ฟังก์ชัน, สาขาผกผัน และการประกอบ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| bijection/baɪˈdʒekʃn/ | ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครบถ้วน |
| involution/ɪnvəˈluːʃn/ | การเปลี่ยนสภาพตัวเอง |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- การเข้ารหัสที่ผกผันได้ต้องคืนค่าอินพุตที่เฉพาะเจาะจงหนึ่งอย่างเท่านั้น สูตรเพียงอย่างเดียวไม่สามารถบอกได้ว่าสามารถคืนค่าได้หรือไม่: อินพุตและเอาต์พุตที่อนุญาตมีความสำคัญ
- เป้าหมายของคุณ: แยกแยะ Injectivity และ Surjectivity โดยใช้โดเมนและโคโดเมนที่กำหนดให้
อ่านความสัมพันธ์
- ฟังก์ชันกำหนดผลลัพธ์เดียวให้กับแต่ละอินพุตที่ได้รับอนุญาต Injective หมายถึง ผลลัพธ์เท่ากันบังคับให้อินพุตเท่ากัน; Surjective หมายถึง ทุกองค์ประกอบของโคโดเมนที่กำหนดถึงแล้ว The map x↦x² จาก R ไปยัง [0,∞) เป็น surjective แต่ไม่ใช่ injective จาก [0,∞) ไปยัง [0,∞) เป็นทั้งสองอย่าง ดังนั้นจึงเป็น bijective จาก [0,∞) ไปยัง R ยังคงเป็น injective แต่ล้มเหลวใน surjectivity ให้แยกโดเมน Image และ codomain ออกเมื่อทดสอบแต่ละข้ออ้าง
- เลือกและตรวจสอบ branches ของฟังก์ชันผกผันโดยการประกอบในทั้งสองทิศทาง
For f:[2,∞)→[−5,∞), f(x)=(x−2)²−5, what is f⁻¹(y)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The input restriction x≥2 forces x−2≥0, so select the positive square-root branch.
ใช้กฎที่กำหนด
- ฟังก์ชัน 역จะย้อนกลับ bijection แก้สมการ y=f(x) เพื่อหา x แล้วใช้โดเมนเดิมเพื่อเลือก branch สำหรับ f(x)=(x−2)²−5 บน x≥2 ฟังก์ชัน역คือ 2+√(y+5) บน y≥−5 Branch บวกล่างจะคืนค่าอินพุตนอกโดเมนที่เลือก ตรวจสอบ f⁻¹(f(x))=x สำหรับ x ที่ได้รับอนุญาต และ f(f⁻¹(y))=y สำหรับ y ที่ได้รับอนุญาต การประกอบที่ยังไม่ได้ตรวจสอบอาจซ่อนข้อผิดพลาดของโดเมน
- ติดตามการประกอบฟังก์ชันซ้ำๆ โดยรักษาดိုเมนไว้
For g(x)=1/(1−x) on R excluding 0 and 1, what is g⁸(3)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The orbit is 3, −1/2, 2/3, then 3 again. Eight is congruent to two modulo three.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- กราฟของฟังก์ชันผกผันสะท้อนกราฟต้นฉบับตามเส้น y=x; มันไม่ทำ reciprocal ของค่าเอาต์พุต ฟังก์ชันที่ผกผันตัวเองหรือ Involution เป็นไปตาม f(f(x))=x ทุกครั้งที่ composition นิยาม −x บน R และ 1/x บน R ที่ตัดเลขศูนย์ออกเป็น involutions Involution ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดบนช่วงต้องเป็น identity: หาก f(x)>x, ความเพิ่มขึ้นทำให้ f(f(x))>f(x)>x และการโต้แย้งแบบคล้ายกันขจัดความเป็นไปได้ของ f(x)<x
- ติดตามการประกอบฟังก์ชันซ้ำๆ โดยรักษาดိုเมนไว้
สำหรับ f(x)=(x−2)²−5 กับ x≥2, f(5)=4 และ f⁻¹(4)=2+√9=5. พาราโบลาที่ไม่จำกัดจะมีความเข้าสองค่า −1 และ 5 ให้ผลลัพธ์ 4. สำหรับ g(x)=1/(1−x), orbit 3→−1/2→2/3→3 มีรอบสาม ดังนั้น g⁸(3)=2/3; จำนวนนับเกี่ยวข้องกับการประกอบ ไม่ใช่เลขชี้กำลังแปด
For h(x)=−x on R, the value of h(h(7)) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Negation twice returns the original input; this map is an involution.
ใช้รูปแบบงาน
- Iteration fⁿ หมายถึงการประกอบซ้ำ ไม่ใช่กำลัง (f(x))ⁿ. คำนวณการประกอบครั้งแรกๆ และตรวจสอบโดเมนก่อนมองหาช่วงรอบ สำหรับ f(x)=1/(1−x) บน R ที่ตัด 0 และ 1, f²(x)=(x−1)/x และ f³(x)=x. ภาพยังคงอยู่ในโดเมนที่อนุญาตเดิม ดังนั้นลดจำนวนรอบ iterate ด้วยโมดูลาร์สาม สมการที่แสดงออกซึ่งเท่ากับ x หลังตัดพจน์แล้วไม่คืนค่าที่ไม่อนุญาต
- ติดตามการประกอบฟังก์ชันซ้ำๆ โดยรักษาดိုเมนไว้
การเปลี่ยน codomain เปลี่ยนคุณสมบัติ surjectivity การสะท้อนข้าม y=x คือกราฟของฟังก์ชันผกผัน; การกลับค่า reciprocating ของ y เป็นกระบวนการที่แตกต่างกัน อย่าตัดค่าที่ไม่อนุญาตออก
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
แยกแยะความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและonto โดยใช้โดเมนและโคโดเมนที่กำหนด
The function x↦x² from [0,∞) to R is surjective.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
No negative element of the codomain is reached. The image is only [0,∞).
รักษาระยะห่าง
- bijection — ฟังก์ชันที่เป็นทั้ง injective และ surjective ระหว่างเซตที่กำหนด
- involution — ฟังก์ชันที่เมื่อประกอบกับตัวเองจะได้ identity บนโดเมน
- แยกแยะ injectivity และ surjectivity โดยใช้ domain และ codomain ที่ระบุ
- เลือกและตรวจสอบ branches ของฟังก์ชันผกผันโดยการประกอบในทั้งสองทิศทาง
- ติดตามการประกอบฟังก์ชันซ้ำๆ โดยรักษาดိုเมนไว้
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.