ x²+y²=a เงื่อนไขค่าต่ำสุดเพียงอย่างเดียวต้องการการตรวจสอบการบรรลุนี้เพื่อยืนยันความสามารถในการแก้สมการ
- เปรียบเทียบค่าสัมพัทธ์และค่าที่สามารถบรรลุได้ภายใต้ข้อจำกัดที่เป็นปกติ
หาค่าต่ำสุดของ x²+y² ภายใต้เงื่อนไข x+y=6 เกรเดียนต์ของข้อจำกัดคือ (1,1), ดังนั้น 2x=lambda และ 2y=lambda ดังนั้น x=y และข้อจำกัดกำหนดให้ x=y=3, dengan nilai 18. การเติมเต็มกำลังสองบนเส้นตรงจะได้ x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, พิสูจน์ว่ามีการหาค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ไม่มีค่าสูงสุดบนเส้นตรงที่ไม่จำกัดนี้ แม้ว่าจะมีผู้สมัครตัวคูณลาگرانจ์ก็ตาม
The minimum value of x²+y² on x+y=4 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The minimising point is (2,2), giving 4+4=8, or complete the square.
ใช้รูปแบบงาน
- ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตที่เป็นไปได้ที่กะทัดรัดจะหาค่าสัมพัทธ์สัมบูรณ์ได้ ในการหาค่าเหล่านี้ ให้เปรียบเทียบผู้สมัครภายในทั้งหมดและส่วนขอบเขตทั้งหมด รวมถึงมุมและจุดปลาย สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้หาค่าสูงสุด/ต่ำสุดของฟังก์ชันจำกัดบนแต่ละด้าน สำหรับดิสก์ ขอบวงกลมอาจใช้พารามิเตอร์หรือตัวคูณ การแก้เฉพาะเกรเดียนต์ที่ไม่มีข้อจำกัดจะละเลยผู้ชนะที่เป็นไปได้จากขอบเขต
- เปรียบเทียบค่าสัมพัทธ์และค่าที่สามารถบรรลุได้ภายใต้ข้อจำกัดที่เป็นปกติ
คำตอบด้วยตัวคูณลาگرانจ์เป็นผู้สมัคร ไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดอัตโนมัติ ตรวจสอบความเป็นปกติและเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมด
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
จำแนกจุดวิกฤตสองตัวแปรโดยใช้เมทริกซ์ Hessian
D=0 at a critical point proves that point is a saddle.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The test is inconclusive; x⁴+y⁴ has D=0 at a strict minimum.
รักษาระยะห่าง
- Hessian — เมทริกซ์ของอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่ใช้ศึกษาความโค้งในท้องถิ่น
- Lagrange multiplier — สเกลาร์ที่เชื่อมโยงเกรเดียนต์ของฟังก์ชันเป้าหมายและเกรเดียนต์ของข้อจำกัดที่เป็นปกติที่จุดสัมพัทธ์ที่มีข้อจำกัด
- จำแนกจุดวิกฤตสองตัวแปรด้วยเฮสเซียน
- ใช้ตัวคูณลาگرانจ์กับข้อจำกัดที่เป็นปกติ
- เปรียบเทียบค่าสัมพัทธ์และค่าที่สามารถบรรลุได้ภายใต้ข้อจำกัดที่เป็นปกติ
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.