T.5 · เซตเปิด ความหนาแน่น และการเชื่อมโยง

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: เซต, เซตเปิดสัมพัทธ์, ฟังก์ชันต่อเนื่องและลำดับ

• คำนวณปิด, ภายในและขอบเขตในสเปซที่กำหนดให้
• ใช้ความหนาแน่นและการเชื่อมโยงกับภาพต่อเนื่อง
• แยกแยะโทโพโลยีสัมพัทธ์จากโทโพโลยียูคลิด.metrics

โทโพโลยีสัมพัทธ์: เซตเปิดที่ยึดติดมาจากการตัดกันระหว่างสเปสย่อยกับเซตเปิดในสเปซแม่

การเชื่อมโยง: ความไม่มีส่วนแยกออกเป็นเซตเปิดสัมพัทธ์ที่ไม่ว่างและไม่ซ้อนทับกัน

ในสเปซเมตริก เซตเปิดจะcontainsทรงกลมขนาดเล็กรอบจุดแต่ละจุดภายในประกอบด้วยจุดดังกล่าว; การปิดรวมจุดลิมิตทั้งหมด; ขอบเขตคือการปิดลบด้วยภายใน เปิดและปิดไม่ใช่คำที่ขัดแย้งกัน; เซตว่างและสเปซทั้งหมดถือเป็นทั้งสองอย่าง ใน R เซต [0,1) มีภายใน (0,1), การปิด [0,1] และขอบเขต {0,1}

ในสเปสย่อย X เซตเปิดจะมีรูปทรง X ตัดกับเซตเปิดในสเปซแม่ ดังนั้น [0,1) จึงเปิดสัมพัทธ์กับ [0,2] โดยใช้การตัดกับ (-1,1) แม้ว่าจะไม่ได้เปิดใน R เซตหนึ่งอาจปิดสัมพัทธ์โดยไม่ปิดในสเปซแม่เสมอ ควรระบุสเปซใดกำหนดเพื่อนบ้านและเมตริกใดถูกใช้

ความหนาแน่นหมายความว่าทุกชุดเปิดครอบคลุมจะมีชุดย่อยจำกัด ใน Euclidean R^n Heine–Borel ทำให้สิ่ง这等价กับการปิดและมีขอบเขต ในสเปซเมตริก ความหนาแน่นเทียบเท่ากับความหนาแน่นเชิงลำดับ; ความสมบูรณ์และขอบเขตเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอในสเปซเมตริกทั่วไป ภาพต่อเนื่องของเซตหนาแน่นจะเป็นหนาแน่น ซึ่งให้ค่าสูงสุดและต่ำสุดที่บรรลุได้สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องจริงบนโดเมนหนาแน่นที่ไม่ว่าง

เซตเชื่อมโยงไม่สามารถแยกออกเป็นสองส่วนเปิดสัมพัทธ์ที่ไม่ว่างและไม่ซ้อนทับกันได้ เซตย่อยเชื่อมโยงของ R คือช่วงพอดี ภาพต่อเนื่องของเซตเชื่อมโยงจะเป็นเชื่อมโยง ซึ่งให้ทฤษฎีบทค่ากลาง การเชื่อมโยงแบบเส้นทางบ่งบอกถึงการเชื่อมโยง แต่ไม่กลับกันในทุกสเปซ เซตหนาแน่นไม่จำเป็นต้องเชื่อมโยง และเซตเชื่อมโยงไม่จำเป็นต้องหนาแน่น; เซตสองจุดที่มีจำนวนจำกัดและช่วงเปิดเป็นตัวอย่างที่ขัดแย้งกัน

ให้ X=[0,1] พร้อม relative topology ปกติ. เซต U=[0,0.5) เท่ากับ X intersected with (-1,0.5), ดังนั้น U จึงเป็น open ใน X. Its closure ใน X คือ [0,0.5], และ its boundary ใน X คือ {0.5}; ศูนย์เป็น interior point relative to X. สำหรับ f ต่อเนื่องบน X ที่มี f(0)<0<f(1), connectedness รับประกันการมีศูนย์, ในขณะที่ compactness แยกต่างหากรับประกัน extrema ที่ถูก attain

Heine–Borel's closed-and-bounded test เป็นทฤษฎีบทของ Euclidean space. Connectedness และ compactness ตอบคำถามที่แตกต่างกัน

ใน $X=[0,2]$ พร้อมโทโพโลยีสัมพัทธ์ หาภายใน, การปิดและขอบเขตของ $A=[0,1)$ A เป็นเซตเปิดหรือปิดใน X?

วิธีทำตัวอย่าง

$A=X\cap(-1,1)$ เปิดใน X ดังนั้นภายในสัมพัทธ์ของมันคือ A การปิดของมันคือ $[0,1]$ และขอบเขตคือ $\{1\}$ ศูนย์เป็นภายในสัมพัทธ์กับ X เพราะทรงกลมขนาดเล็กพอใน X ไม่มีส่วนลบ A ไม่ปิดใน X: ลำดับ $1-1/n$ สำหรับ $n\ge2$ ลู่เข้าสู่จุดที่ขาดหายไป 1 ในเส้นจริงแม่, ภายในและขอบเขตจะเป็น $(0,1)$ และ $\{0,1\}$ แทน

ให้เซตจริงที่หนาแน่นและไม่เชื่อมโยงและเซตจริงที่เชื่อมโยงแต่ไม่หนาแน่น ฟังก์ชันจริงต่อเนื่องบนเซตหลังต้องบรรลุค่าสุดขั้วหรือไม่ อธิบายว่าสมบัติใดให้ทฤษฎีบทค่ากลาง

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

เซตจำกัด $\{0,2\}$ หนาแน่นแต่ไม่เชื่อมโยง ช่วง $(0,1)$ เชื่อมโยงแต่ไม่หนาแน่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์ต่อเนื่องบน $(0,1)$ ไม่บรรลุทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด การเชื่อมโยงทำให้ภาพต่อเนื่องจริงเป็นช่วงและดังนั้นจึงให้ค่ากลาง ความหนาแน่นทำให้ภาพต่อเนื่องจริงที่ไม่ว่างบรรลุค่าสุดขั้ว สมบัติทั้งสองไม่สามารถแทนที่กันได้