C.7 · การเปลี่ยนพิกัดและทฤษฎีบทอินทิกรัลของเวกเตอร์

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: อินทิกรัลหลายชั้น อนุพันธ์ย่อย และขอบที่มีทิศทาง

• แปลงอินทิกรัลคู่และอินทิกรัลสามชั้นพร้อมจาคอบียน
• ใช้ทฤษฎีบท格林 สโตกส์ และดิเวอร์เจนซ์พร้อมทิศทางที่ถูกต้อง
• ตรวจสอบความผิดปกติของโดเมนก่อนระบุว่าเส้นทางไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง

ดิเวอร์เจนซ์: ผลรวมของอนุพันธ์ย่อยตามพิกัดของสนามเวกเตอร์ที่วัดการไหลออกในท้องถิ่น

สนามคอนเซอร์เวทีฟ: สนามเวกเตอร์ที่เท่ากับเกรเดียนต์ของศักย์สเกลาร์ซึ่งอินทิกรัลเส้นไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง

การเปลี่ยนตัวแปรขยายพื้นที่หรือปริมาตรด้วยขนาดสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์จาคอบيان พิกัดขั้วใช้ r dr dtheta; พิกัดทรงกระบอกใช้ r dr dtheta dz; พิกัดทรงลูกบอลที่ใช้ phi วัดจากแกน z บวกใช้ rho² sin(phi) dρ dphi dtheta ระบุกฎเกณฑ์ของมุมและแปลงทั้งตัวถูกอินทิกรัลและบริเวณ หากขาดจาคอบียน จะเปลี่ยนอินทิกรัลความหนาแน่นสม่ำเสมอให้เป็นปริมาณทางฟิสิกส์ที่ผิดไป

ทฤษฎีบท格林เทียบเท่าอินทิกรัลรอบขอบระนาบที่มีทิศทางบวก P dx+Q dy กับอินทิกรัลคู่ของ Q_x−P_y ในบริเวณ ทฤษฎีบทนี้ต้องการสมมติฐานปกติคืออนุพันธ์อันดับหนึ่งต่อเนื่องบนเซตเปิดที่ครอบคลุมบริเวณ รูพรุนต้องมีขอบด้านในที่มีทิศทางลบของตนเอง หรือวิธีการจัดการอื่นที่เหมาะสมสำหรับโดเมนที่หายไป ทฤษฎีบทไม่สามารถอินทิกรัลผ่านความผิดปกติของสนามได้

ทฤษฎีบทสโตกส์เทียบเท่ารอบขอบพื้นผิวกับอินทิกรัลพื้นผิวของ curl F คูณกับเวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทาง ทิศทางมือขวาเชื่อมโยงทิศทางขอบกับเวกเตอร์หน่วย ทฤษฎีบทดิเวอร์เจนซ์เทียบเท่าการไหลผ่านออกตามพื้นผิวปิดกับอินทิกรัลปริมาตรของ div F รอบขอบ การไหลผ่าน การหมุน และดิเวอร์เจนซ์ต่างกัน พื้นผิวปิดจำเป็นสำหรับทฤษฎีบทดิเวอร์เจนซ์แบบปกติ

สนามเกรเดียนต์มีอินทิกรัลเส้นไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทาง ซึ่งกำหนดโดยผลต่างศักย์ที่จุดเริ่มต้นและสิ้นสุด สนามที่ไม่มี curl และมีความต่อเนื่องของอนุพันธ์บนโดเมนเปิดแบบSimply connected เป็นคอนเซอร์เวทีฟ การไม่มีcurlเพียงอย่างเดียวในโดเมนที่มีรูพรุนไม่เพียงพอ สำหรับ F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), จุดกำเนิดถูกตัดออก; รอบวงหน่วยมีค่า 2π แม้ว่าจะไม่มีcurlที่สนามนิยามไว้ก็ตาม

สำหรับ F=(x,y,z) divergence คือ 3 ดังนั้นฟลักซ์ออกผ่านทรงกลมรัศมี 2 จึงเป็น 3 เท่าของปริมาตร หรือ 3·(4π·2³/3)=32π สิ่งนี้หลีกเลี่ยงการใช้พารามิเตอร์ของพื้นผิว สำหรับสนามระนาบ (−y,x) ทฤษฎีบทของกรีนให้ circulation ของวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกาเป็นอินทิกรัลของ 1−(−1)=2 บนดิสก์ ดังนั้นจึงได้ 2π การกลับทิศทางจะเปลี่ยนเครื่องหมายของ circulation

ไม่มี curl เป็นศูนย์ไม่เพียงพอเมื่อโดเมนมีรู การไหลออกและการหมุนทวนเข็มนาฬิกาใช้ทฤษฎีบทและกฎทิศทางที่แตกต่างกัน

คำนวณ $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ บน $1\le x^2+y^2\le4$ หาการไหลผ่านออกของ $F=(x,y,z)$ ผ่านทรงกลมหน่วย

วิธีทำตัวอย่าง

วงแหวนมีขอบเขตพิกัดขั้ว $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$ รวมจาคอบیان,

F ลาก différentiability ต่อเนื่องทั้งทรงกลมและมี div เป็นสาม Theorem div ให้ outward flux $3(4\pi/3)=4\pi$. การกำหนด inward orientation จะกลับเครื่องหมาย

ให้ $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ บนระนาบที่มีจุดตัด出其 Its scalar curl เป็นศูนย์ที่นั่น ประเมิน circulation ของมันบนวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกา อธิบายว่าทำไม Green's theorem จึงไม่ให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

Parameterize $r(t)=(\cos t,\sin t)$ สำหรับ $0\le t\le2\pi$. จากนั้น $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, ดังนั้น $G\cdot r'=1$ และ integral คือ $2\pi$. Field นี้ไม่ถูกนิยามที่จุดกำเนิดภายในดิสก์ Green's theorem ต้องการความเรียบลื่นที่ต้องการใน neighborhood ของพื้นที่ ไม่ใช่แค่บนขอบเขตเท่านั้น Curl เป็นศูนย์บน domain ที่มีจุดตัดออกไม่ได้สร้าง global potential; field ที่ปิดและไม่ exact สามารถมี circulation รอบรูพรุนได้