C.4 · การขยายเทย์เลอร์และจุดปลายของอนุกรมกำลัง

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: อนุพันธ์, อนุกรมเรขาคณิตและทดสอบการลู่เข้า

• สร้างพหุนามเทย์เลอร์และควบคุมข้อผิดพลาดในการประมาณ
• หารัศมีของลู่เข้าและทดสอบจุดปลายแยกต่างหาก
• แยกอนุพันธ์และอินทิเกรตอนุกรมกำลังภายในช่วงลู่เข้า

รัศมีของลู่เข้า: ระยะห่างจากศูนย์กลางของอนุกรมภายในซึ่งอนุกรมกำลังลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์

ค่าคงเหลือ: ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันกับค่าประมาณเชิงจำกัด

พหุนามเทย์เลอร์ระดับ m ที่ a คือผลบวก f^(k)(a)(x−a)^k/k! สำหรับ k ตั้งแต่ศูนย์ถึง m ตัวคูณ factorial มีอยู่ในแต่ละสัมประสิทธิ์ หากอนุพันธ์ถัดไปมีขนาดไม่เกิน M ระหว่าง a และ x ค่าคงเหลือของลากรองจ์จะมีขนาดไม่เกิน M|x−a|^(m+1)/(m+1)! ความเรียบเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่าอนุกรมเทย์เลอร์อนันต์จะเท่ากับฟังก์ชันทุกที่

อนุกรมกำลัง sum c_n(x−a)^n ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ภายในรัศมี R และลู่เข้าไม่ลู่เข้าภายนอกรัศมีนั้น การทดสอบอัตราส่วนหรือรากมักใช้หา R โดยมีค่าที่เป็นไปได้คือศูนย์และอนันต์ ที่ x=a−R และ x=a+R การทดสอบอาจให้ผลไม่ชัดเจน ให้แทนค่าขอบเขตทั้งสองลงในอนุกรมเดิม พฤติกรรมที่จุดปลายทั้งสองอาจแตกต่างกัน

ภายในช่วงเปิดของลู่เข้า การแยกอนุพันธ์และการอินทิเกรตตามพจน์รักษารัศมีไว้ แต่อาจเปลี่ยนแปลงการรวมหรือไม่รวมจุดปลาย เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิต 1/(1−x)=sum x^n สำหรับ |x|<1 แล้วอินทิเกรตตั้งแต่ศูนย์ถึง x จะได้ −ln(1−x)=sum x^n/n สำหรับ n≥1 ตรวจสอบค่าคงเหลือของการอินทิเกรตและโดเมนของลอการิทึมจริง

อนุกรมยังช่วยแก้รูปแบบลิมิตที่ยกเลิกกันได้ เพื่อหาค่า (e^x−1−x)/x² ใกล้ศูนย์ ให้保留พจน์แรกที่มีอยู่จริง x²/2 แทนการใช้ e^x≈1+x เท่านั้น การตัดทอนแบบอสมการ establishes ลิมิต ส่วนอสมการในช่วงจำกัดต้องการข้อโต้แย้งเกี่ยวกับเครื่องหมายหรือขนาดของค่าคงเหลือเพิ่มเติม อย่าแทนค่าในอนุกรมนอกช่วงลู่เข้า

สำหรับ sum x^n/n กับ n≥1, การทดสอบอัตราส่วนให้รัศมี 1. ที่ x=1 มันคืออนุกรมฮาร์โมนิกที่ลู่ไม่เข้า; ที่ x=−1 มันคืออนุกรมสลับสัญญาณที่ลู่เข้า ดังนั้นช่วงลู่เข้าของมันคือ [−1,1). การแยกอนุพันธ์ด้านในจะได้ sum x^(n−1)=1/(1−x), ซึ่งลู่เข้าไม่ได้ที่ปลายช่วงใดเลย รัศมียังคง 1 แต่การ Functor ปลายช่วงเปลี่ยนไป

รัศมีไม่ใช่ช่วงลู่เข้าที่สมบูรณ์ ต้องทดสอบปลายช่วงและสัมประสิทธิ์แฟกทอเรียลอย่างชัดเจน

หาช่วงลู่เข้าของ $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ และอนุพันธ์ตามพจน์ของมัน ประมาณค่า $e^{0.1}$ ด้วยพหุนามเทย์เลอร์กำลังสอง พร้อมขอบเขตความผิดพลาดที่ยืนยันได้

วิธีทำตัวอย่าง

การทดสอบอัตราส่วนให้รัศมีเป็นหนึ่ง ที่ 1 อนุกรมฮาร์โมนิกดั้งเดิมลู่เข้าไม่ลู่เข้า; ที่ -1 อนุกรมสลับลู่เข้า ดังนั้นช่วงลู่เข้าดั้งเดิมคือ $[-1,1)$ อนุพันธ์คือ $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ เฉพาะสำหรับ $|x|<1$; พจน์ของมันไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ที่จุดปลายทั้งสอง $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. บน $[0,0.1]$, อนุพันธ์อันดับสามคือ $e^x<2$ ขอบเขตลากรองจ์ให้ค่า $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$ ขอบเขตนี้ถูกกำหนดให้เผื่อไว้ ไม่ใช่การอ้างถึงความผิดพลาดที่แท้จริง

หาค่า $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$ อธิบายทำไมการแทน cosine ด้วยเพียง $1-x^2/2$ จึงไม่สามารถหาลิมิตนี้ได้

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

ทฤษฎีบทเทย์เลอร์ใกล้ศูนย์ให้ $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$ การลบหักล้างพจน์คงที่และพจน์กำลังสอง ทำให้เหลือ $x^4/24+O(x^6)$ หลังหารแล้วลิมิตคือ $1/24$ การตัดทอนด้วยค่าคงเหลือเพียง $o(x^2)$ จะไม่ให้การควบคุมหลังหารด้วย $x^4$; ต้อง保留และ-bound ลำดับแรกที่มีอยู่จริง