ภาพของเซต, สมการเทียบเท่า และการปฏิเสธทางตรรกศาสตร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| preimage/ˌpriːˈɪmɪdʒ/ | ภาพย้อนกลับ |
| equivalence relation/ɪˈkwɪvələns rɪˈleɪʃn/ | ความสัมพันธ์สมมูล |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- บันทึกสองแบบที่แตกต่างกันสามารถถูกกำหนดให้ใช้ label เดียวกัน การชนกันอย่างง่ายนี้อธิบายว่าทำไมภาพของการตัดกันอาจแตกต่างจากการตัดกันของสองภาพ
- เป้าหมายของคุณ: พิสูจน์เอกลักษณ์ของภาพและแยกแยะ inclusion จาก equality
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับ f:X→Y และ A⊆X, ภาพ f(A) ประกอบด้วย output ทั้งหมด f(a) โดยที่ a อยู่ใน A จุดหนึ่งจะอยู่ใน f(A∪B) ก็ต่อเมื่อมันมาจาก A หรือ B, ดังนั้น f(A∪B)=f(A)∪f(B). ถ้า A⊆B, แล้ว f(A)⊆f(B). สำหรับการตัดกัน f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) เป็นจริงโดยอัตโนมัติเท่านั้น: output เดียวกันอาจมาจาก input ที่ต่างกัน ใช้ f(x)=x², A={−1}, B={1}; ภาพทางซ้ายเป็นเซตว่าง ในขณะที่การตัดกันทางขวาคือ {1}."
- ตรวจสอบ reflexivity, symmetry และ transitivity ด้วยกรณีเฉพาะ
Which identity holds for every function f and subsets A,B of its domain?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An output of an input in the union comes from at least one subset. Intersection equality can fail when distinct inputs share an output.
ใช้กฎที่กำหนด
- Preimages มีพฤติกรรมต่างออกไป สำหรับ C⊆Y, f⁻¹(C) ในที่นี้หมายถึงเซตของ input ทั้งหมดที่ถูกส่งเข้าไปใน C แม้ว่าจะไม่มีฟังก์ชันผกผันก็ตาม การมีสมาชิกใน preimages สองชุดหมายความว่า input เดียวกัน映射เข้าไปในทั้งสองเซตเป้าหมาย ดังนั้น preimages จึงรักษา unions, intersections และ complements เทียบกับ domain/codomain ที่ระบุ อย่าถ่ายโอนทฤษฎีบทเกี่ยวกับ preimages ไปยัง images. ถ้า f เป็น injective, การตัดกันของ images จะกลายเป็นเท่ากัน เพราะ output เท่ากันจะบังคับให้มี shared input
- ปฏิเสธ implications และ quantified statements โดยไม่เปลี่ยน scope ของมัน
What is the negation of P⇒(Q∧R)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Failure of the implication requires a true premise and a false conjunction. De Morgan changes the latter into a disjunction.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- Relation R บน X เป็น reflexive เมื่อ xRx สำหรับทุก x, symmetric เมื่อ xRy implies yRx, และ transitive เมื่อ xRy และ yRz imply xRz. ทั้งสามสิ่งนี้ทำให้เป็น equivalence relation; classes ของมันจะ partition X. บนจำนวนเต็ม, xRy เมื่อ x และ y มีเศษเหลือเท่ากัน modulo สี่ ให้สี่ classes. Relation |x−y|≤1 เป็น reflexive และ symmetric แต่ไม่ transitive: 0R1 และ 1R2 ในขณะที่ 0 ไม่มีความสัมพันธ์กับ 2. การตรวจสอบเพียงแผนภูมิหรือสองคุณสมบัติไม่เพียงพอ
- ปฏิเสธ implications และ quantified statements โดยไม่เปลี่ยน scope ของมัน
ให้ f map ทั้ง a และ b ไปยัง label L. ด้วย A={a}, B={b}, f(A∩B)=∅ แต่ f(A)∩f(B)={L}. สำหรับ xRy ที่นิยามโดย x=y หรือ x=−y บน R, reflexivity และ symmetry ตามมาโดยตรง, และการเปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้งยังคงให้ z=±x, พิสูจน์ transitivity. Classes คือ {x,−x}, กับ {0} เป็น singleton. ข้อความเท็จ “ไฟล์ที่จัดเก็บทุกไฟล์มี hash” หมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งไฟล์ที่จัดเก็บไม่มี hash; มันไม่ได้หมายความว่าไฟล์ทั้งหมดไม่มี hash.
How many equivalence classes are there on Z for equality of remainders modulo four?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Each integer belongs to exactly one of the remainder classes 0, 1, 2 or 3.
ใช้รูปแบบงาน
- Implication P⇒Q เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จ ดังนั้นการปฏิเสธของ P⇒(Q∧R) คือ P∧(¬Q∨¬R), ไม่ใช่ ¬P⇒(¬Q¬R). การปฏิเสธ “every x มี property A” ให้ “there exists x without A”; การปฏิเสธ “there exists x” ให้ “every x does not”. Counterexample สามารถพิสูจน์ว่า universal claim ผิด While examples ไม่สามารถพิสูจน์มันได้. Quantifiers รักษาลำดับ当他们 individually negated: ¬(∀x∃y S(x,y)) is ∃x∀y ¬S(x,y).
- ปฏิเสธ implications และ quantified statements โดยไม่เปลี่ยน scope ของมัน
f⁻¹(C) อาจหมายถึง preimage set โดยไม่มี inverse function. Relation ที่เป็น reflexive และ symmetric อาจล้มเหลวในการ transitive. ปฏิเสธข้อความทั้งหมดก่อนที่จะลดรูปส่วนประกอบของมัน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
พิสูจน์เอกลักษณ์ของภาพและแยกแยะระหว่างส่วนย่อยและความเท่ากัน
The relation |x−y|≤1 on R is transitive.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use x=0,y=1,z=2: the first two pairs satisfy the relation, but the pair (0,2) does not.
รักษาระยะห่าง
- preimage — เซตของ inputs ที่มี outputs อยู่ภายในเซตเป้าหมายที่กำหนด
- equivalence relation — Relation ที่เป็น reflexive, symmetric และ transitive
- พิสูจน์เอกลักษณ์ของภาพและแยกแยะ inclusion จาก equality
- ตรวจสอบ reflexivity, symmetry และ transitivity ด้วยกรณีเฉพาะ
- ปฏิเสธ implications และ quantified statements โดยไม่เปลี่ยน scope ของมัน
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.