T.6 · ฟังก์ชัน branch 역 และการประกอบฟังก์ชัน

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้ก่อนหน้า: Domain ของฟังก์ชัน สมการกำลังสอง และการประกอบ

• แยกแยะ injectivity และ surjectivity โดยใช้ stated domain และ codomain ที่กำหนด
• เลือกและตรวจสอบ inverse branch โดย composition ในทั้งสองทิศทาง
• ติดตามการประกอบฟังก์ชันซ้ำๆ พร้อมรักษา domain ไว้

bijection: ฟังก์ชันที่เป็นทั้ง injective และ surjective ระหว่างเซตที่กำหนด

involution: ฟังก์ชันที่ composition กับตัวเองเป็น identity บน domain ของมัน

ฟังก์ชันกำหนด output ที่ถูกต้องหนึ่งค่าต่อ input ที่อนุญาต Injective หมายความว่า output เท่ากันบังคับให้ input เท่ากัน; surjective หมายความว่าทุกองค์ประกอบของ stated codomain ถูกเข้าถึง映射 x↦x² จาก R ไปยัง [0,∞) เป็น surjective แต่ไม่ใช่ injective จาก [0,∞) ไปยัง [0,∞) เป็นทั้งสองอย่าง ดังนั้นจึงเป็น bijective จาก [0,∞) ไปยัง R ยังคงเป็น injective แต่ล้มเหลวใน surjectivity แยก domain, image และ codomain ออกเมื่อทดสอบแต่ละข้ออ้าง

Inverse function กลับ bijection แก้ y=f(x) เพื่อหา x แล้วใช้ original domain เพื่อเลือก branch สำหรับ f(x)=(x−2)²−5 สำหรับ x≥2, inverse คือ 2+√(y+5) สำหรับ y≥−5 Branch บวกจะคืนค่า inputs นอก域ที่เลือก ตรวจสอบ f⁻¹(f(x))=x สำหรับ allowed x และ f(f⁻¹(y))=y สำหรับ allowed y; composition ที่ไม่ตรวจสอบหนึ่งครั้งอาจซ่อน domain error ได้

กราฟ inverse สะท้อนกราฟต้นแบบตามเส้น y=x; มันไม่เอา reciprocal ของ output values ฟังก์ชัน self-inverse หรือ involution สัมผัส f(f(x))=x ทุกครั้งที่ composition ถูกนิยาม ทั้ง −x บน R และ 1/x บน R ขาดจุดศูนย์เป็น involutions Involution ที่เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดบนช่วงต้องเป็น identity: ถ้า f(x)>x, increasingness ให้ f(f(x))>f(x)>x, และข้อโต้แย้งที่คล้ายกันหักล้าง f(x)<x

Iteration fⁿ หมายความว่า composition ซ้ำ ไม่ใช่กำลัง (f(x))ⁿ คำนวณ compositions แรกๆ และตรวจสอบ domains ของมันก่อนมองหา period สำหรับ f(x)=1/(1−x) บน R ขาด 0 และ 1, f²(x)=(x−1)/x และ f³(x)=x Image อยู่ within same allowed domain ดังนั้นลด iteration count modulo สาม สูตรที่แสดงเท่ากับ x หลัง cancel ไม่คืนค่าที่ห้ามใช้

สำหรับ f(x)=(x−2)²−5 กับ x≥2, f(5)=4 และ f⁻¹(4)=2+√9=5. พาราโบลาที่ไม่จำกัดจะมีความเข้าสองค่า −1 และ 5 ให้ผลลัพธ์ 4. สำหรับ g(x)=1/(1−x), orbit 3→−1/2→2/3→3 มีรอบสาม ดังนั้น g⁸(3)=2/3; จำนวนนับเกี่ยวข้องกับการประกอบ ไม่ใช่เลขชี้กำลังแปด

การเปลี่ยน codomain เปลี่ยนคุณสมบัติ surjectivity การสะท้อนข้าม y=x คือกราฟของฟังก์ชันผกผัน; การกลับค่า reciprocating ของ y เป็นกระบวนการที่แตกต่างกัน อย่าตัดค่าที่ไม่อนุญาตออก

Restrict $f(x)=(x-1)^2+2$ ไปยัง $x\ge1$. ระบุ image และ inverse ของมัน รวมถึง domains ตรวจสอบ inverse compositions ทั้งสอง

วิธีทำตัวอย่าง

Image คือ $[2,\infty)$. การแก้ $y=(x-1)^2+2$ ด้วย $x\ge1$ เลือก $x=1+\sqrt{y-2}$. ดังนั้น $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ มีสูตรนั้น สำหรับ allowed x, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ เพราะ $x-1\ge0$. สำหรับ allowed y, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. Branch รากลบเป็นของ restriction อื่น ไม่ใช่ inverse thứ hai บน域นี้

ให้ $h(x)=1/(1-x)$. หา domain ของ $h\circ h\circ h$ และสูตรของมัน สามารถขยาย simplified expression ไปยัง excluded points โดยไม่เปลี่ยน original composite?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

ขั้นตอนแรกต้องการ $x\ne1$. ขั้นที่สองต้องการ $h(x)\ne1$, ซึ่งExclude x=0. สำหรับ $x\ne0,1$, $h^2(x)=(x-1)/x$. สิ่งนี้ไม่เคยเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นขั้นตอนที่สามเพิ่ม exclusion ไม่มี.Then $h^3(x)=x$ on $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. สูตร identity ถูกนิยามกว้างกว่า แต่การเพิ่ม 0 หรือ 1 นิยามการขยาย ไม่ใช่ original composite. แต่ละ intermediate input ต้องได้รับอนุญาตก่อน cancel