C.5 · อินทิกรัลไม่ Proper และการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิต

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: ฟังก์ชันต้นแบบ ลิมิต การเปรียบเทียบ และการอินทิเกรตเรขาคณิต

• นิยาม improper integrals by limits at each singular boundary
• เลือกสูตรพื้นที่ ปริมาตร และความยาวเส้นโค้งจากรูปศาสตร์
• แยกการลู่เข้าของอินทิกรัลออกจากการหักล้างแบบมีเครื่องหมาย

improper integral: An integral defined by limits at infinite or singular boundaries.

ค่าหลัก: ขอบเขตที่ใช้การหักล้างแบบสมมาตรที่กำหนดไว้ ซึ่งอาจมีอยู่ได้แม้ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนทั่วไปจะลู่เข้าไม่ได้

อินทิกรัลแบบไม่จำกัดขอบเขตถูกแทนที่ด้วยขอบเขตที่มีค่าและลิมิต หากมีจุดเอกฐานภายในช่วง ให้แยกอินทิกรัลออกแล้วตรวจสอบว่าอินทิกรัลทางซ้ายและขวาทั้งสองข้างลู่เข้าหากันอย่างอิสระ การตัดทอนแบบสมมาตรอาจกำหนดค่าหลักของโคชีได้ แต่ไม่ได้พิสูจน์การลู่เข้าของอินทิกรัลแบบไม่จำกัดขอบเขตทั่วไป สำหรับ 1/x ผ่านศูนย์ ทั้งสองด้านลู่ไปหาอนันต์ แม้ว่าการตัดทอนแบบสมมาตรจะหักล้างกันก็ตาม

อินทิกรัลของ x^(−p) จาก 1 ถึงอนันต์ ลู่เข้าหากและเฉพาะเมื่อ p>1 จากศูนย์ถึง 1 ลู่เข้าหากและเฉพาะเมื่อ p<1 เปรียบเทียบเลขชี้กำลังเดียวกันนี้จะมีพฤติกรรมต่างกันที่ขอบเขตทั้งสอง สำหรับฟังก์ชันอินทิกรัลที่เป็นบวก การเปรียบเทียบสามารถถ่ายโอนการลู่เข้าจากฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ที่ใหญ่กว่า หรือการลู่ไปหาอนันต์จากฟังก์ชันที่อินทิเกรตไม่ได้ที่เล็กกว่า; รักษาทิศทางอสมการให้ถูกต้อง สำหรับอินทิกรัลของค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ให้แก้จุดตัดของแขนงและตรวจสอบว่านิพจน์ใดครอบครองแต่ละช่วง สำหรับ max(√(1−x²),x+1) บน [−1,1], จุดตัดภายในคือศูนย์; ใช้ครึ่งวงกลมบน [−1,0] และเส้นตรงบน [0,1] พื้นที่คือ π/4+3/2 ไม่ใช่ผลรวมของอินทิกรัลของแต่ละแขนงตลอดทั้งช่วง

สำหรับการหมุนรอบแกน x ใช้ดิสก์หรือวอชเชอร์เพื่ออินทิเกรต π(R²²−r²²) dx ใช้เปลือกทรงกระบอกโดย 2π คูณด้วยรัศมีและความสูง แล้วอินทิเกรตในตัวแปรที่สอดคล้องกัน เลือกวิธีตามรูปทรงเรขาคณิตและตรวจสอบว่ารัศมีเป็นจำนวนไม่ลบ พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งอินทิเกรตด้วยส่วนบนลบส่วนล่าง โดยแบ่งช่วงเมื่อลำดับเปลี่ยนไป อินทิกรัลที่มีเครื่องหมายไม่ใช่พื้นที่ทางเรขาคณิตอัตโนมัติ

สำหรับเส้นโค้งระนาบที่หาอนุพันธ์ได้ y=f(x), ความยาวส่วนโค้งคืออินทิกรัลของ sqrt(1+(f′(x))²) dx ผิวที่เกิดจากการหมุน f ที่ไม่เป็นลบรอบแกน x มีพื้นที่เป็นอินทิกรัล 2πf sqrt(1+(f′)²) dx สิ่งเหล่านี้เป็นปริมาณที่แตกต่างกันจากปริมาตร หากช่วงไม่มีขอบเขต สูตรทางเรขาคณิตยังคงต้องการการทดสอบการลู่เข้า

หมุน y=1/x สำหรับ x≥1 รอบแกน x ปริมาตรดิสก์คือ π คูณด้วยอินทิกรัลของ 1/x² ดังนั้น V=π ฟังก์ชันที่แสดงในอินทิกรัลพื้นที่ผิวข้างคือ 2π(1/x)√(1+1/x⁴) อย่างน้อยเท่ากับ 2π/x; อินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนนี้ลู่เข้าไม่ได้ ดังนั้นปริมาตรที่มีจำกัดจึงไม่บ่งชี้ว่าพื้นที่ผิวจะมีจำกัด การเปรียบเทียบนี้หลีกเลี่ยงการพยายามหาอนุพันธ์ที่ไม่จำเป็น

ห้ามนับค่าหลัก (principal value) เป็นอินทิกรัลที่ improper ที่ลู่เข้า หรืออนุมานความจำกัดของปริมาณหนึ่งจากอีกปริมาณหนึ่ง

For which real p does $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ converge? Compare the ordinary improper integral of $1/x$ on $[-1,1]$ with its symmetric principal value.

วิธีทำตัวอย่าง

แยกที่ 1 ใกล้เคียงศูนย์ ความลู่เข้าต้องการ $p<1$; ใกล้เคียงอนันต์ ต้องการ $p>1$ ไม่มี p จริงใดที่สอดคล้องทั้งสองเงื่อนไข และ p=1 ลู่เข้าไม่ได้แบบลอการิทึมที่ทั้งสองปลาย ส่วนทั้งสองด้านต้องลู่เข้าได้อย่างอิสระ สำหรับ $1/x$/x ผ่านศูนย์ ส่วนลบและส่วนบวกลู่ไปหาอนันต์อย่างอิสระ ดังนั้นอินทิกรัลแบบไม่จำกัดขอบเขตทั่วไปจึงลู่ไปหาอนันต์ การตัดทอนแบบสมมาตรหักล้างกันเป็นศูนย์ ทำให้เกิดเพียงค่าหลักเท่านั้น ศูนย์ไม่ใช่ค่าของอินทิกรัลแบบไม่จำกัดขอบเขตทั่วไป

หมุนพื้นที่ใต้ $y=1/x$, $x\ge1$ รอบแกน x พิสูจน์ว่าปริมาตรมีค่าจำกัดแต่พื้นที่ผิวข้างมีค่าไม่จำกัด

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

ดิสก์ให้ $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$ สำหรับพื้นที่ผิว $y'=-1/x^2$ และ

Its nonnegative integrand is at least $2\pi/x$, whose integral diverges. Comparison proves infinite lateral area. This includes neither an end cap nor a claim that finite volume implies finite area.