การเปลี่ยนพิกัดและทฤษฎีบทอินทิกรัลเวกเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| divergence/daɪˈvɜːdʒəns/ | ดิเวอร์เจนซ์ |
| conservative field/kənˈsɜːvətɪv fiːld/ | สนามคงที่ |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- میدانเวกเตอร์สามารถมี curl เป็นศูนย์นอกเหนือจากจุดกำเนิด ในขณะที่ circulation รอบจุดกำเนิดไม่เป็นศูนย์ รูพรุนในโดเมนมีความสำคัญ
- เป้าหมายของคุณ: แปลงอินทิกรัลคู่และอินทิกรัลสามมิติพร้อมกับจาคอบเรียน
อ่านความสัมพันธ์
- การเปลี่ยนตัวแปรจะปรับพื้นที่หรือปริมาตรตามค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์จาคอบเรียน พิกัดเชิงขั้วใช้ r dr dtheta; พิกัดทรงกระบอกใช้ r dr dtheta dz; พิกัดทรงกลมที่วัดมุม phi จากแกน z บวกใช้ rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. ระบุระเบียบวิธีของมุมและแปลงทั้งตัวถูกอินทิกรัลและบริเวณ การขาดจาคอบเรียนจะทำให้การอินทิกรัลความหนาแน่นสม่ำเสมอกลายเป็นปริมาณทางฟิสิกส์ที่ผิด
- ใช้ทฤษฎีบทของกรีน, สโตกส์ และดิเวอร์เจนซ์พร้อมทิศทางที่ถูกต้อง
What is the polar-coordinate area element?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The absolute Jacobian of (r cos(theta),r sin(theta)) is r.
ใช้กฎที่กำหนด
- ทฤษฎีบทของกรีนเทียบเท่า circulation ของขอบเขตระนาบที่มีทิศทางบวก P dx+Q dy กับอินทิกรัลคู่ของ Q_x−P_y บนพื้นที่ ทฤษฎีบทนี้ไม่สามารถอินทิเกรตผ่านจุดเอกฐานของสนามได้
- ตรวจสอบความเอกฐานของโดเมนก่อนจะสรุปว่าอินทิกรัลตามเส้นทางเป็นอิสระจากเส้นทาง
For F=(x,y,z), what is the outward flux through the unit sphere?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divergence is 3 and unit-ball volume is 4π/3, so outward flux is 4π.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- ทฤษฎีบทของสโตกส์เทียบเท่า circulation บนขอบเขตพื้นผิวกับอินทิกรัลพื้นผิวของ curl F dot normal ที่มีทิศทางกฎมือขวาเชื่อมโยงทิศทางขอบเขตกับ normal ทฤษฎีบทของดิเวอร์เจนซ์เทียบเท่าการไหลออก (flux) ผ่านพื้นผิวปิดกับอินทิกรัลปริมาตรของ div F
- ตรวจสอบความเอกฐานของโดเมนก่อนจะสรุปว่าอินทิกรัลตามเส้นทางเป็นอิสระจากเส้นทาง
สำหรับ F=(x,y,z) divergence คือ 3 ดังนั้นฟลักซ์ออกผ่านทรงกลมรัศมี 2 จึงเป็น 3 เท่าของปริมาตร หรือ 3·(4π·2³/3)=32π สิ่งนี้หลีกเลี่ยงการใช้พารามิเตอร์ของพื้นผิว สำหรับสนามระนาบ (−y,x) ทฤษฎีบทของกรีนให้ circulation ของวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกาเป็นอินทิกรัลของ 1−(−1)=2 บนดิสก์ ดังนั้นจึงได้ 2π การกลับทิศทางจะเปลี่ยนเครื่องหมายของ circulation
For F=(2x,3y,4z), the divergence is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate matching coordinates and add 2+3+4.
ใช้รูปแบบงาน
- สนามเกรเดียนต์มีอินทิกรัลเส้นที่ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ซึ่งกำหนดโดยผลต่างศักย์ระหว่างจุดปลาย สนามที่ curl เป็นศูนย์และหาอนุพันธ์ต่อเนื่องบนโดเมนเปิดแบบSimply connected เป็นสนามอนุรักษ์ Curl เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวบนโดเมนที่มีรูไม่เพียงพอ สำหรับ F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) จุดกำเนิดถูกตัดออก; circulation ของวงกลมหน่วยคือ 2π แม้ว่าจะมีcurlเป็นศูนย์ทุกที่ที่นิยามสนามไว้ก็ตาม
- ตรวจสอบความเอกฐานของโดเมนก่อนจะสรุปว่าอินทิกรัลตามเส้นทางเป็นอิสระจากเส้นทาง
ไม่มี curl เป็นศูนย์ไม่เพียงพอเมื่อโดเมนมีรู การไหลออกและการหมุนทวนเข็มนาฬิกาใช้ทฤษฎีบทและกฎทิศทางที่แตกต่างกัน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แปลงอินทิกรัลคู่และอินทิกรัลสามชั้นพร้อมกับตัวจำาคาเบีย
A curl-free field on the punctured plane is always conservative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The angular field in the lesson has zero curl away from zero but unit-circle circulation 2π, so it cannot be a global potential gradient there.
รักษาระยะห่าง
- ดิเวอร์เจนซ์ — ผลรวมของอนุพันธ์ย่อยตามพิกัดของสนามเวกเตอร์ที่วัดการไหลออกในท้องถิ่น
- สนามอนุรักษ์ — สนามเวกเตอร์ที่เท่ากับกราดของสเกลาร์ศักย์ที่มีอินทิกรัลตามเส้นทางที่เป็นอิสระจากเส้นทาง
- เปลี่ยนแปลงอินทิกรัลคู่และอินทิกรัลสามมิติด้วยจาคोবিئن
- ใช้ทฤษฎีบทของกรีน, สโตกส์ และดิเวอร์เจนซ์พร้อมทิศทางที่ถูกต้อง
- ตรวจสอบความเอกฐานของโดเมนก่อนจะสรุปว่าอินทิกรัลตามเส้นทางเป็นอิสระจากเส้นทาง
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.